3447

популяции, такими факторами, как ограниченность пищевых и пространственных ресурсов и многими другими факторами, различными для разных видов. Мы докажем это свойство решения уравнения (2.102) на основе фактически построенного решения.

Разделяя переменные в уравнении, получим:

где выполнено разложение правильной рациональной дроби на сумму простейших дробей. Интегрируя дифференциальное уравнение, имеем:

Из общего интеграла (2.103), учитывая найденную константу, получим частное решение уравнения (2.102), удовлетворяющее начальному условию:

kt 1. Разлагая экспоненту в степенной ряд и ограничившись двумя членами

ekt 1 kt,

запишем приближенно выражение в правой части (2.104) в виде

81

Разлагая дробь в правой части равенства в геометрический ряд и ограничиваясь членами первого порядка малости, имеем:

Отметим, что если хотя бы один из системных факторов k, P зависит от времени, то уравнение (2.102) не допускает

разделение переменных. Однако и в этом случае его решение выражается квадратурами, поскольку оно будет являться уравнением Бернулли.

З а д а ч а о п а д е н и и т е л а в г р а в и т а ц и о н н о м п о л е.

Рассмотрим задачу о вычислении скорости тела массы m , падающего вертикально вниз с некоторой высоты под действием силы тяжести, если сила вязкого трения, действующая на тело, пропорциональна величине скорости.

Обозначим v(t) - скорость тела в момент времени t . Действующие на тело две противоположно направленные силы

динамическая вязкость (пуаз=0,1Па∙с). Значение коэффициента вязкости для воздуха при T 293K и давлении p 101,3кПа ;

82

=0,018мПа∙с; для воды при T 293K : =1,002мПа∙с. Дифференциальное уравнение получаем из второго закона

Разделяя переменные и интегрируя, получаем:

dv

t C1 .

m v g

Вычисляем интеграл в левой части равенства методом подведения под дифференциал:

Учитывая правую часть предыдущего равенства, получаем:

имеющее физического смысла. Если тело начинает движение с нулевой начальной скоростью v(0) 0 , то C mg и решение примет вид

83

наличии вязкого трения скорость, возрастает, стремиться к постоянной величине v mg .

З а д а ч а о б и з м е н е н и и т е м п е р а т у р ы т е л а в с р е д е.

Тело, имеющее в начальный момент времени температуру T (0) T0 , поместили в среду, температура которой

поддерживается неизменной и равной Tc (термостат). Рассмотрим закон изменения температуры тела со временем, если Tc T0 .

Обозначим T(t) температуру тела в момент времени t . И.

Ньютон экспериментально установил закон, согласно которому при определенных упрощениях скорость изменения температуры тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды

охлаждения (нагревания) тела моделируется приведенным уравнением, которое является линейным дифференциальным уравнением первого порядка. (Очевидно, что его можно

84

привлекая условие Бернулли, налагаемое на одну из функций, получаем систему двух дифференциальных уравнений:

du

v(t) dt Tc .

Интегрируя первое уравнение системы, находим частное решение v(t) e t . Из второго уравнения получаем функцию u(t) :

u(t) C T0e t .

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения, описывающего изменение температуры тела, имеет вид:

Подставляя найденное значение параметра в общее решение уравнения, находим искомую зависимость температуры тела от времени

что физически очевидно.

85

Пусть через цилиндрическую катушку, изготовленную из медной проволоки, протекает электрический ток. При этом, как известно из курса физики, в проводнике выделяется тепло Джоуля-Ленца. Получим формулу временной зависимости температуры цилиндра T(t) , учитывающую теплообмен с

окружающей средой.

Введем обозначения: s - площадь поверхности катушки; V - объем катушки; - удельный вес меди; c - ее удельная

теплоемкость; k - коэффициент теплопроводности; T0 - температура среды, в которую помещена катушка с током; q -

количество теплоты, выделяемой в единицу времени током в проводнике (тепло Джоуля-Ленца).

Количество теплоты, выделяющееся за время t , будет равно Q q t . Эту величину можно записать исходя из соотношения баланса в виде суммы

Q Q1 Q2 ,

где Q1 - тепло, расходуемое на повышение температуры проводника T , Q2 - тепло, расходуемое на повышение

температуры среды (уходящее тепло). Из курса физики известно:

86

Отсюда

Для конкретизации полученной зависимости необходимо задать объем и площадь поверхности цилиндра, длину проводника и силу тока в проводнике (для формулы ДжоуляЛенца). Остальные величины можно найти в справочнике по физике.

З а д а ч а г и д р а в л и к и о т е ч е н и и ж и д к о с т и в т р у б е.

Пусть в прямолинейной цилиндрической трубе радиуса R течет жидкость. Предположим, что в результате трения жидкости о стенки трубы скорость каждого цилиндрического слоя жидкости уменьшается при увеличении расстояния слоя от оси цилиндра. Задача заключается в определении скорости слоя v как функции расстояния r до оси цилиндра.

Из гидравлики известно, что зависимость между скоростью и расстоянием слоя до оси выражается уравнением

87

где - удельный вес жидкости; E - коэффициент упругости;

i - гидравлический спад. Знак “минус” в уравнении обусловлен тем, что с увеличением r скорость течения уменьшается. Начальное условие означает прилипание жидкости к стенкам трубы в силу вязкости жидкости.

Разделяя переменные и интегрируя, имеем:

зависимость скорости слоев жидкости от расстояния до оси трубы имеет вид:

Вопросы для самоконтроля

1.Дайте определения дифференциального уравнения первого порядка, его общего и частного решений, общего и частного интеграла. Сформулируйте задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка, укажите ее геометрический и механический смысл.

2.Дайте геометрическую интерпретацию дифференциального уравнения первого порядка. Укажите геометрический смысл общего и частного решения.

3.Дайте определение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными. Изложите метод построения его общего решения. Приведите пример.

4.Дайте определение однородного дифференциального уравнения первого порядка. Изложите метод нахождения его общего решения. Приведите пример.

88

5.Дайте определение линейного дифференциального уравнения первого порядка. Изложите метод нахождения его общего решения. Приведите пример

6.Дайте определение уравнения Бернулли. Изложите метод нахождения его общего решения. Приведите пример.

7.Дайте определение дифференциального уравнения в полных дифференциалах. Изложите метод нахождения его общего решения. Приведите пример. Как вводится понятие интегрирующего множителя уравнения?

8.Какое решение дифференциального уравнения называется особым решением?

89