3448

413.A* 1 1 ; A* не является эрмитовым оператором. f i 2 i

414.1) Да; 2) нет; 3) да; 4) нет; 5) да. Указание: проверить равенство AT A .

415.При k 1 .

424.1) Положительно определена; 2) отрицательно определена; 3) общего вида; 6) общего вида; 7) положительно определена.

425.1), 2), 4) таких нет; 3) 1/ 2 1 ; 5) 0 .

426.1) Таких нет; 2) 1 ; 3) | | 4 ; 4) 5 .

231

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

AT - матрица, транспонированная к матрице A ;

A - взаимная (присоединенная) матрица для матрицы A ;

GLn (P) - множество невырожденных матриц n -го порядка

над полем P ;

{1, 2, 3,...} - множество натуральных чисел;

0{0,1, 2,3,...} - множество целых неотрицательных чисел;

{0, 1, 2, 3,...} - множество целых чисел;

-множество рациональных чисел, т.е. чисел, представи-

-множество действительных чисел;

-множество комплексных чисел;

m - множество всех чисел вида mk , где m - фиксированное натуральное число, k - любое целое число;

a b - число a делится на число b ;

НОД (a, b) - наибольший общий делитель чисел a и b ; НОК (a, b) - наименьшее общее кратное целых чисел a и b ; rm (a) - остаток от деления числа a на число m ;

a b (mod m) - целые числа a и b сравнимы по модулю m , m , если rm (a) rm (b) , или (a b) m ;

m - кольцо классов вычетов по модулю m ; m - кольцо вычетов по модулю m ;

232

[a]m или a - класс вычетов по модулю m , содержащий чис-

ло a ;

K[x] - кольцо многочленов от переменного x с коэффициентами из кольца K ;

P[x](n) - множество всех многочленов степеней, не превосходящих n , над полем P ;

K * - множество всех обратимых элементов, принадлежащих множеству K ;

ord a - порядок элемента a данной группы G ;

H G - множество H является подгруппой группы G ;

H G - подгруппа H является нормальным делителем группы G ;

GF (q) - конечное поле, состоящее из q элементов (поле Галуа);

LP - линейное пространство над полем P ; dim L - размерность пространства L ;

a1, a2 ,..., an - линейная оболочка (т.е. множество всех линейных комбинаций) векторов a1, a2 ,..., an ;

L - ортогональное дополнение к подпространству L .

233

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Данное пособие дополняет учебники [1] (Глухов М.М., Елизаров В.П., Нечаев А.А. Алгебра) и [2] (Глухов М.М. Алгебра и геометрия), а также комплекс учебных пособий, изданных ранее авторами в Воронежском государственном техническом университете. Надеемся, что настоящее пособие будет способствовать качественному усвоению теоретического материала и приобретению практических умений и навыков по всем темам курсов «Алгебра» и «Алгебра и геометрия».

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Глухов, М. М. Алгебра [Текст] : учебник. В 2 т. / М. М. Глухов, В. П. Елизаров, А. А. Нечаев. – 2-е изд., испр.

идоп. – СПб. : Лань, 2015. – 608 с. – ISBN 978-5-8114-1961-6.

2.Глухов, М. М. Алгебра и геометрия [Текст] : учеб. пособие / М. М. Глухов. – М. : Гелиос АРВ, 2012. – 392 с. –

ISBN 978-5-85438-203-8.

3.Проскуряков, И. В. Сборник задач по линейной алгебре [Текст] : учеб. пособие / И. В. Проскуряков. – 13-е изд.,

стер. – СПб. : Лань, 2010. – 480 с. – ISBN 978-5-8114-0707-1.

4.Сборник задач по алгебре : учебник для вузов [Текст] / В. А. Артамонов и др.; под ред. А. И. Кострикина. – 3-е изд., испр. и доп. – М. : Физматлит, 2001. – 464 с. – ISBN ISBN 5-9221-0020-3.

5.Фаддев, Д. К. Задачи по высшей алгебре [Текст] : учеб. пособие / Д. К. Фаддев, И. С. Соминский. – 12-е изд.,

стер. – СПб. : Лань, 1998. – 288 с. – ISBN 5-8114-0113-2.

6.Бутузов, В. Ф. Линейная алгебра в вопросах и задачах [Текст] : учеб. пособие / В. Ф. Бутузов, Н. Ч. Крутицкая, А. А. Шишкин; под ред. В. Ф. Бутузова. – 3-е изд. – СПб. :

Лань, 2008. – 256 с. – ISBN 978-5-8114-0846-7.

234

7.Кузнецов, Л. А. Сборник заданий по высшей математике. Типовые расчёты [Текст] : учеб. пособие / Л. А. Кузнецов. – 13-е изд., испр. – СПб. : Лань, 2015. – 240 с. – ISBN 978-5-8114-0574-9.

8.Рябушко, А. П. Индивидуальные задания по высшей математике [Текст] : учеб. пособие. В 4 ч. Ч. 1. Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Дифференциальное исчисление функций одной переменной / А. П. Рябушко и др. ; под общ. ред. А. П. Рябушко. – 6-е изд. –

Минск : Вышэйш. шк., 2011. – 304 с. – ISBN 978-985-06- 1999-0; 978-985-06-2000-1.

9.Баранова, Е. С. Практическое пособие по высшей математике. Типовые расчеты [Текст] : учеб. пособие / Е. С. Баранова, Н. В. Васильева, В. П. Федотов. – 2-е изд. – СПб.:

Питер, 2012. – 400 с. – ISBN 978-5-496-00012-3.

10.Ковалевская, М. Е. Семестровые задания по алгебре для студентов 2 курса математического факультета [Текст] : учеб.-метод. пособие / М. Е. Ковалевская. – Кемерово: ГОУ ВПО «Кемеровский государственный универси-

тет», 2006. – 32 с.

235

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение …………………………………………..……..... 3

Часть 1. Задания к практическим занятиям ……….… 5

Комплексные числа ……………………………………. 34 Кольцо целых чисел. Кольца классов вычетов ……..... 38 Кольцо многочленов …………………………………... 45 Группа подстановок ……………………………………. 53 Основы теории групп …………………………….…… 55 Кольца и идеалы. Поля ………………………………. 62 Линейные пространства …………………………….... 65 Линейные операторы ….………………………….….. 72 Евклидовы пространства …………………………….. 78 Квадратичные формы ………………………………… 86

Часть 2. Задания к типовым расчетам ………………... 89

Правила оформления типовых расчетов ………..……. 89 Векторная алгебра и аналитическая геометрия

(задачи 1-20) ……………………………………………. 90

Определители и матрицы (задачи 21-33) ………..…… 112 Системы линейных уравнений (задачи 34-37) ……..… 134 Системы линейных неравенств (задачи 38-39) …...…. 143

236

237