3448

цесса ортогонализации постройте ортонормированный базис.

Постройте ортонормированный базис пространства P2 с помощью процесса ортогонализации, исходя из базиса 1, x, x2 .

81

403. Линейный оператор A , действующий в евклидовом

Является ли оператор A ортогональным, если разложение

404. Линейный оператор, действующий в евклидовом

ется ли данный оператор самосопряженным, ортогональным, если:

82

1)Докажите, что элементы e1 sin x и e2 cos x образуют ортонормированный базис пространства L .

2)Найдите матрицу оператора дифференцирования D в базисе e1, e2 .

3)Найдите матрицу сопряженного оператора D* в базисе e1, e2 и запишите явный вид этого оператора.

4)Докажите, что оператор D , действующий в L , является ортогональным.

406.Докажите равенство:

1) ( AB)* B* A* ; 2) ( A* )* A .

407. Докажите, что если оператор A имеет обратный, то сопряженный оператор A* также имеет обратный и справедливо равенство ( A* ) 1 ( A 1)* .

408.Докажите следующие свойства самосопряженного оператора:

1)собственные значения действительны;

2)собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.

409.Докажите, что если - собственное значение ортогонального оператора, то равно либо 1, либо 1.

410. Покажите, что в пространстве 3 следующие операторы являются самосопряженными:

Выясните, являются ли данные операторы ортогональными.

83

является самосопряженным. Постройте ортонормированный базис из собственных векторов и найдите матрицу оператора

Aв этом базисе.

413.Линейный оператор A , действующий в унитарном

ляется ли оператор A* эрмитовым?

414. Является ли эрмитовым оператор A , если в некотором ортонормированном базисе он имеет матрицу:

84

415.Выясните, при каких условиях диагональная матрица будет ортогональной.

416.Найдите ортонормированный базис из собственных векторов и матрицу B в этом базисе для линейного оператора, заданного в некотором ортонормированном базисе матрицей A , если:

417. Является ли унитарным линейный оператор A , имеющий ортонормированном базисе унитарного пространства матрицу:

418. Докажите, что если подпространство L инвариантно относительно линейного оператора A , то ортогональное

дополнение L инвариантно относительно сопряженного

оператора A* .

419. Докажите, что если один и тот же вектор x является собственным для линейного оператора A и сопряженного

оператора A* с собственными значениями 1 и 2 соответственно, то 1 2 .

85

КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

420.Запишите матрицу данной квадратичной формы:

1)f (x1, x2 ) x12 2x22 x1x2 ;

2)f (x1, x2 ) x12 2x1x2 ;

3)f (x1, x2 , x3 ) 3x12 4x22 4x32 5x1x2 3x1x3 x2 x3 ;

4)f (x1, x2 , x3 , x4 ) x12 2x22 x42 2x2 x4 .

422. Приведите квадратичную форму к каноническому виду ортогональным преобразованием, укажите соответствующий канонический базис и запишите это преобразование; найдите положительный и отрицательный индекс инерции:

1)f (x1, x2 , x3 ) 3x12 3x22 2x1x2 4x1x3 4x2 x3 ;

2)f (x1, x2 , x3 ) 2x12 x22 4x1x2 4x2 x3 ;

3)f (x1, x2 , x3 ) 2x12 5x22 5x32 4x1x2 4x1x3 8x2 x3 ;

4)f (x1, x2 , x3 ) 6x12 5x22 7x32 4x1x2 4x1x3 ;

5)f (x1, x2 , x3 ) x12 x22 x32 4x1x2 4x1x3 4x2 x3 ;

6)f (x1, x2 , x3 ) x12 5x22 x32 4x1x2 2x1x3 4x2 x3 .

86

423.Приведите данную квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа и запишите соответствующее преобразование переменных:

1)f (x1, x2 , x3 ) x12 5x22 4x32 2x1x2 4x1x3 ;

2)f (x1, x2 , x3 ) 4x12 x22 x32 4x1x2 4x1x3 3x2 x3 .

424.Определите, является ли данная квадратичная форма положительно (отрицательно) определенной:

1)9x12 6x22 6x32 12x1x2 10x1x3 2x2 x3 ;

2)12x1x2 12x1x3 6x2 x3 11x12 6x22 6x32 ;

3)x12 15x22 4x1x2 2x1x3 6x2 x3 ;

4)4x12 2x32 2x1x2 2x1x3 2x2 x3 ;

5)4x12 x32 2x1x2 2x1x3 2x2 x3 ;

6)2x42 x1x2 x1x3 2x2 x3 2x2 x4 ;

7)x12 4x22 4x32 8x42 8x2 x4 .

425.Найдите все значения параметра , при которых данная квадратичная форма положительно определена:

1)2x12 x22 4x32 (2 1)x1x2 2 x2 x3 ;

2)x22 x32 4 x1x2 2 x1x3 ;

3)x12 x22 x32 2 x1x2 2 x1x3 2 x2 x3 ;

4)x12 x22 x32 4x1x2 2 x1x3 2 x2 x3 ;

5)x12 5x22 ( 2 1)x32 4x1x2 2x1x3 4x2 x3 .

87

426.Найдите все значения параметра , при которых квадратичная форма отрицательно определена:

1)x12 x22 3x32 2x1x2 2x1x3 4x2 x3 ;

2)x12 x22 ( 3)x32 2x1x2 2 x1x3 2x2 x3 ;

3)2x12 8x22 3x32 2 x1x2 4x1x3 2 x2 x3 ;

4)2x12 5x22 x32 6x1x2 6x1x3 10x2 x3 .

427.Докажите, что если квадратичная форма с матрицей A положительно определена, то и квадратичная форма с

матрицей A 1 положительно определена.

(б) отрицательный индекс инерции f равен n ;

(в) в матрице квадратичной формы все главные угловые миноры нечетного порядка – отрицательны, а четного порядка - положительны.

429. Докажите, что квадрат длины вектора | x |2 в n -

мерном евклидовом пространстве является положительно определенной квадратичной формой.

430. Найдите канонический вид для квадратичной формы f (x1, x2 , x3 ) 2x1x3 3x2 x3 над полем 5 .

88

ЧАСТЬ 2. ЗАДАНИЯ К ТИПОВЫМ РАСЧЕТАМ

ПРАВИЛА ОФОРМЛЕНИЯ ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ

При выполнении и оформлении заданий типовых расчетов необходимо соблюдать следующие правила.

1.Вариант назначается преподавателем. Как правило, вариант постоянный и совпадает с порядковым номером студента в академической группе.

2.Работу следует выполнять в отдельной тетради в клетку. На внешней обложке тетради должны быть указаны фамилия и инициалы студента, номер группы, номер варианта.

3.Задания выполняются шариковой или гелевой ручкой (не карандашом). В тетради должны быть поля 3 см для замечений преподавателя.

4.Каждое задание выполняется с новой страницы. Задания нумеруются, причем номер задания должен соответствовать его номеру в задачнике. Условие задачи необходимо переписать, а затем привести ее решение. Решение каждой задачи необходимо заканчивать записью ответа.

5.Решения задач и пояснения к ним должны быть достаточно подробными, аккуратными, без сокращения слов. Для задач по аналитической геометрии надо сделать поясняющий рисунок.

6.Все вычисления, в том числе и вспомогательные, необходимо делать полностью. Вычисления нужно производить по возможности точно в обыкновенных или десятичных дробях, не делать округлений в промежуточных вычислениях.

7.Типовой расчет должен быть сдан преподавателю в установленные сроки. Кроме того, типовой расчет должен быть защищен в письменном или устном виде (по указанию преподавателя).

89

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

90