Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

3448

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

5.34 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 2420 21 22 23 24 > Следующая >>>

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

ЗАДАЧА 79. Выясните, является ли вещественным линейным пространством данное множество:

1)множество всех векторов трехмерного пространства, лежащих на одной из осей;

2)множество всех векторов плоскости, лежащих на одной из осей;

3)множество всех векторов плоскости, являющихся линейными комбинациями данных векторов x и y ;

4)множество всех многочленов третьей степени, принадлежащих кольцу [x] ;

5) множество матриц	0	a	; a, b, c	;
5) множество матриц			; a, b, c	;

	b	c

6)	множество векторов из					n , для которых сумма и произве-
	дение	на	число		определены				следующим		образом:
	x y (x1 y1, x2 y2 ,..., xn yn )								и x ( x1, x2 ,..., xn ) , где
	x, y	n ,		;
7)	множество векторов из					n , для которых сумма и произве-
	дение	на	число		определены				следующим		образом:
	x y (x1 y1, x2 y2 ,..., xn yn )					и		x ( x1, x2 ,..., xn ) , где
	x, y	n ,		;
8)	множество всех диагональных матриц над порядка n ;
9)	множество матриц				a	b	;	a, b
9)	множество матриц						;	a, b		;

					b	a

191

10) множество всех положительных действительных чисел, где сумма и произведение на число определены следую-

щим образом: a b ab и a a

(a, b ; a, b 0) ;

11)множество всех векторов плоскости, выходящих из начала координат, концы которых лежат во второй четверти;

12)множество векторов трехмерного пространства, являющихся линейными комбинациями двух данных векторов

xи y ;

13)множество многочленов степени n с комплексными коэффициентами;

14)	множество всех n -мерных векторов			x (x1, x2 ,..., xn ) ,
	xi	, удовлетворяющих условию x1 x2		... xn 0 ;
15) множество векторов пространства			n , у которых совпа-
дают первая и последняя координаты;
16)	множество векторов пространства		n , у которых коор-
динаты с четными номерами равны нулю;
17)	множество векторов пространства		n	с координатами
( , , , ,...) ;
18)	множество векторов пространства		n ,	у которых по-
следние две координаты совпадают;
19)	множество всех n -мерных векторов			x (x1, x2 ,..., xn ) ,
	xi	, удовлетворяющих условию x1xn 1 ;
20)	множество всех n -мерных векторов			x (x1, x2 ,..., xn ) ,
	xi	, удовлетворяющих условию x1	x2 ... xn .

192

ЗАДАЧА 80. Выясните, образуют ли векторы e1,e2 ,e3 базис

пространства		3 :
1)	e1 (1, 4, 6),	e2		(1, 1,1),		e3	(1,1,3);
2)	e1 (2, 3,1),		e2 (3, 1,5),				e3 (1, 4,3);
3)	e1 (5, 4, 3),	e2		(3, 3, 2),		e3	(8,1,3);
4)	e1 (1,1,1),	e2	(0,1,1), e3 (1, 4,3);
5)	e1 (1, 1, 2),		e2 ( 1,1, 1),				e3 (2, 1,1);
6)	e1 (1, 2, 3),	e2		(4, 5, 6),	e3		(7,8,9);
7)	e1 (1,1,1),	e2	(1, 2,3),		e3 (1,3,6);
8)	e1 (3, 4, 5),		e2 (8, 7, 2),				e3 (2, 1,8);
9)	e1 (3, 2, 4),		e2 (4,1, 2),				e3 (5, 2, 3);
10)	e1 (7,3, 5),		e2 (2, 1,8),				e3 (1, 4,1);
11)	e1 (5, 6,1),		e2 (3, 5, 2),					e3 (2, 1,3);
12)	e1 (7,1, 3),		e2 (2, 2, 4),				e3 (3, 3,5);
13)	e1 (1, 2, 3),	e2		(6, 5, 9),	e3		(7,8,9);
14)	e1 (2,1, 0),	e2		( 5, 0,3),		e3		(3, 4,3);
15)	e1 (2, 0, 2), e2			(1, 1, 0),		e3		(0, 1, 2);
16)	e1 ( 2,1,5),		e2 (4, 3, 0),				e3 (0, 1,10);
17)	e1 (3, 1, 5),		e2 (1, 4, 6),			e3		(3,3, 2);
18)	e1 (1, 3, 6),	e2		(1, 1, 2),		e3		(2, 1,8);
19)	e1 (2,1, 4),		e2 (5, 2, 3),				e3 (1, 1,0);
20)	e1 ( 1,1,1),		e2 (3, 2, 4),					e3 (4,1, 2).

193

ЗАДАЧА 81. Докажите, что векторы a, b, c образуют базис

пространства		3 . Найдите координаты вектора x в этом ба-
зисе, сделайте проверку.
1)	a (5, 4,1) ,	b ( 3,5, 2) ,	c (2, 1,3) ,	x (7, 23, 4) ;
2)	a (2, 1, 4) ,	b ( 3, 0, 2) ,	c (4,5, 3) ,	x (0,11, 14) ;
3)	a ( 1,1, 2) ,	b (2, 3, 5) ,	c ( 6,3, 1) , x (28, 19, 7) ;
4)	a (1,3, 4) ,	b ( 2,5, 0) ,	c (3, 2, 4) , x (13, 5, 4) ;
5)	a (1, 1,1) ,	b ( 5, 3,1) ,	c (2, 1, 0) ,	x ( 15, 10,5) ;
6)	a (3,1, 2) ,	b ( 7, 2, 4) ,	c ( 4, 0,3) ,	x (16, 6,15) ;
7)	a ( 3, 0,1) ,	b (2, 7, 3) ,	c ( 4,3,5) ,	x ( 16,33,13) ;
8)	a (5,1, 2) ,	b ( 2,1, 3) ,	c (4, 3,5) ,	x (15, 15, 24) ;
9)	a (0, 2, 3) ,	b (4, 3, 2) ,	c ( 5, 4, 0) , x ( 19, 5, 4) ;

10)	a (3, 1, 2) , b ( 2,3,1) ,		c (4, 5, 3) ,		x ( 3, 2, 3) ;
11)	a (5,3,1) ,	b ( 1, 2, 3) ,	c (3, 4, 2) ,	x ( 9,34, 20) ;
12)	a (3,1, 3) , b ( 2, 4,1) ,		c (1, 2,5) ,	x (1,12, 20) ;
13)	a (6,1, 3) , b ( 3, 2,1) ,		c ( 1, 3, 4) ,		x (15, 6, 17) ;
14)	a (4, 2,3) ,	b ( 3,1, 8) ,	c (2, 4,5) ,	x ( 12,14, 31) ;
15)	a ( 2,1,3) , b (3, 6, 2) ,		c ( 5, 3, 1) ,		x (31, 6, 22) ;
16)	a (1,3, 6) ,	b ( 3, 4, 5) ,	c (1, 7, 2) ,		x ( 2,17,5) ;
17)	a (7, 2,1) ,	b (5,1, 2) ,	c ( 3, 4,5) ,		x (26,11,1) ;
18)	a (3,5, 4) ,	b ( 2, 7, 5) ,	c (6, 2,1) ,		x (6, 9, 22) ;
19)	a (5,3, 2) ,	b (2, 5,1) ,	c ( 7, 4, 3) ,		x (36,1,15) ;
20)	a (9,5,3) ,	b ( 3, 2,1) ,	c (4, 7, 4) ,	x ( 10, 13,8) .

194

ЗАДАЧА 82. Докажите, что каждая из двух данных систем векторов e1,e2 ,e3 и f1, f2 , f3 образует базис пространства

3 . Найдите матрицу перехода от базиса e1,e2 ,e3 к базису

f , f		2	, f	3	, где	e	(1,0,0), e	2	(1,1,0), e	3	(1,1,1) , а векторы
1						1
f	, f	2	, f	3	заданы согласно вашему варианту.
1
1)	f1 (1, 2,3) ,						f2 (0,1, 2) ,		f3 (0,0,1) ;
2)	f1 (1,0,1) ,						f2 (0,1,0) ,		f3 (1,1,0) ;
3)	f1 (1,0, 2) ,						f2 (1, 2,0) ,		f3 (1,0,0) ;
4)	f1 (1,1,1) ,						f2 (1, 2,0) ,		f3 (2,0,0) ;
5)	f1 (1,0, 2) ,						f2 (2,0,1) ,		f3 (0,1,0) ;
6)	f1 (2,1, 2) ,						f2 (1,1,0) ,		f3 (0,1,0) ;
7)	f1 (2, 2,3) ,						f2 (2,1,0) ,		f3 (2, 2, 2) ;
8)	f1 (1,1,1) ,						f2 (2,1, 2) ,		f3 (2,3,1) ;
9)	f1 (1,3,1) ,						f2 (1,1, 2) ,		f3 (0,1,0) ;
10)		f1 (1, 2,3) ,					f2 (0,1, 2) ,		f3 (1,0,1) ;
11)		f1 (1,0,1) ,					f2 (0, 2,0) ,		f3 (3, 4,0) ;
12)		f1 (2,0, 4) ,					f2 (1, 2,0) ,		f3 (3,0,0) ;
13)		f1 (1,1, 2) ,					f2 (2,1,0) ,		f3 (0, 2,0) ;
14)		f1 (1,0,3) ,					f2 (2,0,5) ,		f3 (0,1,0) ;
15)		f1 (2,1, 2) ,					f2 (4, 2,0) ,		f3 (0,3,0) ;
16)		f1 (2, 2,3) ,					f2 (2,1,0) ,		f3 (2, 2,5) ;
17)		f1 (2,3,1) ,					f2 (2,1, 2) ,		f3 (1,1,1) ;

195

18)	f1	(1,3, 4) ,	f2	(1,1,5) ,	f3	(0,1,0) ;
19)	f1	(2,1,5) ,	f2	(0,1,3) ,	f3	(1,1,0) ;
20)	f1	(4,1,0) ,	f2	(1,3,5) ,	f3	(2, 2, 2) .

ЗАДАЧА 83. Найдите координаты					вектора x в базисе
B :	e	, e	, e	, если он задан в базисе B :	e , e , e .
	1	2	3		1	2	3

1)	e	5e 2e 4e ,					e	8e 3e 7e ,							e	4e e 4e							,
	1	1	2			3	2		1	2			3		3		1	2			3
	x (9, 3, 7) ;
2)	e	7e 2e 9e					, e		3e e 4e ,						e	2e e 2e							,
	1	1		2		3		2	1	2			3		3		1	2			3
	x (6, 5, 3) ;
3)	e	2e 2e 3e					, e		6e 3e 7e					,	e		e 2e 2e							,
	1	1		2		3		2		1		2	3			3	1		2				3
	x (4, 9,8) ;
4)	e	3e 4e 5e ,					e	2e e 2e ,							e	3e 5e 6e ,
	1	1	2			3	2		1	2			3		3		1		2			3
	x (6, 4, 7) ;
5)	e	e 2e e				,	e	e 3e 2e ,							e	2e 3e 4e ,
	1	1	2		3		2		1	2			3		3		1		2				3
	x (8, 6,1) ;
6)	e	7e 4e e ,					e	12e 8e 3e						,		e 5e 3e e									,
	1	1		2		3	2		1		2		3				3	1			2			3
	x (6, 2,1) ;
7)	e	5e 2e 2e ,					e	e e e					,		e	3e 2e e							,
	1	1	2			3	2		1	2		3			3		1		2		3
	x (9,10,1) ;
8)	e	7e 5e 3e ,					e	4e 3e 2e						,	e		3e 2e 2e								,
	1	1	2			3	2		1		2		3			3		1		2				3
	x (11, 8, 1) ;
9)	e	2e 5e			11e		, e		3e 7e			16e		,	e		e 3e				7e			,
	1	1	2			3		2	1	2			3			3		1	2				3

x (4, 5,10) ;

196

10) e	3e	e	2e	,	e	8e	4e	5e ,	e	5e	2e	3e ,
1	1	2	3		2	1	2	3	3	1	2	3
x (10, 6, 5) ;

11)	e	8e	4e	3e , e		e e		e			,			e		5e 2e			e ,
	1	1	2	3	2	1	2			3					3		1	2		3
	x (8,1, 2) ;
12)	e	e 7e 9e ,			e	e 6e		8e ,						e		e 5e			6e			,
	1	1	2	3	2	1	2				3				3		1	2		3
	x (2,8, 7) ;
13)	e	3e 4e 2e ,				e e e					e		,		e	7e 8e				5e			,
	1		1	2	3	2	1		2			3			3		1	2			3
	x (4, 6, 3) ;
14)	e	6e 2e 9e ,			e	4e e				5e			,		e	5e 2e				8e			,
	1	1	2	3	2	1		2				3			3		1	2			3
	x ( 10, 2, 9) ;
15)	e	5e 6e		4e	, e	6e 8e					5e			,	e		2e e			e			,
	1	1	2	3	2	1			2				3			3		1	2		3
	x (7, 9, 5) ;
16)	e	8e 3e		e ,	e	5e e				e		,		e		7e 2e			e ,
	1	1	2	3	2	1		2			3				3		1	2		3
	x (10, 3,1) ;
17)	e	2e 4e		e ,	e	5e 9e			3e			,		e		2e 3e			2e			,
	1	1	2	3	2	1		2			3				3		1	2		3
	x (6, 9, 5) ;
18)	e	2e 6e		5e	, e	3e 8e					7e		,		e	e 5e				4e			,
	1	1	2	3	2	1		2				3			3		1	2			3
	x (2,11, 9) ;
19)	e	4e 4e		3e	, e	5e 7e			4e ,					e		e 2e e ,
	1	1	2	3	2	1		2				3			3		1	2		3
	x (8, 7, 6) ;
20)	e	3e 5e		4e	, e	2e 7e				4e			,		e	e 6e			3e		,
	1	1	2	3	2	1		2				3			3		1	2		3

x (2,9,5) .

197

ЗАДАЧА 84. Выясните, является ли подпространством соответствующего линейного пространства данная совокупность векторов:

1) множество матриц вида	a	b	,	где	a, b , в про-
	b
		a

странстве квадратных матриц второго порядка;

2)	множество матриц вида	1	a	, в простран-
2)	множество матриц вида		, где a, b	, в простран-
		a	b
	стве квадратных матриц второго порядка;
3)	множество матриц вида	0	a	, в простран-
3)	множество матриц вида		, где a, b	, в простран-
		b	a
	стве квадратных матриц второго порядка;
4)	векторы пространства	n ,	у которых координаты с чет-
	ными номерами равны между собой;

5)векторы плоскости, выходящие из начала координат, концы которых лежат на одной из двух прямых, пересекающихся в начале координат;

6)векторы плоскости, выходящие из начала координат, концы которых лежат на данной прямой;

7)векторы плоскости, выходящие из начала координат, концы которых не лежат на данной прямой;

8) векторы пространства	n вида (0, x , 0, x , x ,..., x ) ;
	2	4 5	n

9)векторы плоскости, выходящие из начала координат, концы которых лежат в третьей четверти;

10)векторы линейного пространства, являющиеся линейными комбинациями данных векторов u1, u2 , ... , uk ;

11) векторы пространства n вида ( , , , ,...) ;

198

12)	векторы пространства	n , у которых совпадают первая и
	последняя координаты;
13)	векторы пространства	n , у которых координаты с не-

четными номерами равны нулю;

14)невырожденные матрицы в пространстве квадратных матриц порядка n ;

15)вырожденные матрицы в пространстве квадратных матриц порядка n ;

16) множество многочленов вида a1x a0 в пространстве P[x](3) многочленов степени n 3 ;

17)множество многочленов вида b0 x4 b1x2 b2 в пространстве P[x](5) многочленов степени n 5 ;

18)множество всех симметричных матриц порядка n с действительными элементами;

19)векторы плоскости, параллельные данной прямой;

20)векторы плоскости, ортогональные данной прямой.

ЗАДАЧА 85. Найдите размерность и базис суммы и пересечения подпространств A и B , порожденных данными наборами векторов ai и bi соответственно:

1)	a1	(1,1,1,1),	a2 (1, 1,1, 1),		a3 (1,3,1,3);
	b1	(1, 2, 0, 2),	b2	(1, 2,1, 2),	b3 (3,1,3,1);
2)	a1	(2, 1, 0, 2),	a2	(3, 2,1, 0),	a3	(1, 1,1, 1);
	b1	(3, 1, 1, 0),	b2	(0, 1, 2,3),	b3	(5, 2, 1,0);
3)	a1 (1, 2, 1, 2),		a2	(1, 0,1, 1),	a3	(3,1,1,1);
	b1	(1, 2, 7, 3),	b2 (2,5, 6, 5),		b3	(3,3,1, 2);

199

4)	a1 (1,1,0,0),		a2 (1,0,0, 1),	a3 (1, 1,1, 1);
	b1 (3, 3, 1,1),		b2 (5, 3,1,1),	b3 (3, 1,1,1);
5)	a1 (1, 2,1, 0),		a2 (1,1,1,1),	a3 (1,5, 2,1);
	b1	(2, 1, 0, 1),	b2 (1, 1, 3, 7),	b3 (5, 3,3,5);
6)	a1 (1, 2, 1, 2),		a2 (3,1,1,1),	a3 ( 1,0,1, 1);
	b1	(2,5, 6, 5),	b2 (1, 2, 7, 3),	b3 (3,3,1, 2);
7)	a1	(1,1,1,1),	a2 (1, 2, 0,1),	a3 (0, 1,1, 2);
	b1	(1, 1,1, 1),	b2 (2, 2, 0,1),	b3 (1,1, 1, 2);
8)	a1 (1, 2, 0,1),		a2 (1,1,1, 0),	a3 (3,7,1, 2);
	b1	(1, 0,1, 0),	b2 (1,3, 0,1),	b3 (0, 3,1, 1);
9)	a1	(3,1, 3,1),	a2 (1, 1,1, 1),	a3 (1, 2,0, 2);
	b1	(1,1,1,1),	b2 (1, 2,1, 2),	b3 (1,3,1,3);
10) a1 (1,1, 0, 0),			a2 (0,1,1, 0),	a3 (0,0,1,1);
	b1	(1, 2,1, 2),	b2 (0, 2,1,1),	b3 (1,0,1,0);
11) a1 (1, 1, 1,1),			a2 (2, 2, 0, 0),	a3 (3, 1,1,1);
	b1	(1,1,1,1),	b2 (1,1, 1, 1),	b3 (1, 1,1, 1);
12) a1 (1, 2,0, 2),			a2 (1,1,0, 1),	a3 (1, 2,1,1);
	b1 (1, 4, 1, 1),		b2 (1, 4, 4,8),	b3 (2,0,1, 1);
13) a1 (1, 2, 1,1),			a2 (2,1, 0, 1),	a3 (3,3, 2,1);
	b1	(1, 2, 4, 0),	b2 (1,1,1,1),	b3 (3, 1,1,1);
14) a1 (2,1, 3, 2),			a2 (4, 2, 6, 2),	a3 (6,3, 9,3);
	b1 (1, 0,1, 0),		b2 (0,1, 0,1),	b3 (1,1,1,1);

200

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 2420 21 22 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20225.18 Mб23433.pdf
#
15.11.20225.21 Mб33436.pdf
#
15.11.20225.27 Mб23440.pdf
#
15.11.20225.28 Mб63442.pdf
#
15.11.20225.34 Mб23447.pdf
#
15.11.20225.34 Mб43448.pdf
#
15.11.20225.35 Mб13449.pdf
#
15.11.20225.36 Mб03451.pdf
#
15.11.20225.36 Mб43453.pdf
#
15.11.20225.37 Mб43454.pdf
#
15.11.20225.39 Mб43455.pdf