3447

130

4. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

4.1. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка в теории дифференциальных уравнений занимают важное место не только потому, что представляют собой простой и хорошо изученный тип уравнений, но и потому, что многие практические задачи физики, механики, техники и особенно электротехники приводят к решению этих уравнений.

1. Основные понятия.

Определение. Уравнение вида

дифференциальным уравнением второго порядка.

Если f (x) 0, то уравнение (4.1) называется линейным однородным уравнением. Если же f (x) 0, то уравнение (4.1)

называется линейным неоднородным уравнением.

131

2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка. Рассмотрим некоторые свойства решений линейных однородных уравнений.

уравнения (4.2). Естественно возникает вопрос, не является ли это решение общим решением уравнения (4.2). Покажем, что при некоторых условиях функция y C1 y1(x) C2 y2 (x)

является общим решением уравнения (4.2). Предварительно введем понятия линейной зависимости и линейной

132

являются решениями уравнения (4.2). Вопрос о том, являются ли они линейно зависимыми или линейно независимыми,

решают с помощью определителя Вронского:

функцией, определенной на (а, b), и обозначается W ( y1, y2 ) или просто W(x).

Теорема 2. Если функции y1(x) и y2 (x) линейно

зависимы на (а, b), то определитель Вронского, составленный из них, равен нулю на этом интервале.

Теорема 3. Если решения y1(x) и y2 (x) уравнения (4.2)

линейно независимы на (а, b), то определитель Вронского, составленный из них, отличен от нуля на этом интервале.

Итак, установлено, что если функции y1(x) и y2 (x)

являются на (а,b) решениями линейного однородного уравнения (4.2), то составленный из них определитель

133

решения уравнения (4.2) достаточно найти два линейно независимых частных решения и составить выражение (4.2) с произвольными постоянными C1 и C2 .

3. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка. Рассмотрим теперь основные свойства решений линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка (4.1):

y p(x) y q(x) y f (x).

Имеет место следующая теорема.

Теорема 5. Общее решение уравнения (4.1) есть сумма любого его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения.

Таким образом, чтобы найти общее решение линейного неоднородного уравнения, нужно найти общее решение соответствующего однородного уравнения и какое-нибудь частное решение неоднородного уравнения. В общем случае задача отыскания частного решения является сложной. Покажем, как можно найти частное решение неоднородного уравнения методом вариации произвольных постоянных, если известно общее решение соответствующего однородного уравнения.

134

Пусть Y C1 y1(x) C2 y2 (x) общее решение однородного уравнения (4.2). Будем искать частное решение неоднородного уравнения (4.1) в виде

y С1(x) y1(x) C2 (x) y2 (x).

Дифференцируя это равенство, найдем у":

y C1(x) y1(x) С1(x) y1(x) C2 (x) y2 (x) C2 (x) y2 (x).

Подставляя выражения для у, у' и у" в уравнение (4.1) и группируя слагаемые, получаем

C1(x)(x) y1(x) C2 (x) y2 (x) f (x).

Выражения в квадратных скобках равны нулю, так как y1(x) и y2 (x) решения однородного уравнения. Поэтому последнее равенство принимает вид

уравнениям (4.8) и (4.9). Объединяя их, получаем систему уравнений

135

y1(x), y2 (x) и f (x) известны. Так как определителем этой системы является определитель Вронского

составленный из линейно независимых решений y1(x) и y2 (x)

однородного уравнения (4.2), то он по теореме 5 не равен нулю, а значит, система (4.10) имеет единственное решение относительно С1(x) и С2 (x) . Решая эту систему, получаем

С1(x) 1(x), С2 (x) 2 (x), где 1(x) и 2 (x) известные функции, откуда, интегрируя, найдем C1(x) и C2 (x) .Под-

ставляя полученные выражения для C1(x) и C2 (x) в равенство (4.6), получаем искомое частное решение уравнения (4.1).

частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде

136

первое из уравнений системы, найдем С2 (x) 12 xex , откуда,

интегрируя, получаем С2 (x) 12 (x 1)ex .