Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

3448

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

5.34 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2419 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

вида a b

множество

действительных

чисел

5 , где

a, b , a2

b2 0, относительно умножения;

10)

множество матриц вида

где

x, y

, относи-

2 y

тельно сложения;

11)

множество чисел вида

где a

относи-

тельно сложения;

12)степени данного действительного числа a ( a 0, 1 ) с целыми показателями относительно умножения;

13)	множество упорядоченных пар (a, b) , где a, b						, a 0,
	относительно		умножения,			определяемого формулой
	(a, b)(c, d ) (ac, ad b) ;
						чисел вида a b
14)	множество	действительных					7 , где
	a, b , a2	b2	0, относительно умножения;
15)	множество квадратных невырожденных матриц второго
	порядка над полем			2	и определителем, равным 1, от-

носительно умножения;

16)множество матриц с целыми элементами и определителем, равным 1, относительно умножения;

17)множество целых чисел, кратных данному натуральному числу n , относительно сложения;

18)	множество				всех	невырожденных			матриц	вида
	a11		a12	a13
		0	a	a	, где	a	, относительно умножения;
			22	23		ij
		0	0	a
				33
19)	множество чисел вида						a	, где a	, k 0 ,	относи-
19)	множество чисел вида							, где a	, k 0 ,	относи-
							5k

тельно сложения;

181

20)множество матриц n -го порядка с целыми элементами и определителем, равным 1, относительно умножения.

ЗАДАЧА 72. Докажите, что данное множество матриц образует группу относительно умножения. Покажите, что эта группа изоморфна группе подстановок

{e, (1 2), (3 4), (1 2)(3 4)} .

1)	1		0	,

		0	1

2)	1		0	,

		0	1

3)	1		0	,

		0	1

4)	1		0	,

		0	1

5)	1		0	,

		0	1

6)	1		0	,

		0	1

7)	1		0	,

		0	1

8)	1		0	,

		0	1

9)	1		0	,

		0	1

3	2					3			2		1			0
4			,						,							;
4	3					4			3			0		1
7	2			,		7			2		,	1		0			;
24	7			,							,						;
24	7						24		7				0	1
5	2			,		5			2		,	1		0			;
12	5			,							,						;
12	5						12		5				0	1
3	2		3					2		1 0
4		,							,					;
4	3		4					3			0 1
5	2		,			5 2				,	1			0		;
12			,							,						;
12	5			12					5			0		1
9	2			,		9			2		,	1		0			;
40	9			,							,						;
40	9						40		9				0	1
7	2					7 2					1			0
24			,						,							;
24	7					24			7			0		1
11		2					11			2			1		0
60					,						,							;
60	11							60		11				0	1
27		2						27		2			1			0
364		27			,								,						;
364		27						364		27			0			1

182

10)	1		0	,

		0	1

11)	1		0	,

		0	1

12)	1		0	,

		0	1

13)	1		0	,

		0	1

14)	1		0	,

		0	1

15)	1		0	,

		0	1

16)	1		0	,

		0	1

17)	1		0	,

		0	1

18)	1		0	,

		0	1

19)	1		0	,

		0	1

20)	1		0	,

		0	1

13		2		,	13		2		,	1				0		;
	84			,					,							;
	84	13			84		13				0			1
11		2	,		11	2		,		1				0
	60		,					,							;
	60	11			60	11				0			1
	15	2			15		2				1				0
	112	15			,					,							;
	112	15				112	15					0		1
13		2	,		13	2		,		1				0
	84		,					,							;
	84	13			84	13				0			1

	17	2		,	17
	144	17		,
	144	17			144
15		2		15
	112	,
	112	15		112
	19	2		,	19
	180	19		,
	180	19			180
	21	2		,	21
	220			,
	220	21			220
19		2		19
	180	,
	180	19		180
	25	2		,	25
	312	25		,
	312	25			312
23		2	,	23
	264		,
	264	23			264

2		,	1		0	;
		,				;
17				0	1
2	,		1		0
	,				;
15			0		1
2		,	1		0	;
		,				;
19				0	1
2			1		0
,					;
21				0	1
2			1		0
,					;
19				0	1
2		,	1		0	;
		,				;
25				0	1
2			1		0
,					.
23				0	1

183

ЗАДАЧА 73. Найдите порядок данного элемента в группе

GL4 ( ) :

	1		0	1 i	0
		0	1	0	0
1)		0	1	0	0	;
		0	0	i	0

		0	1 i	0	i

	1			0
		0		1
3)		0		1
		0		0
		0		3 3i
		0		3 3i
	1			0
		0		1
5)		0		1
		0		0
		0		3 3i
		0		3 3i
	1			0
		0		1
7)		0		1
		0		0
		0		5 5i
		0		5 5i
	1			0
		0		1
9)		0		1
		0		0
		0		3 3i
		0		3 3i
		1		0
			0	1
11)			0	1
			0	0
			0	5 5i
			0	5 5i
		1		0
			0	1
13)			0	1
			0	0
			0	2 2i
			0	2 2i

3 3i		0
0		0
0		0		;
i		0
0	i
0	i
1 i	0
0	0
0	0		;
i	0

0	i
1 i	0
0	0
0	0		;
i	0

0	i
2 2i		0
0		0
0		0		;
i		0

0		i
2 2i			0
0			0
0			0		;
i			0

0		i
3 3i			0
0			0
0			0		;
i			0

0		i

	1			0	1 i	0
		0		1	0	0
2)		0		1	0	0		;
		0		0	i	0

		0		2 2i	0	i
	1			0	5 5i		0
		0		1	0		0
4)		0		1	0		0		;
		0		0	i		0
		0		5 5i	0	i
		0		5 5i	0	i
	1			0	1 i	0
		0		1	0	0
6)		0		1	0	0		;
		0		0	i	0

		0		4 4i	0	i
	1			0 6 6i		0
		0		1	0	0
8)		0		1	0	0		;
		0		0	i	0

		0		1 i	0	i
		1		0	2 2i			0
			0	1	0			0
10)			0	1	0			0		;
			0	0	i			0

			0	4 4i	0		i
		1		0	3 3i	0
			0	1	0	0
12)			0	1	0	0			;
			0	0	i	0
			0	1 i	0	i
			0	1 i	0	i
		1		0	3 3i			0
			0	1	0			0
14)			0	1	0			0		;
			0	0	i			0

			0	4 4i	0		i

184

	1		0	3 3i	0			1		0	4 4i	0
		0	1	0	0				0	1	0	0
15)		0	1	0	0	;	16)		0	1	0	0		;
		0	0	i	0				0	0	i	0

		0	5 5i	0	i				0	3 3i	0	i
	1		0	4 4i	0			1		0	6 6i	0
		0	1	0	0				0	1	0	0
17)		0	1	0	0	;	18)		0	1	0	0		;
		0	0	i	0				0	0	i	0

		0	5 5i	0	i				0	6 6i	0	i
	1		0	2 2i	0			1		0	3 3i	0
		0	1	0	0				0	1	0	0
19)		0	1	0	0	;	20)		0	1	0	0	.
		0	0	i	0				0	0	i	0

		0	6 6i	0	i				0	6 6i	0	i

ЗАДАЧА 74. Пусть G a - циклическая группа данного порядка k . Постройте все левые смежные классы группы G по под-

группе H am		. Найдите индекс подгруппы H в группе G .
1)	k 36 , m 3 ;	2)	k 15 , m 3 ;	3)	k 18 , m 3 ;
4)	k 21, m 3 ;	5)	k 24 , m 3 ;	6)	k 27 , m 3 ;
7)	k 30 , m 3 ;	8)	k 32 , m 4 ;	9)	k 14 , m 2 ;

10)	k 16 , m 2 ;	11)	k 18 ,	m 2 ;	12)	k 20 , m 2 ;
13)	k 22 , m 2 ;	14)	k 24 ,	m 2 ;	15)	k 26 , m 2 ;
16)	k 28 , m 2 ;	17)	k 30 ,	m 2 ;	18)	k 20 , m 4 ;
19)	k 24 , m 4 ;	20) k 28 , m 4 .

ЗАДАЧА 75. Найдите с точностью до изоморфизма все абелевы группы данного порядка k :

1)	k 75 ;	2)	k 96 ;	3)	k 100 ;	4)	k 126 ;
5)	k 88 ;	6)	k 90 ;	7)	k 75 ;	8)	k 225 ;

185

9) k 64 ;		10)	k 72 ;	11)	k 180 ;	12)	k 242 ;
13)	k 56 ;	14)	k 48 ;	15)	k 108 ;	16)	k 135 ;
17)	k 78 ;	18)	k 36 ;	19)	k 196 ;	20)	k 189 .

ЗАДАЧА 76. Выясните, изоморфны ли данные группы

	m n	и p	q :
1)	m 18,	n 9,	p 6,	q 27;
2)	m 16,	n 4,	p 8,	q 8;
3)	m 24,	n 4,	p 12,	q 8;
4)	m 48,	n 8,	p 12,	q 32;
5)	m 20,	n 4,	p 8,	q 10;
6)	m 24,	n 6,	p 16,	q 9;
7)	m 28,	n 4,	p 14,	q 8;
8)	m 32,	n 8,	p 16,	q 16;
9)	m 36,	n 9,	p 81,	q 4;

10)	m 30,	n 15,	p 45,	q 10;
11)	m 12,	n 18,	p 6,	q 36;
12)	m 60,	n 10,	p 30,	q 20;
13)	m 6,	n 100,	p 60,	q 10;
14)	m 12,	n 18,	p 9,	q 24;
15)	m 36,	n 10,	p 8,	q 45;
16)	m 40,	n 4,	p 16,	q 10;
17)	m 9,	n 24,	p 6, q 36;
18)	m 30,	n 20,	p 6,	q 100;
19)	m 36,	n 9,	p 27,	q 12;
20)	m 24,	n 32,	p 48,	q 16.

186

ЗАДАЧА 77. Выясните, является ли данное множество подгруппой аддитивной группы, подкольцом или идеалом указанного кольца:

1)	множество n	чисел, кратных данному числу						n 1 , в
	кольце целых чисел;

2)	множество {a b		3; a, b 2 } в кольце {a b				3; a, b } ;
3)	множество M 0, 2, 4 в кольце вычетов						6 ;
4)	множество {a bi; a, b 3				} в кольце {a bi; a, b			};
5)				x	3x	в кольце квадрат-
5)	множество матриц				; x, y	в кольце квадрат-
				y	3y
	ных матриц второго порядка над полем					;

6)множество многочленов с четными свободными членами в кольце [x] многочленов с целыми коэффициентами;

a	a	; a	a	b		;
7) множество матриц		; a	в кольце	; a,b		;
a	a		b	a
a	a	; a	a	a	; a,b	;
8) множество матриц		; a	в кольце		; a,b	;
a	a		b	b

9) множество матриц	a	0	; a	в кольце квадратных
9) множество матриц			; a	в кольце квадратных
	0	0
матриц второго порядка над полем					;
10) множество матриц	a	0	; a, b		в кольце квадратных
10) множество матриц			; a, b		в кольце квадратных
	0	b
матриц второго порядка над полем					;
11) множество матриц	a	b			в кольце квадратных
11) множество матриц		; a, b			в кольце квадратных
	0	0
матриц второго порядка над полем					;

187

12) множество матриц	a	0 ; a, b	в кольце квадрат-


	b	0
ных матриц второго порядка над полем			;
13) множество матриц	a	2a ; a, b		в кольце квад-


	b	2b
ратных матриц второго порядка над полем				;
14) множество M 0,	3 в кольце вычетов			6 ;

15) множество всех матриц с нулевым последним столбцом в кольце Mn (P) всех квадратных матриц данного порядка n 1 над полем P ;

16) множество всех матриц с нулевой последней строкой в кольце Mn (P) всех квадратных матриц порядка n 1 над полем P ;

17) множество M многочленов с четными старшими коэффициентами в кольце [x] многочленов с целыми коэффициентами;

18)множество [x] многочленов с целыми коэффициентами в кольце [x] многочленов с рациональными коэффициентами;

19)множество всех матриц, последние r столбцов которых нулевые, 1 r n , в кольце Mn (P) всех квадратных мат-

риц данного порядка n 1 над полем P ;

20) множество всех матриц, последние r строк которых нулевые, 1 r n , в кольце Mn (P) всех квадратных матриц данного порядка n 1 над полем P .

188

ЗАДАЧА 78. Выясните, является ли данное отображение f гомоморфизмом указанных колец:

1) f : M2 ( ) ,	a	b	a ;
1) f : M2 ( ) ,	f		a ;
	c	d

2)	f :	a	b ; a, b


		b	a
3)	f :	a	b ; a, b


		b	a
4)	f :	a	a ; a, b


		b	b
5)	f :	a	a ; a, b


		b	b
6)	f :	a	0 ; a, b


		0	b
7)	f :	a	0 ; a, b


		0	b
8)	f :	a	0 ; a, b


		0	b

,		a	b	a b ;
,		f		a b ;
		b	a
,		a	b	a b ;
,		f		a b ;
		b	a
,		a	a	a b ;
,		f		a b ;
		b	b
,		a	a	a b ;
,		f		a b ;
		b	b
	,	a	0	a ;
	,	f		a ;
		0	b
	,	a	0	b ;
	,	f		b ;
		0	b
,		a	0	a b ;
,		f		a b ;
		0	b

9) f : [ 2] ,

f (a b

2) a ;

10)

f :

[

f (a b

2) b ;

11)

f :

[

3] , f (a b 2) a b 3 ;

189

12)

f :

b ; a, b

[

2], f a

b a b

;

M2 (

13)

f :

) ,

f (a)

;

14)

f :

[ 2]

[

2] , f (a b

2) a b 2 ;

M2 (

15)

f :

) ,

f (a)

;

a 16) f :

b	; a, b	,	a	b	a b ;
	; a, b	,	f		a b ;
b			a	b

17) f : M2 ( ) ,	a	b
17) f : M2 ( ) ,	f (a bi)		;
	b	a


18)	f :	2	,	f (a) 2a ;
19)	f :		,	f (a bi) a ;

20)	f :	[ 3]		[ 5] , f (a b	3) a b 5 .

190

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2419 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20225.18 Mб23433.pdf
#
15.11.20225.21 Mб33436.pdf
#
15.11.20225.27 Mб23440.pdf
#
15.11.20225.28 Mб63442.pdf
#
15.11.20225.34 Mб23447.pdf
#
15.11.20225.34 Mб43448.pdf
#
15.11.20225.35 Mб13449.pdf
#
15.11.20225.36 Mб03451.pdf
#
15.11.20225.36 Mб43453.pdf
#
15.11.20225.37 Mб43454.pdf
#
15.11.20225.39 Mб43455.pdf

1)	1		0	,

		0	1

2)	1		0	,

		0	1

3)	1		0	,

		0	1

4)	1		0	,

		0	1

5)	1		0	,

		0	1

6)	1		0	,

		0	1

7)	1		0	,

		0	1

8)	1		0	,

		0	1

9)	1		0	,

		0	1

3	2					3			2		1			0
4			,						,							;
4	3					4			3			0		1
7	2			,		7			2		,	1		0			;
24	7			,							,						;
24	7						24		7				0	1
5	2			,		5			2		,	1		0			;
12	5			,							,						;
12	5						12		5				0	1
3	2		3					2		1 0
4		,							,					;
4	3		4					3			0 1
5	2		,			5 2				,	1			0		;
12			,							,						;
12	5			12					5			0		1
9	2			,		9			2		,	1		0			;
40	9			,							,						;
40	9						40		9				0	1
7	2					7 2					1			0
24			,						,							;
24	7					24			7			0		1
11		2					11			2			1		0
60					,						,							;
60	11							60		11				0	1
27		2						27		2			1			0
364		27			,								,						;
364		27						364		27			0			1

10)	1		0	,

		0	1

11)	1		0	,

		0	1

12)	1		0	,

		0	1

13)	1		0	,

		0	1

14)	1		0	,

		0	1

15)	1		0	,

		0	1

16)	1		0	,

		0	1

17)	1		0	,

		0	1

18)	1		0	,

		0	1

19)	1		0	,

		0	1

20)	1		0	,

		0	1

13		2		,	13		2		,	1				0		;
	84			,					,							;
	84	13			84		13				0			1
11		2	,		11	2		,		1				0
	60		,					,							;
	60	11			60	11				0			1
	15	2			15		2				1				0
	112	15			,					,							;
	112	15				112	15					0		1
13		2	,		13	2		,		1				0
	84		,					,							;
	84	13			84	13				0			1

	17	2		,	17
	144	17		,
	144	17			144
15		2		15
	112	,
	112	15		112
	19	2		,	19
	180	19		,
	180	19			180
	21	2		,	21
	220			,
	220	21			220
19		2		19
	180	,
	180	19		180
	25	2		,	25
	312	25		,
	312	25			312
23		2	,	23
	264		,
	264	23			264

2		,	1		0	;
		,				;
17				0	1
2	,		1		0
	,				;
15			0		1
2		,	1		0	;
		,				;
19				0	1
2			1		0
,					;
21				0	1
2			1		0
,					;
19				0	1
2		,	1		0	;
		,				;
25				0	1
2			1		0
,					.
23				0	1

1)	1		0	,

		0	1

2)	1		0	,

		0	1

3)	1		0	,

		0	1

4)	1		0	,

		0	1

5)	1		0	,

		0	1

6)	1		0	,

		0	1

7)	1		0	,

		0	1

8)	1		0	,

		0	1

9)	1		0	,

		0	1

3	2					3			2		1			0
4			,						,							;
4	3					4			3			0		1
7	2			,		7			2		,	1		0			;
24	7			,							,						;
24	7						24		7				0	1
5	2			,		5			2		,	1		0			;
12	5			,							,						;
12	5						12		5				0	1
3	2		3					2		1 0
4		,							,					;
4	3		4					3			0 1
5	2		,			5 2				,	1			0		;
12			,							,						;
12	5			12					5			0		1
9	2			,		9			2		,	1		0			;
40	9			,							,						;
40	9						40		9				0	1
7	2					7 2					1			0
24			,						,							;
24	7					24			7			0		1
11		2					11			2			1		0
60					,						,							;
60	11							60		11				0	1
27		2						27		2			1			0
364		27			,								,						;
364		27						364		27			0			1

10)	1		0	,

		0	1

11)	1		0	,

		0	1

12)	1		0	,

		0	1

13)	1		0	,

		0	1

14)	1		0	,

		0	1

15)	1		0	,

		0	1

16)	1		0	,

		0	1

17)	1		0	,

		0	1

18)	1		0	,

		0	1

19)	1		0	,

		0	1

20)	1		0	,

		0	1

13		2		,	13		2		,	1				0		;
	84			,					,							;
	84	13			84		13				0			1
11		2	,		11	2		,		1				0
	60		,					,							;
	60	11			60	11				0			1
	15	2			15		2				1				0
	112	15			,					,							;
	112	15				112	15					0		1
13		2	,		13	2		,		1				0
	84		,					,							;
	84	13			84	13				0			1

	17	2		,	17
	144	17		,
	144	17			144
15		2		15
	112	,
	112	15		112
	19	2		,	19
	180	19		,
	180	19			180
	21	2		,	21
	220			,
	220	21			220
19		2		19
	180	,
	180	19		180
	25	2		,	25
	312	25		,
	312	25			312
23		2	,	23
	264		,
	264	23			264

2		,	1		0	;
		,				;
17				0	1
2	,		1		0
	,				;
15			0		1
2		,	1		0	;
		,				;
19				0	1
2			1		0
,					;
21				0	1
2			1		0
,					;
19				0	1
2		,	1		0	;
		,				;
25				0	1
2			1		0
,					.
23				0	1

1)	1		0	,

		0	1

2)	1		0	,

		0	1

3)	1		0	,

		0	1

4)	1		0	,

		0	1

5)	1		0	,

		0	1

6)	1		0	,

		0	1

7)	1		0	,

		0	1

8)	1		0	,

		0	1

9)	1		0	,

		0	1

3	2					3			2		1			0
4			,						,							;
4	3					4			3			0		1
7	2			,		7			2		,	1		0			;
24	7			,							,						;
24	7						24		7				0	1
5	2			,		5			2		,	1		0			;
12	5			,							,						;
12	5						12		5				0	1
3	2		3					2		1 0
4		,							,					;
4	3		4					3			0 1
5	2		,			5 2				,	1			0		;
12			,							,						;
12	5			12					5			0		1
9	2			,		9			2		,	1		0			;
40	9			,							,						;
40	9						40		9				0	1
7	2					7 2					1			0
24			,						,							;
24	7					24			7			0		1
11		2					11			2			1		0
60					,						,							;
60	11							60		11				0	1
27		2						27		2			1			0
364		27			,								,						;
364		27						364		27			0			1

10)	1		0	,

		0	1

11)	1		0	,

		0	1

12)	1		0	,

		0	1

13)	1		0	,

		0	1

14)	1		0	,

		0	1

15)	1		0	,

		0	1

16)	1		0	,

		0	1

17)	1		0	,

		0	1

18)	1		0	,

		0	1

19)	1		0	,

		0	1

20)	1		0	,

		0	1

13		2		,	13		2		,	1				0		;
	84			,					,							;
	84	13			84		13				0			1
11		2	,		11	2		,		1				0
	60		,					,							;
	60	11			60	11				0			1
	15	2			15		2				1				0
	112	15			,					,							;
	112	15				112	15					0		1
13		2	,		13	2		,		1				0
	84		,					,							;
	84	13			84	13				0			1

	17	2		,	17
	144	17		,
	144	17			144
15		2		15
	112	,
	112	15		112
	19	2		,	19
	180	19		,
	180	19			180
	21	2		,	21
	220			,
	220	21			220
19		2		19
	180	,
	180	19		180
	25	2		,	25
	312	25		,
	312	25			312
23		2	,	23
	264		,
	264	23			264

2		,	1		0	;
		,				;
17				0	1
2	,		1		0
	,				;
15			0		1
2		,	1		0	;
		,				;
19				0	1
2			1		0
,					;
21				0	1
2			1		0
,					;
19				0	1
2		,	1		0	;
		,				;
25				0	1
2			1		0
,					.
23				0	1