3447

y (q(x) p(x))y (v 1).

Уравнение (2.58) также будет являться уравнением с

которое является линейным уравнением. Интегрируя полученное уравнение методом, изложенным в п.2.4, получим общее решение уравнение Бернулли в виде

1

y e(v 1)p(x)dx C (1 v)q(x)e(1 v)p(x)dx dx 1 v . (2.61)

Читателю рекомендуется самостоятельно получить это решение. Таким образом, уравнение Бернулли также

является особым решением, поскольку в каждой точке этого решения нарушается единственность решения задачи Коши.

50

3. При решении уравнения Бернулли нет необходимости пользоваться готовой формулой (2.61). Проще превратить его в линейное уравнение, используя подстановку (2.59), или же непосредственно использовать метод Бернулли, отыскивая

Накладываем условие равенства нулю второго слагаемого в левой части уравнения. Получаем совокупность связанных дифференциальных уравнений:

u v u 2v2 lnxx .

Решаем первое уравнение. Имеем:

51

которое формально можно получить из общего решения при

геометрическим свойствам, сводящуюся к дифференциальному уравнению Бернулли.

Найти линии, у которых отрезок, отсекаемый касательной

координаты текущей точки касательной с угловым коэффициентом, равным y . Положив в уравнении касательной

52

требуемым свойством (это видно и без построения дифференциального уравнения). Отметим, наконец, что полученное уравнение Бернулли можно было решить с помощью разделения переменных, так как p(x) q(x) .

Задачи для самостоятельного решения

54

2.6. Уравнение в полных дифференциалах

Мы познакомились в предыдущих параграфах с некоторыми видами дифференциальных уравнений 1-го порядка, допускающих интегрирование в квадратурах. Ниже рассматривается новый тип уравнений, занимающий особое место в теории дифференциальных уравнений. Важность этого типа уравнений связана с тем, что к нему сводятся не только некоторые из ранее изученных уравнений, но и многие другие уравнения. Особенно важна связь таких уравнений с теорией потенциала, без которой невозможно построить термодинамику, электродинамику, гидродинамику и ряд других физических и прикладных дисциплин.

1. Уравнением в полных дифференциалах называется уравнение вида

левая часть которого представляет собой полный дифференциал функции U(x, y) , т.е.

что они непрерывны по обеим переменным в некоторой односвязной области плоскости (т.е. области без “дырок”) и ни в одной точке этой области не обращаются одновременно в нуль.

Поскольку полный дифференциал функции двух переменных записывается через частные производные

то уравнение в полных дифференциалах (2.62), (2.63) можно переписать в виде

Таким образом, решение этого уравнения сводится к нахождению функции U(x, y) по ее полному дифференциалу. Уравнение (2.65) можно, очевидно, записать так:

55

Очевидно, что особых решений уравнение в полных дифференциалах не имеет.

В простейших случаях, когда заранее известно, что левая часть уравнения вида (2.62) представляет собой полный дифференциал, можно воспользоваться методом подведения

Аналогичное выражение имеем для второго слагаемого:

Решение. Сгруппируем члены, входящие в уравнение так, чтобы каждая группа являлась полным дифференциалом:

56

Следовательно, данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах и выражение

(x y)2 2y2 C

есть его общий интеграл.

Приведенные примеры показывают недостатки метода: даже когда известно, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах, подобрать соответствующие группы, которые являются полными дифференциалами, не всегда просто. Тем более, что до сих пор мы не привели критерия, по которому можно распознать этот тип уравнения.

Поэтому возникают вопросы: как узнать по виду уравнения в форме (2.62), является ли оно уравнением в полных дифференциалах? В случае если уравнение является таковым, как построить функцию U(x, y) и, следовательно,

общий интеграл этого уравнения?

2. Признак уравнения в полных дифференциалах и построение общего интеграла.

Теорема. Пусть функции P(x, y) и Q(x, y) непрерывны и

некоторой области a x b , c y d . Тогда необходимым и достаточным условием того, чтобы дифференциальное выражение P(x, y)dx Q(x, y)dy было полным дифференциалом, является равенство частных производных

Доказательство*. Докажем необходимость условия (2.68). Пусть дифференциальное выражение является полным дифференциалом, то есть справедливо равенство

dU(x, y) P(x, y)dx Q(x, y)dy.

Но тогда отсюда и формулы (2.64) следует, что

57

Дифференцируя первое из равенств (2.69) по y , а второе по x , получим:

будут непрерывны и смешанные производные. По теореме матанализа о смешанных производных они должны быть равны

что влечет равенство (2.68).

Докажем, достаточность условия. Пусть условие (2.68) выполнено. Докажем, что можно построить такую функцию U U (x, y) , полный дифференциал которой удовлетворяет

равенству (2.63). Если такая функция существует, то из (2.63) и (2.64) вытекают равенства (2.69).

Из первого равенства в формулах (2.69) следует, что

x

Таким образом, функция (2.70) удовлетворяет первому из условий (2.69).

Покажем, что функцию C(y) можно выбрать так, чтобы

удовлетворялось и второе равенство в (2.69), то есть выполнялось

58

функция C(y) удовлетворяла дифференциальному уравнению

59