Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

3448

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

5.34 Mб

Скачать

☆

1 / 241 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет»

С.П. Майорова М.Г. Завгородний

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ

Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия

Воронеж 2016

УДК 512.8

Майорова С.П. Сборник задач по алгебре : учеб. пособие [Электронный ресурс]. – Электрон. текстовые, граф. данные (5,09 Мб) / С.П. Майорова, М.Г. Завгородний. – Воронеж : ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет», 2016. – 1 электрон. опт. диск (CD-ROM). – Систем. требования: ПК 500 и выше ; 256 Мб ОЗУ ; Windows XP ; Adobe Acrobat ; 1024x768 ; CD-ROM ; мышь. – Загл. с

экрана.

Учебное пособие содержит теоретические и расчетные задачи разного уровня сложности по курсу «Алгебра» для проведения практических занятий, выполнения типовых расчетов и самостоятельной подготовки студентов.

Издание соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта высшего образования по направлениям 10.05.01 «Компьютерная безопасность» (профиль «Безопасность распределенных компьютерных систем»), 10.05.02 «Информационная безопасность телекоммуникационных систем» (профиль «Системы подвижной цифровой защищенной связи»), 10.05.03 «Информационная безопасность автоматизированных систем» (профиль «Обеспечение информационной безопасности распределенных информационных систем»), дисциплинам «Алгебра» и «Алгебра и геометрия».

Библиогр.: 10 назв.

Рецензенты: кафедра функционального анализа и операторных уравнений Воронежского государственного университета (зав. кафедрой д-р физ.-мат. наук, проф. М.И. Каменский); д-р физ.-мат. наук, проф. А.Д. Баев

©Майорова С.П., Завгородний М.Г., 2016

©Оформление. ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический универси-

тет», 2016

ВВЕДЕНИЕ

Развитие информационных технологий требует все большего внимания к вопросам защиты информации. Современные системы криптографической защиты информации, а так же анализ криптостойкости таких систем опираются на новейшие результаты алгебры и модульной арифметики. Поэтому алгебра является одной из базовых дисциплин для группы специальностей в области информационной безопасности.

Цель настоящего пособия – обеспечить практические занятия и самостоятельную работу студентов по всем темам курсов «Алгебра» и «Алгебра и геометрия». Пособие состоит из двух частей. Первая часть пособия содержит более 400 теоретических и расчетных задач для проведения аудиторных практических занятий и выполнения домашних работ. Практически ко всем задачам даны ответы. Вторая часть содержит 96 заданий к типовым расчетам. Каждое задание состоит из 20 однотипных задач, что позволяет дать индивидуальное задание каждому студенту учебной группы. В конце пособия приведен список обозначений и список использованной литературы.

Материал пособия накапливался авторами при проведении занятий по курсам «Алгебра» и «Алгебра и геометрия» для студентов специальностей 10.05.01 «Компьютерная безопасность, 10.05.02 «Информационная безопасность телекоммуникационных систем», 10.05.03 «Информационная безопасность автоматизированных систем» в Воронежском государственном техническом университете на протяжении ряда лет, начиная с 1998 года. В настоящий сборник вошли в основном те задачи, которые реально предлагались студентам. При составлении пособия было использовано значительное количество задач из учебников, указанных в списке литературы. Однако, более трети всех заданий придуманы

авторами. Основная часть таких задач содержится в типовых расчетах.

Пособие соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта высшего образования по направлениям 10.05.01 «Компьютерная безопасность» (профиль «Безопасность распределенных компьютерных систем»), 10.05.02 «Информационная безопасность телекоммуникационных систем» (профиль «Системы подвижной цифровой защищенной связи»), 10.05.03 «Информационная безопасность автоматизированных систем» (профиль «Обеспечение информационной безопасности распределенных информационных систем»), дисциплинам «Алгебра» и «Алгебра и геометрия».

Данное пособие предназначено для студентов первого и второго курсов указанных специальностей. Оно также будет полезно студентам математических и технических специальностей ВУЗов, изучающих дисциплины «Алгебра» и «Алгебра и геометрия», и преподавателям, ведущим занятия по этим дисциплинам.

ЧАСТЬ 1. ЗАДАНИЯ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ

ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ

1. Определите число инверсий в данных перестановках и укажите их четность:

1)	(1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6,8) ;											2) (2, 5,8,1, 4, 7, 3, 6, 9) ;
3)	(1, 9, 6, 3, 2, 5, 4, 7,8) ;											4) (7, 5, 4, 6,1, 2, 3, 9,8) ;
5)	(n,		n 1,		n 2			,...,		2, 1) ;
6)	(1,		3,	5,	7,...,			2n 1,			2,	4,	6,	8,...,		2n) ;
7)	(2,		4,	6,..., 2n, 1,						3,	5,...,		2n 1) .
		2. Определите число инверсий в данных перестановках:
1)	(1,		4,	7	,...,3n 2,					2,	5,	8,...,3n 1,				3, 6, 9,...,3n) ;
2)	(3,		6,	9 ,..., 3n, 2,						5, 8,...,3n 1, 1,						4,	7,...,3n 2) ;
3)	(2,		5,	8,...,		3n 1,				3,	6,	9,..., 3n, 1,				4,	7,..., 3n 2) ;
4)	(2,		5,	8,...,		3n 1,				1,	4,	7,...,		3n 2,		3,	6, 9,..., 3n) ;
5)	(k,		k 1,..., n,				1,		2,...,		k 1) ;
6)	(k,		k 1,..., n,				k 1,			k 2,...,			2,	1) .
		3. Подберите i и k так, чтобы перестановка:
1)	(1,		2,	7,	4,		i,	5,		6,	k,	9)	была четной;
2)	(6,		3,	4,	i,		7,	k,		2,	1)	была нечетной;
3)	(9,		2,	i,	3,	8,		7,		1,	k,	10,	5) была четной;
4)	(1,		i,	2,	5,	k,		4,		8,	9,	7)	была нечетной;
		4. Определите четность следующих подстановок:
	3 5 6 4 2 1 7												2 7		5 4 8 3 6 1
1)											;	2)						;
		2 4 1 7 6 5 3											3 5		8 7 2 6 1 4
		2n		2n 1				...	4		3	2	1
3)		2n 1											.
		2n 1			2n			...	3		4	1	2
		1		2				3 ...			n 1		n
4)			1	n 2			n 3 ...						.
	n		1	n 2			n 3 ...				1		n

5. Напишите подстановку чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8 , при ко-

торой число k переходит в остаток от деления 5k на 9. Определите ее четность.

6. В какой перестановке чисел 1, 2,..., n число инверсий наибольшее и чему оно равно?

7.Сколько инверсий образует число 1, стоящее на k -м месте в перестановке чисел 1, 2,..., n ?

8.Сколько инверсий образует число n , стоящее на k -м месте в перестановке чисел 1, 2,..., n ?

9.Выпишите все подстановки: а) третьей степени, б) четвертой степени. Укажите среди них четные и нечетные.

10.Укажите транспозиции, с помощью которых можно перейти:

1)от перестановки (1, 2, 3, 4, 5) к перестановке (2, 5, 3, 4,1) ;

2)от перестановки (4, 3, 5,1, 2) к перестановке (1, 2, 3, 4, 5) .

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

11. Выясните, какие их следующих произведений являются членами определителя седьмого порядка, и укажите знак члена определителя:

1)	a23a67a54a16a35a41a72 ;	2)	a34a21a46a17a73a54a62 ;
3)	a72a16a34a55a27a61a43 ;	4)	a15a28a74a36a61a43 .
	12. Выясните, какие их следующих произведений явля-

ются членами определителя n -го порядка, и укажите знак члена определителя:

1)	a12a23a34 ...an 1,nakk , 1 k n ;	2) a12a23a34 ...an 1,nan1 .
	13. Выясните, с каким знаком входит в определитель со-
ответствующего порядка данное произведение:
1)	a12a21a34a43...a2n 1,2na2n,2n 1 ;
3)	a13a22a31a46a55a64 ...a3n 2,3na3n 1,3n 1a3n,3n 2 .

14. Подберите значения i и k так, чтобы произведение a62ai5a33ak 4a46a21 входило в определитель шестого порядка

со знаком минус.

15. Подберите значения i и k так, чтобы произведение a47a63a1ia55a7k a24a31 входило в определитель седьмого порядка со знаком плюс.

16.С каким знаком входит в определитель n -го порядка: а) произведение элементов главной диагонали; б) произведение элементов побочной диагонали?

17.Выпишите все слагаемые, входящие в определитель

пятого порядка и имеющие вид a14a23a3 3 a4 4 a5 5 . Что получится, если из их суммы вынести a14a23 за скобки?

18. Вычислите следующие определители, пользуясь только определением:

	a11	0	0 ...		0
	a21	a22	0 ...		0
1)	a31	a32	a33 ...		0	;
	... ...		... ... ...
	an1	an2	an3 ...		ann
	a11	a12	a13	a14	a15
	a11	a12	a13	a14	a15
	a21	a22	a23	a24	a25
3)	a31	a32	0	0	0	;
	a41	a42	0	0	0
	a51	a52	0	0	0

a11

19. Определитель a21

...

an1

		0	...		0	0			a1n
		0	...		0	a2,n 1			a2n
2)		0	... a3,n 2			a3,n 1			a3n	;
		... ...			...	...			...
		an1	... an,n 2			an,n 1			ann
	a	3	0	5			2	0	1	a
	a	3	0	5			2	0	1	a
4)	0	b 0		2	; 5)		b 0 2			0	.
	1	2	c	3			4	c	3	5
	0	0	0	d			0	0	d	0

a12 ...			a1n
a22 ...			a2n	равен			. Чему ра-
... ... ...
an2 ...			ann

	a21	a22	...	a2n
	a31	a32	...	a3n
вен определитель	...	...	...	...	?
	an1	an2	...	ann
	a11	a12	...	a1n

20.Как изменится определитель порядка n , если:

1)изменить знак всех его элементов на противоположный;

2)его первый столбец поставить на последнее место, а остальные столбцы сдвинуть влево, сохраняя их расположение;

3)его строки записать в обратном порядке;

4)к каждой строке, кроме последней, прибавить последнюю строку;

5)из каждой строки, кроме последней, вычесть все последующие строки;

6)его матрицу повернуть на 90 вокруг центра.

21.Не раскрывая определителей, докажите равенство:

1)		a c		b c		(c d )		1 1		;
1)		a c		b c		(c d )		1 1		;
		a d		b d				a b
		b c			c a		a b					a b c
		b c			c a		a b					a b c
2)		b1 c1			c1 a1		a1 b1		2			a1	b1	c1	.
		b2 c2			c2 a2		a2 b2					a2	b2	c2
		22. Вычислите определители приведением к треуголь-
ному виду:
	2			7	6								2	2		5
											1
											1
												1	4	3		7
1)	4		19		9	;	2)					1	4	3		7	.
1)	4		19		9	;	2)				2 7			5		9	.
	2		17		24						1		2	4		6
											1		2	4		6

23. Вычислите определители, используя подходящее разложение по строке или столбцу:

	1	5	2			2	1	0			9	10	11
	1	5	2			2	1	0			9	10	11
1)	0 7		0	;	2)	1 2 1			;	3)	1	1	1	;
	1	2	0			0	1	2			2	3	4

				2		1					2 1 3 1									1 0		2	a
	1 0			2		1					2 1 3 1									1 0		2	a
4)	1 1 0					1	;		5)	3 2 1 0						;		6)		2 0		b 0		.
4)	2 0		1 3				;		5)	1 3 4 2						;		6)		3 c 4			5	.
	0 2			5	2					2		1 2 5								d 0		0	0
	24. Вычислите определители, разложив их по элементам
строки (столбца), содержащей буквы:
				1		1
	1 0			1		1					2	1	1	x					a 1		1	1
1)	0 1			1		1		;	2)		1	2	1	y	;		3)		b 0		1	1	.
	a	b			c d						1	1	2	z					c 1		0	1
	1	1 1				0					1	1	1	t					d 1		1	0

25. Вычислите определители:

		1	1	1			0 1		1	1			2	5	1	2
	1	1	1	1			0 1		1	1			2	5	1	2
1)	1	1	1	1	;	2)	1	0 1		1	;	3)	3	7	1	4	;
1)	1	1	1	1	;	2)	1	1	0	1	;	3)	5	9	2 7		;
	1	1	1	1			1	1	1	0			4	6	1	2

	3	9	3	6		3	3	5	8			5	4	3
	3	9	3	6		3	3	5	8		2	5	4	3
4)	5	8	2	7	; 5)	3	2	4	6	; 6)	3	4	7	5	;
4)	4	5	3	2	; 5)	2	5	7	5	; 6)	4	9	8	5	;
	7	8	4	5		4	3	5	6		3	2	5	3

	3		3	2			5							3			5		2			2					3		5		2	4
	3		3	2			5							3			5		2			2					3		5		2	4
7)	2		5		4			6	;		8)			4			7	4				4		;		9)	3		4		5	3	;
7)	5		5		8			7	;		8)			4			9		3		7			;		9)	5		7		7	5	;
	4		4		5			6						2			6		3			2					8		8		5	6
			2		2			2							6		5	8				4						7	3		2	6
		3	2		2			2							6		5	8				4						7	3		2	6
10)		9	8		5		10		;		11)				9		7	5				2		;		12)		8		9	4	9	;
10)		5	8		5			8	;		11)				7		5	3				7		;		12)		7		2	7	3	;
		6	5		4			7							4		8		8		3							5		3	3	4
			2		3		4		5							3	6	5			6	4						35	59		71	52
		1
		1
		2	3		7	10		13								5	9	7			8	6
		2	3		7	10		13								5	9	7			8	6						42	70		77	54
13)		3	5	11		16		21			; 14)					6	12	13			9	7			; 15)			42	70		77	54	;
13)		3	5	11		16		21			; 14)					6	12	13			9	7			; 15)			43	68		72	52	;
		2	7		7		7		2							4	6	6			5	4						29	49		65	50
		1	4		5		3	10								2	5	4			5	3						29	49		65	50
		1	4		5		3	10								2	5	4			5	3
				9			3			3
		3		9			3
		2		2			2
		2		2			2											2				3				5			3
		5		8			2					7
16)		5		8			2					7	;	17)				6					21 10 2 3								.
		3		3			3				3							6					21 10 2 3

																		10			2	15				5			6
		7		5		1						2						10			2	15				5			6
		7		5								2
		3		3							3							2			2	6				10			15
		3		3							3							2			2	6				10			15
		7	8			4				5
		26. Вычислите определители n -го порядка:
	1		1	1	...			1												1		2				2 ...			2
	1		1	1	...			1												1		2				2 ...			2
	1		0	1	...			1												2		1				2 ...			2
1)	1		1	0	...			1		;								2)		2		2				1 ...			2	;
	... ... ... ... ...																			... ... ... ... ...
	1		1	1	...			0												2		2				2 ...			1

1 / 241 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20225.18 Mб23433.pdf
#
15.11.20225.21 Mб33436.pdf
#
15.11.20225.27 Mб23440.pdf
#
15.11.20225.28 Mб63442.pdf
#
15.11.20225.34 Mб23447.pdf
#
15.11.20225.34 Mб43448.pdf
#
15.11.20225.35 Mб13449.pdf
#
15.11.20225.36 Mб03451.pdf
#
15.11.20225.36 Mб43453.pdf
#
15.11.20225.37 Mб43454.pdf
#
15.11.20225.39 Mб43455.pdf

		1	1	1			0 1		1	1			2	5	1	2
	1	1	1	1			0 1		1	1			2	5	1	2
1)	1	1	1	1	;	2)	1	0 1		1	;	3)	3	7	1	4	;
1)	1	1	1	1	;	2)	1	1	0	1	;	3)	5	9	2 7		;
	1	1	1	1			1	1	1	0			4	6	1	2

		1	1	1			0 1		1	1			2	5	1	2
	1	1	1	1			0 1		1	1			2	5	1	2
1)	1	1	1	1	;	2)	1	0 1		1	;	3)	3	7	1	4	;
1)	1	1	1	1	;	2)	1	1	0	1	;	3)	5	9	2 7		;
	1	1	1	1			1	1	1	0			4	6	1	2

		1	1	1			0 1		1	1			2	5	1	2
	1	1	1	1			0 1		1	1			2	5	1	2
1)	1	1	1	1	;	2)	1	0 1		1	;	3)	3	7	1	4	;
1)	1	1	1	1	;	2)	1	1	0	1	;	3)	5	9	2 7		;
	1	1	1	1			1	1	1	0			4	6	1	2