3447

где

радиус - вектор точки, t - время,

x(t)i y(t) j z(t)k

r

d 2

dr

v

- скорость точки,

r

a

- ускорение. Записанное

dt

dt 2

dr

dr

t,

,

dr

t,

,

dr

F t,

,

f t,

,

i f

j

f

k .

r

r

2

r

3

r

dt

1

dt

dt

dt

Подставив разложения

и F в

уравнение

(5.2),

r

приравняя

проекции на координатные оси. Получим систему

трех уравнений:

m

d 2 x

f1(t, x, y, z, x, y, z),

dt 2

m

d 2 y

f 2 (t, x, y, z, x, y, z),

(5.3)

dt 2

m

d 2 z

f3 (t, x, y, z, x, y, z),

dt 2

где точка

над буквой обозначает производную по t . Каждое

нормальному виду введем функции u x ,

v y ,

w z -

проекции скорости

dr

на координатные

оси.

Получим

dt

(t0 )

x0 , y0 , z0

и

начальная

скорость

r

r0

dr

(t0 )

r

u

0

, v

0

, w .

dt

0

0

dy1

a11

(x) y1

a12 (x) y2

a1n (x) yn

f1(x),

dx

dy2

a21(x) y1

a22 (x) y2

a2n (x) yn

f 2 (x),

dx

(5.4)

dyn

an1(x) y1

an2 (x) y2

ann (x) yn

f n (x),

dx

где aij (x) и

fi (x)

(i, j 1,2, , n) - заданные функции от x .

Если правые части системы (5.1) не зависят явно от

независимой переменной x , т.е. если система имеет вид

dy1

f1( y1, y2 , , yn ),

dx

dy2

f 2 ( y1, y2

, , yn ),

dx

(5.5)

dyn

f n ( y1, y2

, , yn ),

dx

истолкования нормальной системы.

Совокупность

n функций y 1(x), , y

n (x),

1(x)

f1(x,

1(x),

2 (x), , n (x)),

2 (x)

f 2 (x,

1(x),

2 (x), , n (x)),

n (x)

f n (x,

1(x),

2 (x), , n (x)),

справедливые при всех значениях x

из интервала (a,b) .

Пример.

Система уравнений

dy

7 y

6z,

dx

dz

6 y

7z,

dx

имеет решение

y

e x ,

z

ex .

В этом можно убедиться,

1

1

подставив эти функции в уравнения системы:

ex 7ex

6ex ,

e x

6e x 7e x .

является другая совокупность функций: y2

e13x , z2

e13x

при

x (

; ) .

Решением этой системы будет являться и

двухпараметрическое

семейство

функций:

y

Ae x

Be13x ,

z

Ae x

Be13x ,

A

и B –

произвольные

постоянные.

Ae x

13Be13x

7(Ae x

Be13x )

6(

Ae x

Be13x ) ,

Ae x

13Be13x

6(Ae x

Be13x )

7(

Ae x

Be13x ).

содержащее два произвольных параметра.

Перейдем к геометрическому истолкованию нормальной

системы.

Изучая

дифференциальные

уравнения

1-го порядка

dy

f (x, y)

и рассматривая

x, y как

прямоугольные

dx

Будем

рассматривать

(x, y1, , yn )

как координаты

точки в (n

1) -

мерном

пространстве

x, y1, , yn . Тогда

решению

y

1(x), y

2 (x), , y

n (x) соответствует

кривая в введенном (n

1) - мерном пространстве. Эта кривая

называется интегральной кривой системы (5.1).

Пусть

функции

f1(x, y1, y2 , , yn ) ,

f 2 (x, y1, y2 , , yn ) ,

, f n (x, y1,

y2 , , yn )

в системе (5.1) определены и конечны

каждой точке M (x, y1, , yn )

D проведем

отрезок

прямой

с

направляющим

вектором

s

1, f1(x, y1, y2 , , yn ), , f n (x, y1, y2 , , yn ) .

Тогда

получим поле направлений

в области D

(n

1) -

мерного

Если в точке M 0 (x0 , y1(x0 ), , yn (x0 ))

все правые части

системы (5.1) или некоторые

из

них

обращаются

в

неопределенные выражения вида

0

, то в этой точке поле

0

(k 1,2, , n) . В

этих обозначениях нормальная система

уравнений (5.1) записывается так:

x1

X1(t, x1, x2 , , xn ),

x2

X 2 (t, x1, x2 , , xn ),

(5.6)

xn

X n (t, x1, x2 , , xn ).

координатами

x1, x2 , , xn

решение

системы

x1

1(t), , xn

n (t) определяет

закон движения или

движение по некоторой траектории с течением времени

t .

Если ввести n - мерный вектор

x1(t), x2 (t), , xn (t)

,

то

rn

его производная по

времени

r (t)

x

(t), , x

n

(t)

n

1

интерпретируется как скорость движения точки в

n - мерном

пространстве, xk (t) (k

1,2, , n) - проекции вектора скорости

на координатные оси.

При такой интерпретации, естественной

в физических и

механических задачах, система (5.6) или в векторной форме

r

) ,

(5.7)

F (t,

r

n

n

среди всех

решений

системы найти

такое

решение

y1

1(x), , yn

n (x) ,

в котором

функции

k (x)

(k

1,2, , n)

принимают

заданные

числовые

значения

y1(0) , y2(0) , , yn(0)

при

заданном числовом

значении x x0

независимой переменной:

1(x0 )

y1(0) , ,

n (x0 )

yn(0) .

Совокупность

чисел

x0 , y1(0) , , yn(0)

называется

начальными

данными решения

y1

1(x), , yn

n (x) ;

число x0

называют

начальным

значением

независимой

Остановимся

на механическом

истолковании задачи

Коши для нормальной системы (5.6):

xk

X k (t, x1, , xn ) (k

1,2, , n) .

т.е. движущаяся

точка

в заданный

момент

времени t t0

находится

в

заданной

точке

фазового

пространства

M 0 (x1(0) , x2(0) , , xn(0) ) .

Совокупность

чисел

t0 , x1(0) , , xn(0)

называется

начальными

данными

движения;

условия

x

x(0) , , x

n

x(0)

называются

начальными условиями

1

1

n

d (x

y)

(x y),

dt

d (x

y)

(x y).

dt

Видим, что новая система представляет собой систему

независимых уравнений

относительно функций (x y) и

d (x

y)

~

t

C ,

ln(x

y)

t

~

x

y

C et ,

(x

y)

1

C ,

1

1

d (x

y)

~

~

t .

ln(x

y)

t

C2

,

x

y

C

e

(x

y)

t

C2

,

2

Из начальных условий, полагая t

0,

x(0)

2 ,

y(0)

1,

получим C1 3,

C2

1.

Подставив найденные постоянные в

выражения для

(x

y)

и

(x

y) ,

сложив,

а затем вычтя их

друг из друга, получим

x

1

(3et

e

t ),

y

1

(3et

e t ) .

2

2

dyk

fk (x, y1

, , yn ) (k

1,2, , n)

dx

и поставлены начальные условия

y

y(0)

, y

2

y(0)

, , y

n

y(0)

1

1

2

n

при

x

x0 .

Пусть

функции

f k (x, y1, , yn )

(k 1,2, , n)

определены в замкнутой ограниченной области

D

(n

1) -

мерного пространства:

y (0)

y (0)

x

x

0

a ,

y

b, ,

y

b ,

1

1

n

n

a и

b

-

заданные

положительные

числа

с

точкой

M 0 (x0 , y1(0) , , yn(0) )

внутри

D

и

удовлетворяют

в

D

fk (x, y1, , yn )

M

(k

1,2, , n),

где

M - положительное число,

M (x, y1, , yn )

D ;

функции

f k (x, y1, , yn )

(k

1,2, , n)

имеют

ограниченные частные производные

fk (x, y1, , yn )

K

(k,l

1,2, , n),

yl

где

K - положительное число,

M (x, y1, , yn )

D .

Тогда система имеет единственное решение

y1

1(x), , yn

n (x) ,

удовлетворяющее начальным условиям

y

y (0)

, , y

n

y (0)

1

1

n

при

x x0 .

Это

решение

определено

и

непрерывно