книги из ГПНТБ / Игнатов, В. А. Статистическая оптимизация качества функционирования электронных систем

Например, если качество функционирования радиоло­ кационной станции оценивать дальностью обнаружения Q, то этот обобщенный параметр связан с мощностью Уі передатчика и чувствительностью У2 приемника извест­ ным соотношением

где с — константа, учитывающая параметры цели и те параметры станции, которые в условиях эксплуатации изменяются незначительно.

Подставляя в уравнение (1-2) различные сочетания квантованных значений выходных параметров устройств и определяя значения обобщенных параметров и соот­ ветствующие им вероятности, можно приближенно опре­ делить все моменты обобщенных параметров и по ним построить ряды Грама — Шарлье для искомых законов распределений. Упростить процесс вычислений позволяет использование матрицы состояний обслуживаемой систе­ мы, которая включает все возможные сочетания состоя­ ний устройств, вероятности выполнения этих сочетаний и квантованные значения обобщенных параметров

Матрицу М проще всего составить по следующему пра­ вилу: формируя і-й столбец — столбец состояний t'-ro

устройства і = 1, г, следует сверху вниз записать ряд по­

число которых (п—1)г.

Начальный момент обобщенного параметра ѵ-го по­

рядка

м

(2-59)

1 = 0

50

Эти формулы определяют все требуемые моменты для построения рядов Грама — Шарлье.

Если моменты высших порядков малы, для определе­ ния вероятностных характеристик обобщенных парамет­ ров можно успешно применять метод линеаризации [Л. 3, 33, 38]. В этом случае одномерные законы распре­ деления обобщенных параметров близки к нормальным и, рассчитав их математические ожидания и дисперсии, нетрудно найти и другие вероятностные характерис­ тики.

Число слагаемых в формулах (2-59) и (2-60) и общий объем вычислений можно существенно сократить, если учесть, что для высоконадежных устройств обычно P„<g

•С0,01. Не учитывая в матрице М строки, содержащие отказовые состояния устройств, получим Мм = п г и, сле­ довательно, выигрыш в уменьшении числа строк матри­

(п + 1)г=27, пг= 8, W = 3,75.

Однако следует учесть, что погрешности, обусловлен­ ные упрощением матрицы М, также увеличиваются с ростом п и г. По-видимому, использование упрощенной матрицы целесообразно для предварительных оценок моментов и распределений обобщенных параметров сложных систем, состоящих из высоконадежных устройств.

То, что определение распределений обобщенных пара­ метров сложных систем (с большими п и г) требует при­ влечения электронных вычислительных машин, вполне естественно, так как нами, по сути дела, решается зада­ ча отыскания характеристик нелинейного преобразова­ ния многомерного случайного процесса. А эта задача, как известно, является довольно сложной. Достоинство рассмотренного способа отыскания законов распределе­ ний обобщенных параметров в том, что он легко про­ граммируется.

Итак, в этом параграфе рассмотрена достаточно общая, математическая модель изменения качества

обслуживаемых устройств и систем. Она позволяет опре­ делять эксплуатационные коэффициенты надежности устройств и систем, а также законы распределения вы­ ходных и обобщенных параметров. В ней учитываются основные эксплуатационные факторы — взаимосвязанное появление внезапных, постепенных и перемежающихся отказов; проведение профилактического обслуживания; режим использования и другие, влияющие на характери­ стики качества. Кроме того, в случае необходимости рас­ смотренная модель позволяет учесть отказы устройств во время их неиспользования, проведение профилакти­ ческого обслуживания в периодах неиспользования и т. п.

Если влиянием некоторых эксплуатационных факто­ ров пренебречь, из рассмотренной модели следует ряд более простых, в том числе и известных моделей, полу­ чивших широкое распространение. Часть из них, пред­ ставляющих практический интерес, была уже рассмотре­ на в предыдущих параграфах.

Квантование по уровню случайных функций и мар­ ковская аппроксимация реальных процессов дают воз­ можность, сохраняя требуемую точность оценки харак­ теристик качества, перейти от достаточно сложных мето­ дов теории случайных функций, позволяющих связать изменение характеристик качества с изменением пара­ метров устройств, к более простым методам теории мас­ сового обслуживания.

Применяемый метод не использует никаких ограни­ чений на вид выходных случайных функций, сложность и погрешности вычислений при оценке характеристик ка­ чества определяет выбранный тип модели.

2-5. Рандомизированные марковские модели

Статистическая оценка интенсивностей показывает, что при более точном анализе необходимо учитывать случайный характер оценок. Строго говоря, эта случай­ ность может быть обусловлена не только ограничен­ ностью объемов выборок, по и другими причинами, на­ пример, случайным характером условий эксплуатации. Поэтому марковские модели, в которых интенсивности рассматривают как детерминированные величины, приво­ дят к погрешностям, которые тем больше, чем больше вариация интенсивностей. В связи с этим необходимо

52

остановиться на основных особенностях применения марковских моделей со случайными интенсивностями, которые для краткости будем называть рандомизирован­ ными марковскими моделями.

Характерной особенностью рандомизированных мар­ ковских моделей является то, что с их помощью мы полу­ чаем не сами характеристики качества устройств, а их оценки, законы распределения которых определяются законами распределения оценок интенсивностей. Попыт­ ки учесть эту особенность приводят к стохастическим дифференциальным уравнениям (дифференциальные уравнения со случайными параметрами) и в конечном итоге к отысканию характеристик различного вида не­ линейных преобразований систем случайных величин.

Несмотря на возникающие трудности, задачи такого рода приходится решать, так как только с помощью по­ лученных решений можно определить точность и досто­ верность оценок характеристик качества. Простейшей формой учета ограниченности объема выборок является рассмотрение рандомизированных распределений харак­ теристик качества ;[Л. 27, 28] — распределений, парамет­ ры которых являются случайными величинами. Следует отметить, что во многих теоретических и прикладных за­ дачах анализа и оптимизации качества приходится стал­ киваться с распределениями, параметры которых сами являются случайными величинами или процессами, т. е. структура случайных явлений оказывается как бы вдвой­ не случайной.

Рандомизированные распределения относительно дав­ но являются предметом исследований в математической статистике, в отечественной литературе их обычно назы­ вают смесями [Л. 37]. Одно из таких распределений мы уже рассматривали в § 2-3. Систематическое изучение различных рандомизированных распределений проводи­ лось также Э. А. Корнильевым при решении задач обна­ ружения радиолокационных сигналов в сложных помехо­ вых ситуациях [Л. 39],

Как и ранее, мы будем придавать рандомизации бо­ лее широкий смысл, не ограничиваясь рассмотрением рандомизированных распределений. По сути дела, любой метод введения дополнительных случайных параметров или процессов в математические модели случайных явле­ ний для проведения более точного исследования являет­ ся рандомизацией.

53

Особенности рандомизированных моделей рассмо­ трим в следующем порядке. Сначала найдем вид точных законов распределений характеристик качества для са­ мого простого случая — при экспоненциальных рандоми­ зированных распределениях времени безотказной работы

ивремени аварийного ремонта (Д-Р), полагая интенсив­ ности отказов и восстановлений нормально распределен­ ными величинами, а затем, используя метод линеариза­ ции, получим приближенные выражения для характерис­ тик качества в более сложных случаях.

Последнее обусловлено тем, что отыскание точных за­ конов даже в простейших случаях приводит к сложным

ималопригодным для практического использования фор­ мулам. Если к тому же рассматривать несколько работо­ способных состояний устройства, несколько операций

аварийного ремонта (АР), ПО, ТО, контроля работоспо­ собности (KP) и т. п., то необходимо определять законы распределения многомерных нелинейных функций. Точ­ ное решение таких задач прямыми методами, использую­ щими якобианы преобразований, затруднительно и приводит к громоздким аналитическим выражениям. По­ лучение приближенного решения методом линеаризации, использующим свойство асимптотической нормальности функций, аргументы которых имеют конечные математи­ ческие ожидания І[Л. 3], значительно проще. Кроме того, этот метод асимптотически эффективен —с ростом объе­ ма выборок приближенные характеристики асимптоти­ чески стремятся к точным.

Предположим, что устройство имеет только одно ра­ ботоспособное состояние и после отказа его работоспо­ собность не восстанавливается. Тогда характеристики качества определяет экспоненциальный закон со случай­ ной интенсивностью X. При объеме выборок г>-11 можно использовать неусеченный нормальный закон распреде­ ления X, так как Зсц-С/Пі, следовательно,

Точные законы распределения характеристик качест­ ва устройств найдем обычными методами как законы распределения детерминированных функций случайного аргумента А.

54

Закон распределения вероятности безотказной работы

среднего времени безотказной оаботы

, 0 < t< o o , (2-63)

№з {t) ~ Ѵъ. 8іі*

(2-64)

Точное аналитическое выражение закона распределе­ ния плотности вероятности получить невозможно, так как невозможно найти точное аналитическое представление обратной функции для

Поэтому получим приближенное выражение, аппрок­ симируя функцию (2-65) обобщенным полиномом второй степени на отрезке fmi—Зоі, т і + Зоц] с помощью полино­ мов Чебышева, которые ортогональны с весовой функ­

цией ( У 1—X2) _1 на отрезке [—1, 1], тогда

55

в виде суммы двух интегралов, разложив показательную функцию в ряд Маклорена, оставим под знаком интегра­ лов по четыре члена этого ряда. После преобразований с использованием таблиц [Л. 41] неопределенных инте­ гралов получим:

Так как х= (X—т{) (Зоі)_і, то

4с2Х2 — 2 (4от,е2 — 6с,в) 7-}- 36о^ (с0—0,5сг) -)- 4т\с2— 12/пІа1с1

Пример 2-5. Оценим максимальные погрешности чебышевской аппроксимации функции (2-65). Пусть /Иі=

=1 • 10~3 ч-\ <ті= 0,33-ІО“ 3 ч-К

Втабл. 2-1 приведены значения X из интервала [піі—Зоі, mi + 3ai], значения функции (2-65) и аппрокси­ мирующего полинома (2-70), а также абсолютные А и относительные погрешности 6% аппроксимации для двух моментов времени ^ = 10 ч, t%=T0= ІО3 ч.

Можно заметить, что чебышевская аппроксимация обеспечивает неплохое соответствие на интервалах воз­

можного изменения X и t. Увеличение погрешностей при t2—103 ч обусловлено тем, что при вычислении коэффи­

56

циентов полинома (2-70) использовался отрезок ряда Маклорена, содержащий всего четыре члена. Уточнить результаты можно или за счет увеличения числа членов этого ряда, или за счет разложения в ряд Тейлора в окрестности точки /щ. Однако такое уточнение не всег­ да требуется, так как практически интересны оценки на­ дежности для моментов времени £<7Ѵ

Таблица 2 - 1

Таким образом, чебышевская аппроксимация вполне обеспечивает требуемую для инженерного анализа точ­ ность.

Введем обозначения

Л ,—'4с2, Л2= 4т,с2— бз,^, Л3=

=36jj (с0— 0,5с2) -f- 4т\ с, — 12т1п1сі

инайдем обратную функцию для (2-70)

Я, ,2= (А, ± У А2 — А, [Л3 — 36з^ Уа] ) Л, 1 ,

Найдем и закон распределения математического ожи­ дания выходного параметра устройства. Так как my{t)=

— У*1 (У*о ~ У*i) e~Xt ^ является линейной функцией

57

ходного параметра.

Учтем, что после отказа проводится АР со случайной интенсивностью р. При объеме выборки г >11 можно использовать неусеченный нормальный закон распреде­ ления р, так как Зо^-Онг- Найдем закон распределения

в ней рассматривались законы распределения времени безотказной работы и времени АР.

Совместная плотность вероятности

Используя выражение (2-73), найдем закон распреде­ ления КТ

— СО

Показатель экспоненциальной функции в выражении (2-74) представим в виде полного квадрата и после ряда

58

промежуточных преобразований получим:

01

(2-75)

где

Как видим, отыскание таких законов распределения характеристик надежности даже в простейшем случае приводит к достаточно сложным аналитическим выраже­ ниям. Именно поэтому в дальнейшем мы будем приме­ нять метод линеаризации. Так как всегда интересен ана­ лиз возникающих погрешностей, то для иллюстрации возможной величины погрешности рассмотрим примеры, в которых сравниваются точные и приближенные точеч­ ные и интервальные оценки вероятности безотказной ра­ боты.

Пример 2-6. Найдем точные и приближенные оценки для моментов вероятности безотказной работы. Точная оценка і-го начального момента вероятности

59