3447

x

y

1 exp

(

cos x)dx

esin x .

0

Рассмотрим свойства решений однородного линейного

уравнения.

1. Если

y1(x)

есть частное решение уравнения (2.42), то

функция y Cy1 ,

где

C

-

произвольная постоянная, тоже

является решением этого уравнения.

Действительно,

так как

y1 - решение уравнения, то имеет

место тождество

y1

p(x) y1

0 (a x b).

Подставим

в

уравнение

(2.42)

y

Cy1

и

примем во

внимание записанное выше тождество. Имеем:

(Cy1) p(x)Cy1

C( y1

p(x) y1) 0 (a x b).

Следовательно,

функция

y

Cy1

является

решением

уравнения (2.42).

2.

Если

y1

-

частное решение уравнения (2.42), то

формула y Cy1 ,

где

C

-

произвольная постоянная, дает

общее

решение

уравнения

(2.42)

в

области

a x

b,

y

.

Действительно,

функция

y

Cy1

является

решением

параметра C .

Рассматривая равенство

y

Cy1 как уравнение

относительно

C ,

видим, что оно разрешимо

в области

a x b,

y

при всех C :

C

y y1 .

Поэтому

yон

yоо

yчн ,

где yоо - общее решение однородного уравнения (2.42)

yоо

Ce p(x)dx .

Доказательство. Пусть нам известно некоторое частное

решение yчн неоднородного уравнения

(2.41), т.е.

yчн

p(x) yчн

q(x)

a x b.

Введем

новую

неизвестную

функцию

z

по формуле

y yчн z .

Подставляя

функцию

y

в

уравнение (2.41),

получим, требуя, чтобы функция y

удовлетворяла уравнению:

yчн

p(x) yчн

z

p(x)z q(x).

Таким образом, чтобы функция

y

yчн

z являлась

решением (2.41) достаточно, чтобы функция

z удовлетворяла

однородному

линейному

уравнению,

и

соответствующему

уравнению (2.41):

z

p(x)z

0 .

являться общим решением однородного уравнения:

z yoo .

Таким образом, получим:

y yчн

Ce

p(x)dx

(

C

).

Покажем, что эта формула представляет общее решение

уравнения (2.41). Запишем это решение в виде

x

p(x)dx

y

yчн

Ce

x0

(2.47)

определяемой постоянной C .

Полагая в формуле (2.47)

x

x0 , y

y0 , получим:

C

y0

yчн (x0 ) .

Таким образом, формула (2.47) дает общее решение

неоднородного линейного уравнения:

yон yчн уоо ,

yоо

Ce

p(x)dx .

(2.48)

Итак, для построения общего решения неоднородного

линейного

уравнения

нужно

к

общему

решению

соответствующего ему

однородного

уравнения

прибавить

y C(x)e

p(x)dx .

(2.49)

Требуем, чтобы функция (2.49) удовлетворяла уравнению

(2.41):

C (x)e

p(x)dx

C(x) p(x)e

p(x)dx

p(x)C(x)e

p(x)dx

q(x).

Отсюда

получаем

следующее дифференциальное

dC(x)

q(x)e p(x)dx dx C, C(x)

C q(x)e p(x)dx dx ,

где C - произвольная постоянная (

C

) .

Подставляя

эту функцию в формулу (2.49) получим:

y e

p(x)dx C q(x)e p(x)dx dx ,

(

C

). (2.50)

полосе

a

x

b,

y

, поскольку имеет

структуру

(2.48).

Действительно, записав (2.50) в виде

y

Ce

p(x)dx

e

p(x)dx q(x)e p(x)dx dx,

(2.51)

x

x

s

p(t)dt

p(t)dt x

p(t)dt

y Ce x0

e x0

q(s)e x0

ds,

(2.52)

x0

удовлетворяет

условию

y(x0 )

y0 ,

где

x0 (a, b) ,

y0

(

,

) .

Подставляя в

(2.52)

x x0 ,

y

y0

находим:

C

y0 .

Таким образом, решением задачи Коши является функция

x

x

s

p(t)dt

p(t)dt x

p(t)dt

y

y

0

e

x0

e

x0

q(s)e x0

ds.

(2.53)

x0

З а м е ч а н и е 1. Формула (2.52) показывает, что если

функции

p(x)

и q(x)

заданы и непрерывны

на

всей

оси

(

, ) ,

то и решение с любыми начальными данными x0 ,

y0

Пример.

Найти общее решение

дифференциального

уравнения y

2

y

x.

x

Решение. Данное уравнение является уравнением вида

(2.41), где

p(x)

2 x , q(x) x ,

то есть линейным

Решим соответствующее

ему

однородное

z

2

z 0.

x

Разделяя переменные и интегрируя,

получим

dz

dx

2

,

ln

z

ln

C

2 ln

x

( C

0 ),

z

x

откуда z Cx2

(C

0) и z

0 . Общее решение имеет вид

z

Cx 2 , C (

, ) .

Общее решение неоднородного уравнения, в соответствии

с методом Лагранжа, ищем в виде y

C(x)x2 .

C (x)x2 2xC(x)

2

C(x)x2

x

x

или

1

dx

C .

C (x)

,

dC(x)

, C(x) ln

x

x

x

Подставляя найденную функцию в выражение для общего

решения, получим окончательно:

y x 2 (C

ln

x

) .

Пример. Найти общее решение уравнения xy

2x2y

1,

пользуясь формулой общего расчета (2.50).

Решение.

В

данном

случае

p(x)

2x ,

q(x)

1 x .

Подставляя в формулу (2.51), получим:

y e 2xdx

C

1

e 2xdx dx

e

x 2 C

e x 2

dx .

x

x

y u(x)v(x) .

(2.54)

Подставляя (2.54) в уравнение (2.41), получим:

v

du

u

dv

p(x)uv q(x) ,

dx

dx

или

v

du

u

dv

p(x)v q(x).

(2.55)

dx

dx

Функцию v(x) выбираем так, чтобы

dv

p(x)v

0.

(2.56)

dx

dv

p(x)v 0,

dx

(2.57)

du

v

q(x).

dx

du

q(x)

dx ,

u

q(x)e p(x)dx dx C.

v

Подставив найденные функции v(x)

и u(x)

в формулу

(2.54), получим общее решение уравнения

y e

p(x)dx C

q(x)e p(x)dx dx . .

Пример.

Решить уравнение

y sin x

y cos x

sin

2 x

.

x2

Решение. Ищем его в виде y

u(x) v(x) . Дифференцируя

по х, имеем:

y

u v

uv .

Подставим эти выражения в уравнение

u v sin x

uv sin x

uv cos x

sin2 x

(*)

x2

уравнению

dv

sin x

v cos x

0 .

dx

dv

cos x

Отсюда

dx ,

ln

v

ln

sin x

, v sin x .

v

sin x

du

sin2 x

sin2 x

.

dx

x2

Отсюда u(x)

1

C ,

C

и, таким образом,

x

y

sin x

C sin x .

x

Пример. Найти решение задачи Коши

x(x

1) y

y x 2 (2x 1),

y(2)

4.

уравнения

методом Бернулли

y

uv .

Подставляя y и

y u v uv

в уравнение, получим:

x(x 1)(u v uv )

uv

x2 (2x

1) ,

x(x 1)u v u x(x 1)v v x2 (2x 1) .

x(x

1)

dv

v

0,

dx

x(x

1)v

du

x2

(2x

1).

dx

Решаем первое уравнение, разделяя переменные

dv

dx

dx

,

ln v

.

v

x(x 1)

x(x 1)

Разлагаем подынтегральную

правильную рациональную

дробь на сумму простых дробей:

1

A

B

x(x 1)

x

x 1

откуда A(x 1)

Bx 1.

Полагая

x

0 ,

получим A 1;

полагая x 1, получим B

1. Таким образом, имеем:

ln v

dx

dx

ln

x

.

x

x

1

x

1

x

Частное решение берем в виде v

. Подставляя эту

x

1

x

2 du

x

2

(2x

1) ,

du (2x

1)dx,

u

x

2

x C.

dx

Общее решение имеет вид

y

x

(x2

x C)

x2 C

x

.

x

1

x

1

Для построения решения задачи Коши найдем значение

C , используя начальное условие

x0

2,

y0

4. Имеем:

4

4 C

2

,

C

0 .

1

Решением задачи Коши является функция y

x2.

Задачи для самостоятельного решения

1.

y

ytgx

xtgx

1,

y(0)

1.

Ответ:

y

C sin x

x .

2.

y sin2x

2( y cosx) .

Ответ:

y

ctg x

1

.

cos x

3.

y

2xy

3x2

2x4 ,

y(0)

1.

Ответ: y

e x2 .

4.

dx

(x y)dy 0.

Ответ: x

Ce y

y 1.

5.

y

ytgx

2sin x,

y(0)

1.

Ответ:

y

1

(C

cos2 x),

y

cos x .

cos x

6.

e x ( y

y)

1.

Ответ: y

e

x (x

C).

7.

x2 y

2xy

ln x

0.

Ответ:

y

ln x

1

C

.

x

x2

8.

y

y

sin x.

Ответ:

y

Ce x

1

(cosx

sin x).

2

2.5. Уравнение Бернулли

Уравнение вида

y

p(x) y

q(x) yv ,

(2.41)

где

v

- любое действительное число,

называется уравнением

Бернулли.

Если

v

0 ,

то уравнение Бернулли вырождается в

линейное уравнение (2.41); при v

1 уравнение превращается в

уравнение с разделяющимися переменными:

y

p(x)y

q(x)

(v

0);