Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

3448

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

5.34 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 242 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

	1	2	3	...	n
	1	0	3	...	n
3)	1	2	0	...	n	;
	... ... ... ... ...
	1	2	3	...	0
	a	b	b ...	b
	a	b	b ...	b
	b	a	b ...	b
5)	b	b	a ...	b	;
	. . . ... .
	b	b	b ...	a

		2	3 ...	n 2	n 1	n
	1	2	3 ...	n 2	n 1	n
	2	3	4 ...	n 1	n	n
4)	3	4	5 ...	n	n	n	;
	. . . ...			.	.	.
	n	n	n ...	n	n	n

	1	1	1	...	1
	a1	a2	a3	...	an
6)	a2	a2	a2	...	a2	.
	1	2	3		n
	...	...	... ... ...
	an 1	an 1	an 1	... an 1
	1	2	3		n

	27. Вычислите определитель n -го порядка, элементы ко-
торого заданы условиями										aij min(i, j) .
	28. Вычислите определитель n -го порядка, элементы ко-
торого заданы условиями										aij max(i, j) .
	29. Пользуясь теоремой Лапласа, вычислите определители:
		1	2	7					1	1		3		4				0	5	2	0
	5	1	2	7					1	1		3		4				0	5	2	0
1)	3	0	0	2	;		2)		2 0			0	8		;		3)	8	3	5 4		;
	1	3	4	5					3	0		0		2				7	2	4	1
	2	0	0	3					4	4		7		5				0	4	1	0
		1	4	3		5		5		2	1		3	2			1	2	3	4	5
	2	1	4	3		5		5		2	1		3	2			1	2	3	4	5
	3	4	0	5		0		4		0	7		0	0			0	6	0	4	1
4)	3	4	5	2		1	; 5)	2 3 7 5 3								; 6)	2 4 1 3 5					;
	1	5	2	4		3		2		3	6		4	5			1	3	5	2	4
	4	6	0	7		0		3		0	4		0	0			0	5	0	3	2

	7		6		5		4	3	2				7	2	1	3	4
	7		6		5		4	3	2				7	2	1	3	4
	9		7		8		9	4	3				1	0	2	0	3
7)	7	4		9		7		0 0		;		8)	3 0 4 0 7					;
	5		3		6		1	0	0				6	3	2	4	5
													6	3	2	4	5
	0		0		5		6	0	0				5	1	2	2	3
	0		0		6		8	0	0				5	1	2	2	3
	0		0		6		8	0	0				2	3	0	0	1		1
	1		2		0		0	0	0
	1		2		0		0	0	0
	3		4		0		0	0	0				9	4	0	0	3		7
9)	7		6		5		4	0	0	;		10)	4	5	1	1 2			4			;
	2		3		4		5	0	0				3	8	3	7	6		9
	5		1		2		6	7	3				1	1	0	0	0		0
	2		7		5		3	4	1				3	7	0	0	0		0
		1	2			3	4	5	3				1	0	2	0	3		0
		1	2			3	4	5	3				1	0	2	0	3		0
		6	5		7		8	4	2				5	1	4	2	7		3
11)		9	8		6		7	0	0		;	12)	1	0	4	0	9		0		;
		3	2		4		5	0	0				8	1	5	3	7		6
		3	4		0		0	0	0				1	0	8	0	27		0
		5	6		0		0	0	0				9	1	5	4	3		10
													1	1	1		0		0
													1	1	1		0		0
		1	x		x		x						1	2	3		0		0
		1	a		0		0						1	2	3		0		0
13)		1	a		0		0	;				14)	0	1	1		1		1	.
		1	0		b		0						0	x1	x2	x3			x4
		1	0		0		c						0	x1	x2	x3			x4
		1	0		0		c						0	x2	x2	x2			x2
													0	x2	x2	x2			x2
														1	2		3		4

30. Пользуясь теоремой Лапласа, вычислите определители, предварительно преобразовав их:

		1	3 4		5					5 5		3 4 2
	2
	4	2	7	8	7				4 4 3 6					3
1)	6 4		9	2	3		;	2)		3 1		5	9	5			;
	3 2		4	1 2					7 7 6				8 4
	2 6		5 4		3					5 3		2	1	2
		9	2	4	5				2		1 2 3 2
	5
	2	3	4	3 3					3 2 7 5					1
3)	5	7	2	4	2		;	4)	3 1			5	3	2	;
	4	5	8	6	8				5 6 4 2					4
	6	5	3 3 7						2 3 3 1					2
		3	5	2	1					3 4 3			1 2
	2
	3 2		5	4	3				5 6 5 2					3
5)	2 3		4	2	3	;		6)	4 9			3 7		5		.
	6	4 7 8			1				1		4	1 1		2
	2	1 7		1 5					3 7 5 2					3
	31. Пусть			A - квадратная матрица второго порядка, а B

- квадратная матрица третьего порядка. Выразите следующие определители через определители матриц A и B :

0	A	,	A	C	,	C	A	.
B	C		0	B		B	0

									ДЕЙСТВИЯ С МАТРИЦАМИ
																													2		2
		32.		Вычислите									3A B			T		,		T	3B ,		где			A			3		4		,
		32.		Вычислите									3A B					,	2 A		3B ,		где			A			3		4		,
																													5		6
																													5		6
B			1		5			6
B				2					.
			2	2					3
		33. Вычислите произведение матриц:
	3		2 3							4											2 3 9						6
1)			4								;									2)							4		;
		5	4				2			5											4 6				6		4
	4		3		28 93							7			3
3)																	;
		7	5			38			126					2	1
	1		3			2 2						5 6									5 8 4 3								2 5

4)		3	4			1				1		2 5			;					5)	6 9 5						4		1 3			;
		2	5			3				1		3 2									4 7 3						9		6 5
		2	5			3				1		3 2									4 7 3						9		6 5
							2				1										0	0	1			1		1
	2		1		3		2				1		2		1						1 1 2					1		1			4
	2		1		3								2		1						1 1 2										4
6)		0	1 2						0 2					3	0		;			7)	2 2 3					2			2			;
		0	1 2											3	0						2 2 3					1					1
									1 1												3	3	4			1			1
																					3	3	4
8)	1		2 3											2		1			n	;			10)	1 1 n
8)			4			;						9)			3 2					;			10)					.
		3	4												3 2									0 1
		34.		Найдите матрицы												AB ,				( AB)T ,			AT BT ,				BT AT ,				если
	1		0 1							1		2
	1		0 1								1	0															T	B		T T
A						,		B			1	0	. Проверьте равенство ( AB)															B		A .
	2		3	2							3	1
											3	1

35. Для данных матриц A и B найдите ( A 3B)2 , если

1 4		7		2		1	1

A	2 5	8	,	B	1	0 2		.
	3 6	9			4	1	0
	3 6	9			4	1	0

36. Для данных матриц A и B найдите ( AB)3 , если

10		4
	11	4		5		7 11 3
A	3		,	B	3		.
	3	1			3	11 27 5
	2
	2	1

37. Найдите значение данного выражения (здесь E - единичная матрица соответствующего размера):

1)	A2 2A 5E ,				где	4		3		;
1)	A2 2A 5E ,				где	A	2	1		;
							2	1
2)	A3 4 A2			A E ,	где	1		2		;
2)	A3 4 A2			A E ,	где	A	2	1		;
							2	1
						1		2		3
3)	2		2A 5E ,		где		2	4		1		;
3)	3A		2A 5E ,		где	A	2	4		1		;
							3	5		2
							3	5		2
						5		2	3
4)	3		2	13A 5E ,	где		1	3				;
4)	A	7 A		13A 5E ,	где	A	1	3	1			;
							2	2
							2	2	1
						2		0		0
5)	3		2	2A 4E ,	где		0	3		0
5)	A	5A		2A 4E ,	где	A	0	3		0	.
							0	0		1
							0	0		1

38. Матрицы A и B называются перестановочными, если AB BA. Найдите все матрицы, перестановочные с мат-

рицей	3		5
рицей	A	1	2	.
		1	2
39. Для данных матриц A и B найдите AB ,											BA ,	A B ,
A B ,	A2 B2 ,			2A2 4A 5E ,		где	E - единичная матрица.
Вычислите определители матриц							A ,	B ,	AB ,	A B ,		AT BT ,
AT BT , A2 B3 . Верно ли равенство							A2 B2 ( A B)( A B) ?
	2			4 3 5			3		1 1		2
				1 0				3		4 2
	A	1		1 0	1 ,	B		3	0	4 2
		3		2 1 4				1	2	0 4
		1		3 4 2				1	2	1 3
		1		3 4 2				1	2	1 3
40. Пусть			A - матрица размера 5 5						и \| A \| 3 . Чему ра-

вен определитель матрицы 2 A2 ?

41. Как изменится произведение AB матриц A и B , если:

а) переставить i -ю и	j -ю строки матрицы A ?
б) к i -й строке матрицы A прибавить			j -ю строку, умно-
женную на число c ?
в) переставить i -й и	j -й столбцы матрицы B ?
г) к i -му столбцу матрицы B прибавить			j -й столбец, умно-
женный на число c ?
42. Докажите, что если		A и B - квадратные матрицы
одного и того же порядка, причем AB BA , то:
а) ( A B)2 A2 2 AB B2 ;
б) ( A B)( A B) A2 B2 .
43. Докажите равенства:
а) (cA)T cAT , где c	- число;	б) ( A B)T	AT BT ;
в) ( AT )T A ;		г) ( AB)T BT AT .

ОБРАТНАЯ МАТРИЦА

44. Вычислите A 1 двумя способами: а) с помощью взаимной матрицы, б) методом элементарных преобразований:

														1		0		1					1	1		0	1
				1	2									1		0		1						3 1
1) A				1	2									0		0 2							2	3 1			0
1) A					; 2)				A					0		0 2			; 3) A									.
				3	4									1									1		0 2 3
														1		3		1					0		1	1	3
																							0		1	1	3
		45. Для данной матрицы найдите обратную матрицу и
сделайте проверку, т.е. убедитесь, что AA 1																							E :
	1			2					3				4			5			2			4		1
1)	1			2			2)			2			3			1				1		5		3		;
1)			1	3	;		2)			2			3			1	;		3)	1		5		3		;
			1	3						3			5							1		1		1
										3			5		1					1		1		1
	1 1				1 1							1 2					3 4				1		1		1		1
	1 1				1 1							1 2					3 4					0	1		1		1
																						0	1		1		1
4) 1 1					1	1 ; 5)							2 3				1 2 ; 6)					0 0			1		1	.
	1		1		1 1								1 1				1 1

	1		1		1		1					1 0				2			6
	1		1		1		1					1 0				2			6			0	0		0		1
																						0	0		0		1
		46. Решите матричные уравнения:
	1			2			3		5
1)				X								;
		3		4				5	9
			3		2			1				2
2)	X												;
			5		4			5				6
	3			1			5			6				14 16
3)				2	X														;
		5		2				7		8					9	10
	1 2				3						1				3		0

4)		3 2			4		X				10 2						7		;
		2		1	0												8
		2		1	0						10 7						8

		5	3	1	8		3	0
5)		1	3	2		5	9	0	;
	X
		5	2			2	15	0
				1

	1			0 0			0 5						0			4			5 2

6)		0		0 2		X			4 0				0				8		10 4		;
		0		3 0					0 0				2						15 6
		0		3 0					0 0				2			12			15 6
			1		1		1					1	1			3
												1	1			3
7) X				2	1		0											;
					1							4	3			2
				1	1		1
			1		1	1		1				2
								1				2
8) X 1 3						6						;
					2	4		3				4
			1		2	4
	2			3 1						9 7				6			2			0 2
9)		4		5 2			X				1 1			2						12 9
9)		4		5 2			X				1 1			2			18			12 9		.
		5		7 3							1 1			1				23		15 11
		5		7 3							1 1			1				23		15 11
		47. Решите систему (в матрицах второго порядка):
			2		1		3				1			2			8
					X							Y						,
			1		1			2			1				0		5
				1			2					1			4				9
3				1			2					1			4				9
					X							Y								.
					X							Y								.
	1			1			1					1			1			4
	1			1			1					1			1			4
		48. Определите, при каких значениях данная мат-
рица имеет обратную:
													1		5				2
													0			1			4
													0			1			4	.
																0			0
																0			0

49. Докажите равенства:

а) ( A 1) 1 A ;	б) ( AB) 1 B 1 A 1 ;
в) ( A 1)T ( AT ) 1 ;	г) ( A 1)n ( An ) 1 .

50. Как изменится обратная матрица A 1 , если в данной матрице A :

а) переставить i -ю и j -ю строки?

б) i -й строку умножить на число c 0 ?

в) к i -й строке прибавить j -ю строку, умноженную на c ?

51. Пусть квадратные матрицы A , B , C одного и того же порядка обратимы. Найдите матрицу, обратную к произ-

ведению ABC 1 .

52.Докажите, что матрицы A E и A2 E A невырожденные и взаимообратные, если A3 O .

53.Пусть A - квадратная матрица и A2 A E O . До-

кажите, что матрица A - невырожденная и найдите A 1 .

54. В определителе n -го порядка каждый элемент заменили на его алгебраическое дополнение. Чему равен полу-

ченный определитель?
	РАНГ МАТРИЦЫ. ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ
							ВЕКТОРОВ
		55. Вычислите ранг матрицы по определению:
		1	0	0	0 5		3 5 7				4 3		2 2
1)		0	0	0				1 2 3		;		0 2	1 1
1)		0	0	0	0 0 ;		2)	1 2 3		;	3)	0 2	1 1		.
		2	0	0				1 3 5				0 0	3 3
		2	0	0	0 11			1 3 5				0 0	3 3
		56. Вычислите ранг матрицы методом элементарных
преобразований:
		1	2	3	4				2		1	3 2	4
1)		2	4	6	8			2)		4	2 5 1		7
1)		2	4	6	8	;		2)		4	2 5 1		7	;
		3	6	9	12					2	1 1 8		2
		3	6	9	12					2	1 1 8		2

		0	2	1		5
		3	1	2	4
3)		3	1	2	4			;
		1	1	1		3
		2	3	0
		2	3	0		1
	3		1	3	2			5
		5	3	2	3			4
5)		5	3	2	3			4	;
		1	3	5	0		7
		7	5	1	4
		7	5	1	4			1
		57. Вычислите ранг
параметра :
	1			1	2
1)		2	1		5	;
1)		2	1		5	;
		1	10	6	1
		1	10	6	1

	1		3	5	1
		2	1	3	4
4)						;
	5		1	1	7
	7		7	9	1
	4		3	5	2	3
		8	6	7	4	2

6)		4	3	8	2	7	.
		4	3	1	2	5

		8	6	1	4	6

матрицы при различных значениях

	3		1	1	4
			4	10	1
2)			4	10	1	.
		1	7	17	3
		2	2	4	3
		2	2	4	3

58.Как может измениться ранг матрицы, если приписать

кней: а) одну строку, б) одну строку и один столбец?

59.Может ли ранг матрицы с размерами 5 6 быть ра-

вен 3; 5; 6; 7?

60.Чему равен ранг транспонированной матрицы AT ,

если rang A r ?

61.Опишите все матрицы ранга 1.

62.Показать, что элементарные преобразования не меняют ранга матрицы.

63.Пусть A и B - квадратные матрицы порядка n . До-

кажите, что: 1) rang (AB) min(rang A, rang B) ;

2)если матрица B обратима, то rang AB rang A ;

3)rang (A B) rang A rang B .

<<< < Предыдущая 12 / 242 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20225.18 Mб23433.pdf
#
15.11.20225.21 Mб33436.pdf
#
15.11.20225.27 Mб23440.pdf
#
15.11.20225.28 Mб63442.pdf
#
15.11.20225.34 Mб23447.pdf
#
15.11.20225.34 Mб43448.pdf
#
15.11.20225.35 Mб13449.pdf
#
15.11.20225.36 Mб03451.pdf
#
15.11.20225.36 Mб43453.pdf
#
15.11.20225.37 Mб43454.pdf
#
15.11.20225.39 Mб43455.pdf