Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

3448

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

5.34 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 244 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

102. Пусть		3 4			, где , и	E	- единичная
102. Пусть	A		3		, где , и	E	- единичная
	1 16		3	4

матрица второго порядка. Укажите, при каких значениях множество матриц G E, E, A, A образует группу

относительно операции умножения.

103. Является ли группой относительно операции умно-

жения множество чисел вида:
1) a b 5; a, b	;	2) a b 5; a,b 2 ;

3) a b5; a,b , a2 b2 0 ?

104. Является ли группой множество ненулевых действительных чисел относительно операции , заданной ра-

венством: a b abk ,		где		k 0	- фиксированное действи-
тельное число?
	a
105. Пусть	G		;	a ,	k	0	. Выясните, явля-

	7k

ются ли группами (G, )				и (G, ) .
	106. Выясните, являются группами (G, ) и (G, ) , где:
1)				a	b		, где a, b	, a 0 ;
1)	G - множество матриц вида						, где a, b	, a 0 ;
				0	1
2)				a	b	,	где a,b, c	, a, c 0 ;
2)	G - множество матриц вида					,	где a,b, c	, a, c 0 ;
				0	c
3)				a	7b
3)	G - множество матриц вида						, где a, b .
				b	a
	107. Докажите,		что множество				матриц	A( ) вида
	cos	sin		где - произвольное действитель-
A( )			,	где - произвольное действитель-
	sin	cos

ное число, образует группу относительно операции умножения матриц.

108.Образует ли группу множество действительных чи-

сел, отличных от (-1), относительно операции *, заданной равенством a *b ab a b ?

109.Образует ли группу относительно операции умножения множество всех матриц n -го порядка, элементами которых являются целые числа, а определитель равен 1 или -1?

110.Докажите, что множество упорядоченных пар (a, b)

действительных чисел,		где	a 0 , образует группу относи-
тельно	операции	,	определяемой	равенством

(a1, b1) (a2 , b2 ) (a1a2 , a1b2 b1) . Будет ли эта группа абелевой?

111.Докажите, что если квадрат любого элемента группы равен самому элементу, то группа абелева.

112.Докажите, что если a2 e для любого элемента a группы G , то эта группа абелева.

113.Докажите, что для любых элементов группы выпол-

няется равенство (ab) 1 b 1a 1 .

114.В любой ли группе выполняются тождества:

1)(ab) 1(ab 1a 1) 1 a e ;

2)(ab 1a 1b 1)(bab 1a 1) 1 e ?

115.Для любых трех элементов a, b, c группы G выпол-

няется равенство abc cba . Верно ли, что группа абелева? 116. Выясните, какие из следующих числовых множеств

являются кольцами, полями относительно операций сложения и умножения чисел:

1)- множество натуральных чисел;

2)	a b			где a,b	;
		2,
3)	a b			где a,b	;
		2,
4)	a b3			где a,b	.
			2,

117. Образует ли кольцо, поле относительно операций сло-

a		0	, a,b ?
жения и умножения множество матриц вида	0	b

118.Покажите, что в матричном кольце из предыдущей задачи имеются делители нуля.

119.Образует ли кольцо, поле относительно операций матричного сложения и умножения множество матриц вида:

1)	a	3b		;	2)	a	b
1)			, a, b	;	2)		, a, b ;
	b	a				0	a
3)	a	a	, a ;		4)	a	3a
3)			, a ;		4)		, a ?
	a	a				0	0
	120. Является ли кольцом, полем множество всех матриц
размера 2 2 над							0	1	?
размера 2 2 над				, перестановочных с матрицей					?
							2	0
	121. Докажите,			что множество			всех действительных
чисел относительно операций сложения и умножения									,
заданных равенствами a b a b 1, a							b a b ab является
полем.
	122. Образует ли кольцо,				поле относительно обычных

операций матричного сложения и умножения данное множество матриц (с действительными элементами)? Укажите делители нуля, если они есть.

1)	a		0	;	2)	a	0	;	3)	a		b	;
1)				;	2)			;	3)				;
		0	a			a	0				0	c

a1	0	0
0	a	0
4)	2		; 5)
.	.	.
0	0	an

a11

a21.

an1

0	0		a1 a2		an
a	0		0	0	0
22		;	6)			?
.	.		.	.	.
an2	ann		0	0	0

123. Докажите, что множество упорядоченных пар (a, b) ,

где a , b - целые числа, относительно данных операций и является коммутативным кольцом с единицей. Укажите в каждом из этих колец обратимые элементы. В кольцах с де-

лителями нуля укажите делители нуля:

1)	(a, b) (c, d ) (a c, b d ) ,	(a, b) (c, d ) (ac, bd ) ;
2)	(a, b) (c, d ) (a c, b d ) ,	(a, b) (c, d ) (ac bd , ad cb) ;
3)	(a, b) (c, d ) (a c, b d ) ,	(a, b)	(c, d ) (ac 3bd , ad cb) ;
4)	(a, b) (c, d ) (a c, b d ) ,	(a, b)	(c, d ) (ac 3bd , ad cb) .

124.Докажите, что в любом кольце с единицей множества обратимых элементов и делителей нуля не пересекаются.

125.Докажите, что все обратимые элементы кольца с единицей образуют группу относительно умножения.

126.Докажите, что в поле нет делителей нуля.

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

127. Выполните действия над комплексными числами в алгебраической форме:

1) i77 , i98 , i 57 , in ( n );

(1 i)8

; 3)

(1 2i)2 (1 i)3

;

(1 i)6

(3 2i)3 (2 i)2

4) 8 6i ;

5 2i ;

6) 8i ;

7) 15 8i .

z z

128. Вычислите

, где

z 2 3i , z

3 4i

z1 z3

z3 1 i .

129. Вычислите	z4	2 i	( 3 2i)	при	z 1 2i .
		z

130. Решите системы уравнений, используя правило Крамера:

1)	(2 i)x (2 i) y 6		;	2)			(1 i)x 2iy 2		;
		2i)x (3 2i) y 8				i)x (2 i) y 3 3i
	(3				(1
3)	(3 i)x (4 2i) y 2 6i				(2 i)x (3 i) y i			.
		2i)x (2 3i) y 5 4i		; 4)			i)x (2 i) y i
	(4				(3

131. Решите уравнения:

1) (2 i)z2 (5 i)z (2 2i) 0 ; 2) (3 i)z2 (1 i)z 6i 0 ;

3) z2 (2 i)z ( 1 7i) 0 ;

4) z2 (3 2i)z 5 5i 0 .

132. Запишите в тригонометрической форме числа:

1) 3;

2) 2i ;

3) 1 i ;

4) 1 i ;

5) 1 i 3 ;

6) 1 i

3 ;

7) 1 i 3 ;

8) 1 i 3 ;

10) 3 i ;

cos i sin ;

14) sin i cos .

11) 1 i

;

12) 2

3 i ; 13)

133. Изобразите на комплексной плоскости множество точек, удовлетворяющих условиям:

1) \| z \| 2 ;			2) \| z 3i \| 1 ;		3) \| z 3 2i \| 2 ;
4) 1 \| z 1 2i \| 3 ;			5) \| z 1 i \| 1, Re z 1, Im z 1;
6) 1 \| z \| 2 ,		arg z ;		7)	\| z 1 i \| 1 ,	\| arg z \|	.
	4		2				4

134. Используя тригонометрическую форму комплексного числа, вычислите:

					i 30			1 i		13
				3					3
1) (1 i)12 ;	2) (1 i 3)150 ;			3					3
		3)				;	4)			;
		3)	1 i			;	4)	1 i		;
			1 i					1 i

																																		( 1 i
5)		(1 i						3)12 (1 i									3)6			;	6)	( 1 i						3)15						( 1 i						3)15	;
5)								(1 i)12												;	6)																				;
								(1 i)12															(1 i)20													(1 i)20
																																24
																										3				i
7) ( 3 i)65 ( 3 i)65 ;																										3				i
																					8) 1											.
																					8) 1											.
																								2					2
																								2					2

			135. Найдите значения:																		1)		4 4 ;						2)			3 i ;						3) 3 2 2i ;

4)		3 1 i							и изобразите их точками комплексной плоскости.
			136. Вычислите:

						2i						4													8 24i												18


1)	3						;		2)				8 3i 8 ;								3)	3							;		4)					4						;
1)				1 i			;		2)				8 3i 8 ;								3)				3 i				;		4)								1 3i			;


5)					1 5i			5			1 2i			2 ;										6) 4	7 2			i				4	14i					(8 2i) ;
5)								5						2 ;										6) 4														(8 2i) ;
					1 i						2 i													1 i 2									2 2i

					(2 2i)7 ( 1											i)5									(				2i)2
7)	3				(2 2i)7 ( 1										3	i)5			;		8)		5		(		12		2i)2							.

							(		3 i)13																	16i117
							(		3 i)13																	16i117
			137. Вычислите:
	1								2 2									1			2 3									i					1 i 4k
1)			2 i							;					2)				2 i					;				3)								i		.
			2 i						1										2 i		1									0						i
			138. Решите уравнения:
1)		z2 2z 3 0 ;															2) \| z \| z 8 4i ;													3) \| z \| z 8 12i .
			139. Найдите arg z																	(z	) , если:

1)z z | z | ; 2) z z i | z | .

140.Найдите все комплексные числа, каждое из которых сопряжено со своим квадратом.

141.Найдите все комплексные числа, сопряженные своему кубу.

142. Докажите, что:

1) комплексное число z является вещественным тогда и только тогда, когда z z ;

2) комплексное число z является чисто мнимым тогда и только тогда, когда z z .

143. Докажите равенство

| z1 z2 |2 | z1 z2 |2 2 | z1 |2 | z2 |2

для произвольных комплексных чисел z1 , z2 . Выясните его

геометрический смысл.

144. Найдите сумму всех корней n -й степени из едини-

цы.

145.Найдите произведение всех корней n -й степени из единицы.

146.Найдите все первообразные корни n -й степени из единицы при n 2, 3, 4, 6, 8, 12 .

147.Докажите, что если является первообразным корнем n -й степени из единицы, то и сопряженное число также является первообразным корнем n -й степени из единицы.

148.Образует ли группу относительно операции сложения: 1) множество чисто мнимых комплексных чисел; 2) множество комплексных чисел, модуль которых равен 1?

149.Является ли множество комплексных чисел a ib с целыми a и b : 1) кольцом, 2) полем?

КОЛЬЦО ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ. КОЛЬЦА КЛАССОВ ВЫЧЕТОВ

150. Пусть a, b, m и m 0 . Докажите, что если числа a и b дают при делении на m одинаковые остатки, то

НОД(a, m) НОД(b, m) .

151. Докажите, что для любых a, b, k справедливы равенства:

1)НОД(a, b) НОД(a kb, b) НОД(a, b ka) ;

2)НОД(ka, kb) k НОД(a, b) ;

3)НОД(a, b) НОД(b, r) , где r - остаток от деления a на b ;

4)если НОД(a, b) 1, то НОД(a, bc) НОД(a, c) .

152.Дано каноническое разложение натурального числа

a pk1	...pkm .	Докажите, что числа вида d pt1	...ptm , где
1	m	1	m
0 ti ki , ti		, и только они являются делителями числа a .

153.Опишите способ вычисления НОД и НОК целых чисел по их каноническим разложениям.

154.Применяя алгоритм Евклида, найдите НОД данных чисел и получите линейное представление НОД:

1) 309, 1068; 2) 321, 843; 3) 607, 477; 4) 6787, 7194.

155. Для данных чисел a , b найдите НОД двумя способами – с помощью алгоритма Евклида и с помощью разложения чисел на простые множители; получите линейное представление НОД. Найдите НОК(a, b) .

1) a 285 , b 363 ; 2) a 12103, b 1425 ;

3)a 2237 , b 1021.

156.Вычислите НОД данных чисел двумя способами – с помощью алгоритма Евклида и с помощью разложения чисел на простые множители:

1)	588,	2058, 2849;	2)	279, 372, 1395;
3)	420,	630, 1155;	4)	81719, 52003, 33649, 30107.

157. Выясните, простым или составным является число:

	1) 1001;	2) 607;		3) 7429.
	158. Докажите, что данные сравнения являются верными:
1)	121 13145 (mod 2) ;		2)	121347 92817 (mod 10) ;
3)	52 8 (mod 10) ;		4)	(m 1)2 1 (mod m) ;

5)2m 1 (m 1)2 (mod m) .

159.Выясните, какие из следующих сравнений являются верными:

1)	1 6 (mod 7) ;	2)	572 0 (mod 13) ;
3)	25 1 (mod 4) ;	4)	3m 1 (mod m) ;
5)	325 762 (mod 19) ;	6)	1920 15 (mod 10) .

160. Выясните, какие из данных чисел сравнимы по модулю m 6 . Проверьте, можно ли из данных чисел составить полную систему вычетов по этому модулю:

259, -87, 165, 348, -16, 503, -124, 52.

161.Числа 17, –14, 19, –49, –22, 21, –29 замените наименьшими неотрицательными вычетами по модулю 8 и дополните до полной системы вычетов.

162.Докажите, что a rm (a) (mod m) .

163.Найдите остаток rm (a) от деления числа a на число m :

1)	a 15325 899 ,	m 9 ;	2)	a 1853 11753 ,	m 11;
3)	a 2348 4823 ,	m 7 ;	4)	a 128148 148129 , m 13 ;
5)	a 10242856 ,	m 91;	6)	a 2811956 ,	m 13 .

164. Выясните, какие из данных сравнений имеют решения, и решите их, используя лишь простейшие свойства сравнений. Сделайте проверку.

1)	22x 7(mod19) ;	2)	28x 8(mod12) ;
3)	15x 19(mod 21) ;	4)	381x 3(mod 71) ;

5)	47x 56(mod 93) ;		6)	5x 3 (mod 17) ;
7)	7x 15 (mod 9) ;		8)	8x 7 (mod 14) ;
9)	18x 15	(mod 69) ;	10) 27x 9 (mod 15) ;
11) 21x 5		0 (mod 29) ;	12) 14x 50(mod 62) .

165. Исследуйте и решите сравнения, используя простейшие свойства сравнений. Сделайте проверку.

1)	13x 19(mod 29)	;	2)	16x 3(mod11) ;
3)	21x 76(mod 81)	;	4)	25x 1(mod19) ;
5)	51x 9(mod 33) ;		6)	55x 57(mod 221) ;
7)	23x 5(mod19) ;		8)	27x 7(mod 58) ;
9)	45x 12(mod 24) ;		10) 53x 61(mod 93) ;

11)		39x 14(mod 240) ;		12) 6x 8(mod 26) ;
13)		23x 7(mod10) ;		14) 109x 76(mod173) .
		166.	Исследуйте и решите сравнения, используя рекур-
рентную формулу. Сделайте проверку.
1)	729x 33 (mod 321) ;			2)	5286x 225	(mod 849) ;
3)	4172x 344 (mod 676) ;			4)	4305x 935	(mod 830) ;
5)	23579x 365 (mod 1275) ;			6)	2237x 100 (mod 1021) ;
7)	256x 179 (mod 337) ;			8)	1215x 560	(mod 2755) .
		167.	Найдите значение	функции Эйлера (n) для

n 81, 97, 125, 226, 4356 .

168.Сколько натуральных чисел взаимно просто с числом 1584 и не превосходит это число?

169.Решите сравнения с помощью функции Эйлера:

1)	11x 3 (mod 30) ;	2)	13x 19 (mod 29) ;
3)	7x 5 (mod16) ;	4)	20x 10 (mod 25) ;
5)	6x 15 (mod 45) ;	6)	13x 4 (mod17) .

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 244 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20225.18 Mб23433.pdf
#
15.11.20225.21 Mб33436.pdf
#
15.11.20225.27 Mб23440.pdf
#
15.11.20225.28 Mб63442.pdf
#
15.11.20225.34 Mб23447.pdf
#
15.11.20225.34 Mб43448.pdf
#
15.11.20225.35 Mб13449.pdf
#
15.11.20225.36 Mб03451.pdf
#
15.11.20225.36 Mб43453.pdf
#
15.11.20225.37 Mб43454.pdf
#
15.11.20225.39 Mб43455.pdf

1) \| z \| 2 ;			2) \| z 3i \| 1 ;		3) \| z 3 2i \| 2 ;
4) 1 \| z 1 2i \| 3 ;			5) \| z 1 i \| 1, Re z 1, Im z 1;
6) 1 \| z \| 2 ,		arg z ;		7)	\| z 1 i \| 1 ,	\| arg z \|	.
	4		2				4