3448

64. Выясните, являются ли данные системы векторов линейно зависимыми или линейно независимыми. Для каждой из них укажите какую-нибудь максимальную линейно независимую подсистему:

5)(4, 5, 2, 6) , (2, 2,1, 3) , (6, 3, 3, 9) , (4, 1, 5, 6) ;

6)(1, 0, 0, 2, 5) , (0,1, 0, 3, 4) , (0, 0,1, 4, 7) , (2, 3, 4,11,12) .

65.Найдите все значения , при которых вектор b линейно выражается через векторы ai , если:

66. Пусть ранг m n -матрицы A равен r . Являются ли столбцы матрицы A линейно зависимыми, если: а) r n ;

б) r n ?

67.Может ли ранг матрицы быть равен r , если: а) какие-то r ее столбцов линейно зависимы;

б) любые r столбцов матрицы линейно зависимы; в) какие-то r 1 столбцов линейно независимы?

68.Укажите верные утверждения. Определитель матрицы отличен от нуля, если:

1)строки матрицы линейно зависимы;

2)столбцы матрицы линейно зависимы;

3)ранг матрицы равен порядку матрицы;

4)ранг матрицы меньше порядка матрицы.

69.Верно ли, что если a , b , c - линейно независимые

векторы, то этим же свойством обладают векторы a b , b c , c a ?

21

22

74. Решите системы уравнений методом Гаусса:

23

75. Исследуйте систему и найдите общее решение в зависимости от значений параметра :

76. Найдите фундаментальную систему решений и общее решение для следующих однородных систем:

24

зуют ФСР некоторой однородной системы линейных уравнений. Из скольких уравнений может состоять эта система? Приведите пример такой системы, состоящей из трех уравнений.

78. Найдите значения параметра , при которых система имеет ненулевые решения, и найдите эти решения:

25

79. Найдите общее решение неоднородной системы, используя фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы:

80. Приведите примеры систем линейных уравнений, в которых одно из переменных: 1) не может быть включено ни в какую систему свободных неизвестных;

2)входит в любую систему свободных неизвестных;

3)входит в одну систему свободных неизвестных и не входит в какую-либо другую систему свободных неизвестных.

81.Дайте геометрическую интерпретацию для системы

трех линейных уравнений с тремя неизвестными над и множества ее решений при всех возможных значениях рангов основной и расширенной матриц.

- решения этой же системы уравнений. При каких условиях на

любых решений X1, X2 , , Xk неоднородной системы линейных уравнений снова будет решением этой системы?

26

83.Докажите, что если ранг основной матрицы однородной системы линейных уравнений на единицу меньше числа неизвестных, то любые два решения этой системы пропорциональны.

84.Пусть задана система линейных уравнений, в которой число уравнений на единицу больше числа неизвестных. Докажите, что если эта система совместна, то определитель

еерасширенной матрицы равен нулю.

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ

85. Изобразите геометрически множество решений системы неравенств:

86. Выясните, совместна ли данная система неравенств:

Задание выполните двумя способами: а) геометрически, б) используя критерий совместности.

27

87.Докажите, что данная система неравенств совместна,

инайдите решение, сводя ее к системе линейных уравнений:

88. Исследуйте совместность данной системы неравенств. Если система совместна, то найдите ее решение:

89. Задайте множество точек плоскости, находящихся внутри и на сторонах треугольника с вершинами A( 4, 0) ,

B(1,5) , C(6, 0) , системой линейных неравенств. Решите эту

систему.

90. Решите систему неравенств, сводя ее к системе линейных уравнений. Изобразите геометрически область решений:

x y 3 0

28

ОСНОВНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ: ГРУППЫ, КОЛЬЦА, ПОЛЯ

91. Выясните, какие из следующих операций являются

3)операция сложения (умножения) на множестве натуральных чисел, меньших (больших) данного числа n ;

4)сложение (умножение) матриц на множестве всех невырожденных матриц n -го порядка;

5)сложение векторов на множестве всех векторов плоскости, выходящих из начала координат с концами в первой четверти (в первой и третьей четвертях).

92.Приведите пример бинарной операции, которая: а) ассоциативна, но не коммутативна; б) коммутативна, но не ассоциативна; в) ассоциативная и коммутативная.

93.Выясните, является ли бинарной операцией:

1)умножение рациональных чисел;

2)умножение иррациональных чисел;

3)вычитание натуральных чисел;

4)деление рациональных чисел;

5)деление во множестве рациональных чисел, отличных от нуля.

94.Выясните, какие из следующих операций являются

ных действительных чисел; укажите, какие из бинарных операций коммутативны, ассоциативны:

29

ченных пар действительных чисел определены две операции:

Выясните, являются ли эти операции коммутативными, ассоциативными, лево(право) дистрибутивными одна относительно другой.

97.Сколько различных бинарных операций можно определить на множестве из n элементов? Сколько из них коммутативны?

98.Укажите, какие из следующих числовых множеств образуют аддитивную группу:

матричного умножения. Будет ли эта группа абелевой?

101. Выясните, образует ли группу относительно операции умножения множество матриц вида:

30