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Воронежский государственный технический университет

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[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

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	2		3		1		4
		1	1		3		3
11)		1	1		3		3
11)		3	2		4		1
		1	0		2		1
		1	0		2		1
		2	1	3		1
		4	2	6		2
13)		4	2	6		2
13)		6	3	9		3
		1	1		1	1
		1	1		1	1
	2		3		1		1
		3	1		2	4
15)		3	1		2	4
15)		1	4		3	7
		1	2		1		5
		1	2		1		5
	1		2		3		2
		2	3		1		4
17)		2	3		1		4
17)		1	9		8		2
		1	12		7		2
		1	12		7		2
	1		3		1		3
		2	1		1		1
19)		2	1		1		1
19)		3	11		1		19
		1	12		2		16
		1	12		2		16

	4		1	3	2
		8	2	6	4
12)		8	2	6	4
12)		3	1	4	2
		6	2	8	4
		6	2	8	4
	2		3	1	1
		3	1	4	2
14)		3	1	4	2
14)		1	2	3	1
		1	4	7	5
		1	4	7	5
	5		2	3	1
		4	1	2	3
16)		4	1	2	3
16)		1	1	1	2
		3	4	1	2
		3	4	1	2
	2		1	0	1
		3	3	2	1
18)		3	3	2	1
18)		1	2	4	0

		3	3	4	1
	1		2	1	1

20)	1		1	1	1
20)	1		2	1	1
			1
	1		1	3	1

131

ЗАДАЧА 32. Используя теорему о ранге, выясните вопрос о линейной зависимости данной системы векторов. Укажите максимальную линейно независимую подсистему.


1)	(1, 3,1, 3),	(2,1,1,1),			(3, 11, 1,19),				(1,12, 2, 16);
2)	(1, 2, 3, 1),		(2, 1,1, 0),			(1, 1, 1, 1),				(1, 3, 10,1);
3)	(2,1,1,1),	(1, 3,1,1),		(1,1, 5,1), (1, 4, 4, 0);
4)	(0,1, 13, 1),		(2, 3, 3,1),			(1, 4, 4, 0),				(1,1, 5,1);
5)	(1, 1,1, 1),		(1, 2, 0, 3),			(3,1, 2,1),			(2, 2, 1, 3);
6)	(1, 2, 1,1),	(1,1,1,1),		(1, 2,1,1),			(1,1, 3,1);
7)	(1, 3, 5, 6),		(1, 3,1,1),		( 1, 3,13,16),					(1, 3, 9,11);
8)	(1, 2, 3,1),	(2, 3,1, 2),		(3,1, 2, 2),			(0, 4, 2, 5);
9)	(3,1, 2, 4),		(1, 3,1, 2),		(1, 5, 0,1), (7, 15, 11,8);
10)	(3, 5,1, 7),		(1, 5, 0,1),		(3,1, 2, 4),			(1, 3,1, 2);
11)	(2,1, 3, 1),	(3, 1, 2, 0),			(1, 3, 4, 2),			(4, 3,1,1);
12)	(2, 3,1, 4),	(1, 1, 3, 3),			(3, 2, 4,1), ( 1, 0, 2,1);
13)	(2, 3,1, 1),	(3,1, 4, 2),			(1, 2, 3, 1),			(1, 4, 7, 5);
14)	(2, 3,1,1),	(3,1, 2, 4),			(1, 4, 3, 7),			( 1, 2, 1, 5);
15)	(1, 2, 3, 2),		(2, 3,1, 4),			(1, 9,8, 2),			(1,12, 7, 2);
16)	(1, 2,1,1),	(2, 3, 9, 5),			(3,1,8, 7),			(1, 7,10, 3);
17)	(4, 1, 3, 2),		(3, 1, 4, 2),			(1, 2, 6, 4),				(1, 2,1, 3);
18)	(2,1, 3,1),	(1, 2, 6, 2),			(4,1, 11,1),			(1,1,1,1);
19)	(5, 2, 3,1),		(4,1, 2, 3),		(1,1, 1, 2),				(3, 4, 1, 2);
20)	(2,1, 0, 1),		(3, 3, 2,1),		(1, 2, 4, 0),			(3, 3, 4, 1).

132

ЗАДАЧА 33. Выясните, при каком значении параметра


векторы a , b , c			являются линейно зависимыми. Найдите
эту зависимость.
1)	a (1, 2, ) ,		b ( 3, 3, 3) ,	c (11,1,13) ;
2)	a ( 3,12, 9) ,		b ( 7, 2, 5) ,	c (6, , 10) ;
3)	a ( , 9, 15) ,		b (4,1,1) ,	c (1, 8,14) ;
4)	a ( ,1, 9) ,		b (1, 4, 3) ,	c ( 1, 0,13) ;
5)	a ( 7, 0, 3) ,		b (15, 3, 6) ,	c ( , 8, 1) ;
6)	a ( 4, 4, 11) ,		b (1, 6, ) ,	c (0, 4, 1) ;
7)	a (2, 4, 6) ,		b ( 7, 9, 1) ,	c ( , 0, 5) ;
8)	a (3, 6, 1) ,		b ( 3, , 11) ,	c (1, 4, 3) ;
9)	a ( 8, 4, 1) ,		b (2, , 4) ,	c (3,12, 4) ;
10)		a (4,1, 7) ,	b ( , 4, 16) ,	c ( 5, 4, 8) ;
11)		a (4, 4, ) ,	b ( 2, 3, 0) ,	c ( 6,1, 4) ;
12)		a ( 3, 3, 18) , b ( , 2, 2) ,		c (0, 1, 8) ;
13)		a (6, 2,8) ,	b (0, ,8) ,	c ( 5, 4, 4) ;
14)		a ( 6, 0, 6) ,	b (6, 8, 2) ,	c ( 4, 2, ) ;
15)		a (3,1,11) ,	b (4, 3,8) ,	c (6, ,18) ;
16)		a (2, 7, 8) ,	b ( ,1, 0) ,	c (5,1, 2) ;
17)		a (1, 5, 18) ,	b ( 6, , 4) ,	c (0, 3, 13) ;
18)		a ( , 2,1) ,	b (2, 4, 2) ,	c (5, 4, 2) ;
19)		a (3, 2, 0) ,	b (1, , 5) ,	c (3, 4, 6) ;
20)		a (7, 2, ) ,	b (5, 2, 5) ,	c ( 1, 4, 7) .

133

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

ЗАДАЧА 34. Исследуйте совместность каждой из данных систем линейных уравнений. В случае совместности решите системы тремя способами:

а) по формулам Крамера; б) с помощью обратной матрицы; в) методом Гаусса.

2x x

1)2x1 3x2

3x1 2x21 2

	2x1		x2
			x2
2)	x1		x2
	4x		x
		1	2
	3x1		x2
			2x2
3)	x1		2x2
	5x		x
		1	2
	2x1		x2
			3x2
4)	x1		3x2
	x		2x
		1	2

3x 2x

5)3x1 4x2

2x1 x2 21

8x1 3x2 6) x1 x2

4x1 x2

3x3

2x32x34x3

x34x32x3

3x3x3

2x3

4x3

2x3x3

6x3x3

3x3

1 ,

6 ,

11 ,

6 ,

2 ,

3x1

2x1x1

x1x12x1

2x1

3x15x1

3x1

2x15x1

5x1

x14x1

7x1

6x1x1

2x2	4x3	8
4x2	5x3	11;
2x2	x3	1
x2	x3	1
x2	2x3	5;
	3x3	2
x2	4x3	15
x2	x3	8 ;
2x2	5x3	0
x2	2x3	3
2x2	5x3	5 ;
3x2	7x3	1
9x2	4x3	6
7x2	5x3	1 ;
2x2	x3	2
2x2	x3	2
4x2	5x3	3 ;
2x2	4x3	5

134

4x1

7) x18x1

3x1

8) 3x12x1

3x1

9) 2x1x1

4x1

10) 2x1x1

2x1

11) x14x1

2x1

12) x13x1

2x1

13) 3x1x1

x2	3x3	9
x2	x3	2,
3x2	6x3	12
2x2	4x3	21
4x2	2x3	9 ,
x2	x3	10
2x2	5x3	5
3x2	4x3	12 ,
2x2	3x3	1
x2	4x3	19
x2	2x3	11 ,
x2	2x3	8
x2	2x3	8
x2	2x3	11 ,
x2	4x3	22
x2	3x3	9
5x2	x3	20 ,
4x2	2x3	15
x2	3x3	0
4x2	2x3	1 ,
5x2	x3	3

3x1	x2	2x3	1
	2x2	3x3	9 ;
2x1	2x2	3x3	9 ;
x	x	x	2
1	2	3

8x1		x2	3x3	2
		x2	6x3	1 ;
4x1		x2	6x3	1 ;
4x		2x	3x	7
	1	2	3
2x1		3x2	4x3	1
		9x2	x3	3 ;
7x1		9x2	x3	3 ;
5x		6x	3x	7
	1	2	3
3x1		2x2	2x3	6
		3x2	2x3	4;
5x1		3x2	2x3	4;
2x		5x	4x	0
	1	2	3
2x1		x2	x3	2
		x2	3x3	4;
5x1		x2	3x3	4;
7x		2x	4x	1
	1	2	3
x		4x	2x	0
	1	2	3
3x1		5x2	6x3	2;
4x		9x	8x	1
	1	2	3
3x1		5x2	3x3	4
		2x2	x3	8 ;
x1		2x2	x3	8 ;
2x		7x	2x	1
	1	2	3

135

3x1

14) 3x1x1

3x1

15) 3x1x1

3x1

16) 5x1x1

3x1

17) 5x1x1

18) 2x13x1

3x1

19) 2x13x1

20)3x12x1

5x2

x24x2

x25x24x2

x2x2

2x2

x2x2

2x2

2x23x22x2

4x2x2

2x2

5x2x2

3x2

6x3	8
x3	4,
2x3	9
x3	4
6x3	36	,
2x3	19
x3	11
2x3	8	,
4x3	16
x3	9
2x3	14,
4x3	19
3x3	14
4x3	16,
5x3	8
2x3	11
x3	4 ,
4x3	11
6x3	15
4x3	13	,
x3	9

x		2x
	1	2
2x1		3x2
3x		x
	1	2

5x1		x2
		4x2
3x1
2x		3x
	1	2
3x1		4x2
		5x2
x1
2x		x
	1	2
2x1		3x2
		4x2
3x1
5x		x
	1	2
4x1		9x2
		4x2
7x1
3x		5x
	1	2
2x1		8x2
		5x2
2x1
4x		3x
	1	2
5x1		6x2
		3x2
2x1
3x		3x
	1	2

3x3

4x3x3

2x3

x33x3

x33x34x3

2x37x35x3

5x3x3

4x3

7x3

6x3x3

2x3

11;

1 ;

136

ЗАДАЧА 35. Для каждой из данных систем найдите общее решение двумя способами:

а) методом Гаусса; б) с помощью фундаментальной системы решений.

3x1 2x2 2x3 x4 4x5 0 1) 7x1 5x2 3x3 2x4 x5 0 ,

x1 x2 x3 7x5 0

	6x1 3x2 2x3 4x4 7x5 0
			4x2	3x3 2x4 4x5 0,
2)	7x1		4x2	3x3 2x4 4x5 0,
	x x x 2x 3x 0
		1	2	3	4	5
	x x 7x 4x 9x 0
		1	2	3	4	5
3)	2x1 x2 3x3 x4 5x5 0 ,
	5x 3x x 6x x 0
		1	2	3	4	5
	x 2x 3x 2x x 0
		1	2	3	4	5
4)	x1 2x2 7x3 4x4 x5 0 ,
	x 2x 11x 6x x 0
		1	2	3	4	5
	3x1 x2 4x3 2x4 x5 0
			2x2	3x3 7x4 2x5 0,
5)	2x1		2x2	3x3 7x4 2x5 0,
	x 11x 34x 5x 0
		1	2	4	5
	x x 10x x x 0
		1	2	3	4	5
6)	5x1 x2 8x3 2x4 2x5 0 ,
	3x 3x 12x 4x 4x 0
		1	2	3	4	5

x1 x2 3x3 4x4 14x1 5x2 2x3 x4 3;3x1 4x2 x3 3x4 2

x x 4x 2x 0
1	2	3		4
3x1 4x2 x3 3x4 1;
2x 3x 3x x 1
	1	2	3	4
x x 3x 4x 0
1	2	3		4
2x1 x2 2x3 x4 1 ;
4x 3x 8x 9x 1
	1	2	3	4

x1 5x2 3x3 4x4 4

2x1 9x2 2x3 x4 7;x1 4x2 x3 3x4 3

x1 4x2 2x3 3x4 5

2x1 7

x1 24x3 x4 9;x4 43x2x2 2x3

x1 2x2 2x3 3x4 42x1 5x2 x3 4x4 9;x1 3x2 x3 x4 5

137

	2x1 x2 2x3 x4 x5 0
		10x2	3x3 2x4 x5 0 ,
7)	x1	10x2	3x3 2x4 x5 0 ,
	4x 19x 4x 5x x 0
		1	2	3	4 5

8)24x1 2x2 14x3 22x4 2x5 0,

x1 x2 x3 x4 2x5 0x2 11x47x3 x512x1

	2x1 3x2 3x3 3x4 x5 0
		6x2 x3 x4 2x5			0 ,
9)	x1	6x2 x3 x4 2x5			0 ,
	x 15x 6x 6x 7x 0
	1	2	3	4	5

	7x1 14x2 3x3 x4 x5 0
		2x2	x3 3x4		7x5		0
11)	x1	2x2	x3 3x4		7x5		0	,
	5x 10x x 5x 13x 0
		1	2	3	4		5
	x x x x x 0
	1	2	3	4	5
12)	2x1 x2		2x3 x4		2x5		0,
	x 2x 5x 2x x 0
	1	2		3	4	5
	5x1 2x2 x3 2x4 3x5 0
		4x2	5x3 4x4 x5				0
13)	x1	4x2	5x3 4x4 x5				0	,
	2x 3x 2x x x 0
		1	2	3	4	5

x1 2x2 3x3 4x4 14x1 7x2 2x3 x4 3;3x1 5x2 x3 3x4 2

x1 x2 3x3 4x4 04x1 3x2 x3 2x4 1 ;3x1 2x2 2x3 2x4 1

x1 2x2 2x3 3x4 03x1 5x2 x3 4x4 1 ;2x1 3x2 x3 x4 1

x1 2x2 2x3 3x4 02x1 3x2 x3 4x4 1 ;3x1 5x2 3x3 7x4 1

x1 x2 4x3 3x4 03x1 2x2 x3 2x4 1;2x1 x2 3x3 x4 1

x1 3x2 4x3 3x4 23x1 8x2 x3 2x4 5 ;2x1 5x2 3x3 x4 3

x1 4x2 2x3 3x4 22x1 9x2 x3 4x4 5;x1 5x2 x3 x4 3

138

	2x1 2x2 3x3 7x4 2x5 0
		11x2	34x4	5x5	0
14)	x1	11x2	34x4	5x5	0	,
	x 5x 2x 16x 3x 0
	1	2	3	4	5

x1 3x2 5x3 9x4 x5 0

15)2x1 7x2 3x3 7x4 2x5 0,x1 4x2 2x3 16x4 3x5 0

x1 x2 x3 2x4 x5 0

16)x1 x2 2x3 x4 2x5 0,x1 3x2 4x3 3x4 0

	3x1 x2 8x3 2x4 x5 0
			12x3	5x5	0
17)	x1 11x2					,
	x 5x 2x x 3x 0
	1	2	3	4	5
	2x1 2x2 2x3 x4 3x5 0
		x2	2x3	x4 2x5		0 ,
18)	3x1
	x 3x 4x 2x 5x 0
	1	2	3	4		5

x3 5x5 0

19)x1 2x2 3x3 5x4 7x5 0 ,3x1 x2 2x3 2x4 2x5 0

x1 2x2 7x3 5x4 x5 0

20)2x1 2x2 5x3 4x4 x5 0,3x1 2x2 3x3 3x4 x5 07x42x1 x2

2x1 3x2 4x3 7x4 1
	x2	3x3 4x4 1 ;
x1
4x 5x 2x x 3
	1	2	3 4

x 4x 3x x 2
	1		2	3	4
2x1 7x2 4x3 3x4 3;
x 2x x 3x 0
	1		2	3	4
2x1 x2 x3 x4 1
		2x2		x3 4x4 2 ;
x1		2x2		x3 4x4 2 ;
x 7x 4x 11x 5
	1		2	3	4
x 7x 9x 4x 2
	1		2	3	4
2x1 2x2 3x3 5x4 4 ;
5x 3x 5x 12x 10
	1		2	3	4
x 3x x 2x 4
	1		2	3	4
2x1 5x2 4x3 3x4 7;
x 2x 3x x 3
	1		2	3	4
x 2x 3x 4x 1
	1		2	3	4
3x1 7x2 2x3 x4 4;
2x 5x x 3x 3
		1		2 3	4
x 3x x 2x 1
	1		2	3	4
2x1 7x2 4x3 3x4 3.
x 4x 3x x 2
	1		2	3	4

139

ЗАДАЧА 36. Найдите общее решение данной однородной системы уравнений, постройте ее фундаментальную систему решений.

	x1 2x2 3x3 4x4 0
			4x2 5x3 7x4 0
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