3448

ства многочленов p(x) , степень которых не выше двух и которые удовлетворяют условию p(1) 0

350. Выпишите все двумерные векторы, координатами которых являются элементы поля 2 . Докажите, что это множество является линейным пространством над полем

2 . Укажите все базисы этого пространства.

351. Пусть P - числовое поле. Каким условиям должны удовлетворять скаляры a, b, c P , чтобы система векторов

(1, a, a2 ) , (1, b, b2 ) , (1, c, c2 ) была базисом пространства P3 ? 352. Пусть L - линейное пространство над числовым

полем P . Покажите, что если векторы x, y, z пространства

1)Выясните, является ли данная система векторов линейно зависимой;

2)найдите базис и размерность подпространства L , натянутого на векторы a1 , a2 , a3 , a4 ;

3)выразите все векторы системы через найденный базис;

4)дополните найденный базис подпространства L до базиса пространства P5 ;

5)найдите координаты вектора x (1, 0,1, 0,1) в полученном базисе пространства P5 .

71

матрицу перехода от базиса a к базису b и обратно; найдите координаты вектора a1 в базисе b ; найдите координаты

ных операторов найдите их матрицы в каноническом базисе.

4)Ax (2x1 x2 , x1 x3 , x32 ) ; 5) Ax (x1 x2 x3, x3, x2 ) .

357.Пусть линейные операторы A и B в некотором ба-

Найдите матрицу линейного оператора C A 2B в том же базисе. Запишите явный вид этого оператора.

72

A и B . Найдите матрицу линейного оператора C AB BA и его явный вид в каноническом базисе пространства 3 :

1)Ax (7x1 4x3, 4x2 9x3, 3x1 x2 ) ,

Bx (x2 6x3, 3x1 7x3, x1 x2 x3 ) ;

2)Ax (2x1 x2 5x3, x1 4x2 x3, 3x1 5x2 2x3 ) , Bx (x1 4x2 3x3, 2x1 x3, 3x2 x3 ) ;

3) Ax (3x1 x2 2x3, 3x1 2x2 4x3, 3x1 5x2 x3 ) ,

Bx (2x1 x2 , x1 x2 2x3, x1 2x2 x3 ) ;

4)Ax (3x1 x2 x3, 2x1 x2 2x3, x1 2x2 3x3 ) , Bx (x1 x2 x3, 2x1 x2 x3, x1 x2 ) .

360.Установите, какие из данных операторов имеют обратные и найдите явный вид обратного оператора:

1)Ax (x1 x2 x3, x3, x2 ) ;

2)Ax (x2 2x3, x2 , 2x2 x3 ) ;

3)Ax (x2 x3, 2x1 x3, 3x1 x2 x3 ) ;

4)Ax (x1 2x2 2x3, 2x1 x2 2x3, 2x1 2x2 x3 ) .

361. Пусть в базисе e : e1, e2 , e3, e4 линейный оператор A

73

363. Пусть линейный оператор, действующий в про-

Имеет ли оператор D обратный оператор?

365. Пусть A и B - линейные операторы, действующие

ный оператор);

2)оператора B2 4B 4I в базисе f1, f2 ;

3)оператора A2 B2 в базисе e1, e2 ;

4)оператора AB 1 в базисе f1, f2 .

74

1)(x, y, z) (2x y, z, x y z) ;

2)(x, y, z) (x y 1, 2z, 3 y) ;

3)(x, y, z) (x y, y 2z, x 2 y 2z) ;

4)(x, y, z) (2x 3y z, 2x y z, x 3y z) .

367.Найдите собственные векторы и собственные значения линейного оператора A , действующего в линейном

пространстве 2 над полем:

1) рациональных чисел, 2) вещественных чисел;

368. Найдите собственные значения и собственные векторы данной матрицы:

369. Найдите собственные значения и собственные векторы данной матрицы. Приводима ли матрица к диагональному виду?

370. Приводима ли данная матрица к диагональному виду? В случае положительного ответа укажите базис из собственных векторов и выпишите вид матрицы в этом базисе:

75

371. В некотором базисе линейный оператор A задан

дается диагональной матрицей, и найдите матрицу перехода

кновому базису.

372.Найдите собственные значения и собственные векторы линейных операторов линейного пространства над по-

выходящих из начала координат, на ось Oy . Будет ли инва-

риантным относительно оператора A следующее подпространство: 1) биссектриса первого и третьего координатных углов; 2) ось Ox ; 3) ось Oy ?

b (1, 0, 1) . Будет ли L1 инвариантным относительно оператора A ?

76

375. Найдите в линейном пространстве 3 все подпространства, инвариантные относительно линейного оператора

376. Докажите, что если оператор A - обратим, то опе-

раторы A и A 1 имеют одни и те же собственные векторы, а собственные значения взаимообратны.

377. Пусть x1 и x2 - собственные векторы линейного оператора A . Является ли вектор x1 x2 собственным вектором оператора A ?

378.Пусть x - собственный вектор линейных операто-

ров A и B . Докажите, что x является собственным вектором операторов AB и A B . Найдите соответствующие собственные значения.

379.Докажите, что оператор A I при любом вещественном числе имеет те же собственные векторы, что и оператор A . Найдите связь между собственными значениями этих операторов.

380.Докажите, что линейная оболочка каких-нибудь собственных векторов оператора является инвариантным относительно этого оператора подпространством.

381.Пусть 1 и 2 - не равные друг другу собственные

значения линейного оператора A , а x1 и x2 - соответствующие им собственные векторы. Докажите, что векторы x1 и x2 линейно независимы.

77

ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА

382. Пусть x (x1, x2 ) , y ( y1, y2 ) – произвольные векторы пространства 2 . Выясните, можно ли скалярное произведение в 2 задать следующей формулой:

3)угол между векторами.

384.Найдите длины сторон и внутренние углы треуголь-

ника ABC в пространстве 5 с каноническим скалярным произведением, если A (2, 4, 2, 4, 2) , B (6, 4, 4, 4,6) , C (5,7,5,7, 2) .

385. Докажите, что в пространстве P2 многочленов степени, не превосходящей 2, скалярное произведение элемен-

386.Пусть P2 - евклидово пространство, рассмотренное

взадаче 385.

иугол между ними.

2)Напишите выражение скалярного произведения двух произвольных элементов пространства P2 через их координаты в базисе 1, x, x2 .

387.Докажите, что в вещественном евклидовом пространстве неравенство Коши-Буняковского переходит в равенство тогда и только тогда, когда векторы x и y линейно

зависимы.

78

388. Докажите, что норма элементов евклидова пространства (вещественного или комплексного), введенная по

дова пространства, - фиксированное число. Является ли множество всех векторов x , для которых (x, y) , подпространством данного евклидова пространства?

390.Найдите нормированный вектор, ортогональный векторам a1 (1, 3,1, 2) , a2 ( 2,1,1, 2) , a3 (2,1,0,1) .

391.Применяя процесс ортогонализации, постройте ортогональный базис линейной оболочки данной системы векторов:

392. Постройте ортонормированный базис линейной оболочки данной системы векторов:

1)a1 (2,1,3, 1) , a2 (7, 4,3, 3) , a3 (1,1, 6,0) , a4 (5, 7, 7,8) ;

2)a1 (1, 2,1, 3) , a2 (4,1,1,1) , a3 (3,1,1,0) , a4 (2, 2,1, 4) .

79

393. Пусть подпространство A является линейной оболочкой векторов a1 (1, 0,1, 1, 2) , a2 (1, 0,1, 1, 2) ,

a3 (1,0,3,0,0) , a4 (0, 0, 2,1, 6) . Требуется:

1)построить ортонормированный базис подпространства A ;

2)дополнить этот базис до ортонормированного базиса всего евклидова пространства.

394.Дополните до ортогонального базиса данную си-

395.Найдите базис ортогонального дополнения L подпространства L a1 , a2 , a3 , если:

1)a1 ( 2,1, 0, 0) , a2 ( 1, 0, 1,1) , a3 ( 3,1, 1,1) ;

2)a1 (1,3, 0, 2) , a2 (3, 7, 1, 2) , a3 (2, 4, 1,0) ;

3)a1 (1, 2, 2,1) , a2 (1,1, 5, 3) , a3 (3, 2,8, 7) ;

4)a1 (1,1, 1, 2) , a2 (5,8, 2, 3) , a3 (3,9,3,8) .

396.Найдите базис ортогонального дополнения L к подпространству решений данной системы линейных однородных уравнений:

397. Подпространство L – это множество решений данной системы уравнений. Найдите систему уравнений, зада-

80