§ VII.6. Перемещения железобетонных элементов

1. Общие положения расчета

Расчет перемещений железобетонных элементов —

прогибов и углов поворота — связан с определением

кривизны оси при изгибе или с определением жесткости

элементов. По длине железобетонного элемента в

зависимости от вида нагрузки и характера напряженного

состояния могут быть участки без трещин (или участки,

где трещины закрыты) и участки, где в растянутой зоне

есть трещины. Считается, что элементы или участки

элементов не имеют трещин в растянутой зоне, если при

действии постоянных, длительных и кратковременных

нагрузок с коэффициентом надежности по нагрузке yf =

= 1 трещины не образуются.

2. Кривизна оси при изгибе и жесткость

железобетонных элементов на участках без трещин

Кривизну оси изгибаемых и внецентренно загруженных

железобетонных элементов на участках, где не

образуются трещины, определяют как для сплошного

приведенного сечения в стадии I напряженно-деформированного

состояния по формуле

1/г = Му/В, (VII. Ill)

где М — изгибающий момент от нагрузок, для которых определяется

кривизна; В — жесткоеА приведенного сечения, которая для

тяжелого бетона и бетона на крупном пористом заполнителе и кварцевом

песке при кратковременном действии нагрузки

B = 0,85?b/red; (VII. 112)

240

If

f коэффициентом 0,85 учитывается снижение жесткости под

влиянием неупругих деформаций в бетоне растянутой зоны; <р — коэффн-

г циеит, учитывающий снижение жесткости (увеличение кривизны) при

длительном действии нагрузки под влиянием ползучести бетона ежа-

* той зоны; при средней относительной влажности воздуха выше 40 %

ои равен 2; при средней относительной влажности воздуха 40 % и

ниже — 3.

Кривизну оси, вызванную выгибом 1/г от

кратковременного действия усилия предварительного обжатия,

также определяют по формуле (VII.111) при значении

изгибающего момента

М = Реар. (VII. 113)

, Кривизну оси, вызванную выгибом под влиянием пол-

"^учести бетона от усилия предварительного обжатия,

принимают равной тангенсу угла наклона эпюры

деформаций по формуле

1/г=(е&-е;)/А0; • (VII. 114)

здесь е^ и е4— деформации бетона, вызванные ползучестью, на

уровне центра тяжести растянутой арматуры и крайнего сжатого волокна

бетона; потери Ое = Ов+Оа; ас=<х6+а9;

Если трещины в растянутой зоне, нормальные к оси

элемента, при действии рассматриваемой нагрузки

закрыты, то кривизны, определяемые по формуле

(VII. 111), увеличиваются на 20 %•

3. Кривизна оси при изгибе и жесткость

железобетонных элементов на участках с трещинами

На участках, где образуются нормальные к

продольной оси элемента трещины в стадии II, общее

деформированное состояние определяют средними деформациями

растянутой арматуры esm, средними деформациями

бетона сжатой зоны Еьт и средним положением нейтральной

оси с радиусом кривизны г (рис. VII. 14). Рассмотрим

железобетонный элемент в зоне чистого изгиба.

Кривизна оси и средние деформации арматуры и бетона

связаны зависимостью

Icrc езго ^сгс еЬт1сгс (esm Ч~ ъЬт) Icrc #

f «о хт хт п0

после сокращения на /сгс кривизна оси при изгибе пред-

16—943 241

ставляется как тангенс угла наклона на эпюре средних

деформаций

_1_ е«т еьта ^сге Sgro ~Ь &ът Ат ,,сч

= = = • (VII .116)

г "о хт хт Ло

Принимая во внимание, что

кривизна оси при изгибе

1 11)чОч

. (VII. 117)

еЪт

Рис. VII.14. К определению кривизны оси при изгибе элемента

После подстановки в выражение (VII.117) значений

напряжений в арматуре и бетоне gs=M/Ws, Ob=M/Wc

получим выражение для кривизны

г EsWs(ha-xm) %bEbWcxm h0

(VII. 118)

Знаменатель в выражении (VII.118) представляет

собой жесткость железобетонного сечения при изгибе,

выраженную или по растянутой зоне

В = (?./?,) !Р,(Ло-*т).

(VII. 119)

242

или по сжатой зоне

B=CkbEb№b)Wcxm, (VII. 120)

Или по обеим зонам сечения

B = hj(-^-+ , t* ). (VII. 121)

Ь Выражения кривизны и жесткости с учетом значений

ругопластических моментов сопротивления Ws, Wc

^инимают вид

1 М [-*?-+ *6 1; (VII. 122)

L Е8 Аа (Фу -f-1) Xb Eb bhfj J

1

J

В общем случае для предварительно напряженных

изгибаемых, внецентренно сжатых и внецентренно

растянутых элементов при e0jv^0,8 h0 систему внешних сил и

усилия предварительного обжатия заменяют

эквивалентной системой с моментом Ms и суммарной продольной

силой Ntot. Тогда напряжение в бетоне сжатой зоны,

согласно (VII.97),

аь = М81АЬ ги где Аь = (ср, + g) bh0; (VII. 124)

напряжение в растянутой арматуре, согласно (VII.100),

oa = MJAspZl-NMIA3V. (VII. 124а)

Общее выражение кривизны оси при изгибе после

подстановки значений напряжений в бетоне сжатой зоны

и растянутой арматуре принимает вид

] ( 1125

ЕЪАЬ\ h0 ESAS

Кривизна оси при изгибе 1/г и жесткость В на

участках элементов с трещинами с течением времени

изменяются, и поэтому в расчетах их определяют с учетом ряда

физических факторов: работы бетона на растяжение на

участках между трещинами, характеризуемой

коэффициентом ijjS) неравномерности деформации бетона сжатой

зоны на участках между трещинами, характеризуемой

коэффициентом я|зь, неупругих деформаций бетона сжа-

гой зоны, характеризуемых коэффициентом Я&.

Значения я|з* и Кь определяют с учетом длительности

действия нагрузки.

Значения коэффициента кь установлены нормами для

16* 243

тяжелых бетонов и б'ет0НУв на пористых заполнителях в

зависимости от хараК^теР* Действующей нагрузки и

условия эксплуатации конструкции. При кратковременном

действии нагрузки Ki>~®№; ПРИ Длительном действии

нагрузки: в условиях ересей относительной влажности

воздуха выше 40 % КР~^,^' в условиях средней

относительной влажности вРздУ*а 40 % и ниже Яь=0,1.

Обратим внимание, что у^тан^лены собственно значения не

коэффициентов Кь, а ^нач^ия произведений аКь, которые

при принятой для f'ac4Wa B стадии II прямоугольной

эпюры напряжений в бет?е сжатой зоны с

коэффициентом полноты со = 1 ч^сле?° Равны значениям Кь.

4. Перемещения Жел^30Ч"°нных элементов

Прогиб железобегонн\^ элементов, не имеющих тре-

щин в растянутых зо^ах> определяют по жесткости

приведенного сечения В и с учетом значений коэффициента

<р при длительном д^исте^и нагрузки. Полное значение

прогиба

/ = / Д< + /к — fcv — fc»c (VII. 126)

где f.h t — прогиб от кратковР^енной нагрузки; /„ — прогиб от

постоянной и длительно дей^твУю11»их нагрузок; fcp — выгиб от

кратковременного действия усилия п^Дварительного обжатия Р с учетом

всех потерь; fcsc — выгиб всле4ствие ползучести бетона от обжатия.

Выгиб предварите,яьно напряженных элементов

постоянной высоты, выз?аш}р1й внецентренным обжатием:

(VII. 127)

Выгиб предварите/11^0 напряженных элементов

постоянной высоты, выэ831"*)^ ползучестью бетона от

обжатия:

f,sc =---'- — . (VII. 128)

'ас °

Прогиб железобет$ннЩ элементов, имеющих

трещины в растянутых зона10' определяют по кривизне оси при

изгибе t

f= y4—(x)dx, (VII. 129)

о

Где Ж—изгибающий мом<нт в сечеиии х от единичной силы,

приложенной по направлению мском^° перемещения; — (х) определяют

по формуле (VI 1.125).

244

Н" При определении перемещений железобетонных эле-

-•ментов постоянного сечения допускается на каждом уча-

*стке, в пределах которого изгибающий момент не меня-

' ет знака, вычислять кривизну для наиболее напряженно-

то сечения и далее принимать изменяющейся прямо

'-пропорционально эпюре изгибающих моментов. Это

•.допущение равносильно тому, что жесткость В

вычисляют для наиболее напряженного сечения и далее принн-

мают постоянной.

Для предварительно напряженных элементов, к

которым предъявляются требования 2-й и 3-й категорий по

трещиностойкости, такие допущения в ряде случаев

приводят к существенному завышению прогиба против

действительного значения, так как участки с трещинами в

растянутой зоне могут иметь ограниченную

протяженность. В таких случаях прогиб

/ = 2 (*7Й— (х) dx, (VII. 130)

1 , ,

при этом эпюру кривизны — (*) по длине пролета

железобетонного элемента разбивают на несколько участков

в виде кусочно-линейной функции и вычисляют интеграл

перемещений перемножением эпюр, пользуясь правилом

Верещагина. Кривизну—(л;) на каждом участке без

трещин и с трещинами определяют по формулам (VII.111),

(VII.125).

Углы поворота железобетонных элементов также

определяют интегрированием по (VII.129) или (VII.130),

но по моменту М в сечении х от единичного момента.

В простейших случаях прогиб изгибаемых элементов

без предварительного напряжения — плит, панелей,

балок и т. п. — от равномерно распределенной нагрузки

/ = E/384) (ql*IB).

Прогиб однопролетных балок и консолей от

различных нагрузок определяют по кривизне или по жесткости

в сеченин с максимальным моментом по общей формуле

f = sP(l/r) или f = sP(M/B); (VII.131)

коэффициент s зависит от расчетной схемы элемента и

вида нагрузки. Для свободно опертой балки: при

равномерно распределенной нагрузке s = 5/48, при

сосредоточенном грузе в середине пролета s = 1/12, при двух рав-

245

ных моментах по концам s==l/8; для консольной балки:

при равномерно распределенной нагрузке s=l/4, при

сосредоточенном грузе на свободном конце s== 1/3, при

моменте на свободном конце s=l/2.

При двузначной эпюре напряжений в неразрезных

балках для каждого участка жесткость принимают

постоянной по сечению с максимальным моментом (рис.

VII.15).

Рис. VI 1.15. Эпюры моментов /

и расчетной жесткости 2 двух-

пролетной балки

Рис. VI 1.16. Прогиб

железобетонного элемента при действии

кратковременной и длительной

нагрузок

Прогиб коротких изгибаемых элементов при

отношении //Л<10 (подкрановых балок, подстропильных балок

и т. п.) должен определяться с учетом влияния

поперечных сил. В этом случае полный прогиб равен сумме

прогибов, обусловленных деформацией изгиба и

деформацией сдвига. Прогиб

i

=

J

о

{-

/ = Q Ух dx\ ух =

J

СЬп0

фСГ

где Q — поперечная сила в сечении х от единичной силы,

приложенной по направлению искомого перемещения; ф — коэффициент,

учитывающий длительность действия нагрузки; фСГс—коэффициент,

учитывающий влияние трещин на деформацию сдвига н принимаемый на

участках по длине элементов, где отсутствуют нормальные и

наклонные трещины, равным 1; на участках, где только наклонные

трещины,-- 4.8;

_зв_

Bern

ЗВ 1

ИЛИ

м.

тм-

на участках, где только нормальные нли нормальные н наклонные

трещины; ВСге — жесткость сечення после образования трещин.

246

Полный прогиб элементов определяют с учетом

длительности действий нагрузки по формуле

f = h-fz + h-fcsc> (VII. 132)

где fi — прогиб от кратковременного действия всей нагрузки; ft —

прогиб от кратковременного действия постоянной и длительной иа-

грузок; f9 — прогиб от длительного действия постоянной и

длительной нагрузок; /с« — выгиб, вызванный ползучестью бетона от

обжатии.

Прогибы f{ и f2 вычисляют при значениях ifs и Кь,

отвечающих кратковременному действию нагрузки, а

прогиб /3 — при значениях i|5s и %ь, отвечающих длительному

действию нагрузки.

Физический смысл формулы (VII. 132) можно уяснить

из рассмотрения диаграммы зависимости F—f,

изображенной на рис. VII. 16.

Полный прогиб предварительно напряженных

элементов определяют с учетом длительности действия

нагрузки по полной кривизне

(VII. 133)

м

T rl rZ r3 Гсзс

5. Осредненная жесткость железобетонных элементов

с учетом трещин в растянутых зонах

При расчёте статически неопределимых

железобетонных конструкций (например, многоэтажных рамных

каркасов) необходимы значения жесткости элементов или

их отношение. Для вне-

центренно сжатых

элементов с двузначной эпюрой

напряжений н с

участками по длине без трещин и

с трещинами в растянутой

зоне необходимо

определять осредненную

жесткость.

Рассмотрим внецен-

тренно сжатую стойку

рамы (без предварительного

напряжения)

прямоугольного сечения с симметрии- Рис. VII.17. К определению осред-

НОЙ арматурой AS=AS нениой жесткости Вт внецентрен-

(рис. VII. 17). Продоль- и0 сжатых стоек с Учетом пеРе"

VF ' v м меиного эксцентриситета

продольную сжимающую силу тй „.^ „ трещин на *т*ых

представим как п=т/ец, участках

247

а заменяющий момент — как Мз=Ме/е0. Тогда из

выражения кривизны (VII.125) найдем жесткость стойки на

участках с трещинами

м /г ¦.(.-*) «ь 1 (VIM34)

в==e°ft

которая по длине стойки будет переменной в связи с

переменным значением эксцентриситетов е0 и других

параметров. Жесткость стойки на участках без трещин

постоянна и определяется по формуле (VII.112).

Применение переменной жесткости В для расчета

конструкций (например, для расчета статически

неопределимой рамы) практически неудобно. Поэтому

пользуются осредненной жесткостью, постоянной по длине

элемента, которую определяют из условия равенства

перемещений.

Угол поворота внецентренно сжатой стойки, имеющей

по длине различные участки с трещинами и без них, от

действия концевых моментов и продольной силы

составит

е=2_[УЙ A/г) x(dx).

Этот же угол поворота опорного сечения стойки с

осредненной по длине жесткостью

е = МЦ%Вт.

Осредненную жесткость внецентренно сжатой стойки

определяют из равенства этих двух выражений для угла

поворота опорного сечения. Опуская промежуточные

выкладки, приведем лишь конечный результат, который

может применяться для практических расчетов:

Bm = kaEblb, (VII. 135)

где h — момент инерции бетонного сечения стойки; ko —

коэффициент, определяемый в зависимости от относительного эксцентриситета

eo/ho, коэффициента армирования ц=/4,/ЬАо, класса бетона, класса

арматуры.