3447

Разделяем переменные и интегрируем. Получим (см. таблицу интегралов):

Для того чтобы разрешить последнее равенство относительно u , воспользуемся элементарным приемом:

Таким образом, решением уравнения (2.30) служит парабола (2.33), ось симметрии которой – ось OX , а фокус лежит в начале координат. Ось искомой параболы параллельна пучку световых лучей, а фокус параболы лежит в оптическом фокусе.

Вращая эту параболу вокруг оси OX , найдем искомую зеркальную поверхность – параболоид вращения.

Очевидно, что если источник света поместить в фокусе параболы, то световые лучи после отражения пойдут параллельным пучком.

31

2.3. Дифференциальные уравнения первого порядка, приводящие к однородному

Интегрируемыми в квадратурах будут приводящиеся к однородным (либо непосредственно к уравнениям с разделяющимися переменными) уравнения вида:

1. Уравнение (2.34) будет являться уравнением с разделяющимися переменными в следующих случаях:

32

3.Рассмотрим общий случай приведения уравнения (2.34)

коднородному уравнению. Пусть хотя бы одно из чисел c1, c2

отлично от нуля и не равен нулю определитель

Тогда уравнение (2.34) примет вид:

33

5. Имеется еще один тип дифференциального уравнения 1-го порядка, приводимое к уравнению с разделяющимися переменными – обобщенное однородное уравнение. Это уравнение вида

P(x, y)dx Q(x, y)dy 0 ,

где коэффициентные функции удовлетворяют условиям:

Не останавливаясь на методе интегрирования таких уравнений, отсылаем читателей к пособию (А.М. Самойленко

[7]).

1 02 .

Получаем X x 3, Y y 1. Уравнение для новых

переменных является однородным дифференциальным уравнением вида

Возвращаясь к переменным x, y , имеем:

35

2.4.Линейное уравнение

1.Введем понятие линейного дифференциального уравнения 1-го порядка.

Уравнение вида

уравнение относительно производной, то получим уравнение

и называется однородным. Его левая часть является

36

в котором p0 (x) 1, также называется линейным. Если p0 (x) , p1(x) , q(x) непрерывны в интервале (a,b) , причем p0 (x) не обращается в нуль при всех x (a,b) , то уравнение (2.43), делением обеих частей на p0 (x) , приводится к виду (2.41).

2*. Из сформулированной в §1 теоремы Пикара о достаточном условии существования и единственности решения задачи Коши, вытекает, что в предположении

произвольно.

Это означает, что через любую точку M 0 (x0, y0 ) полосы a x b, y ,

проходит одна и только одна интегральная кривая уравнения

(2.41).

y

Рис.6 Полоса единственности решения линейного уравнения

Отсюда следует, что вся указанная полоса на плоскости XOY заполнена непересекающимися гладкими интегральными

37

кривыми линейного уравнения. При этом каждая интегральная кривая определена во всем интервале (a,b) и представляет собой график частного решения (рис. 6). Интегральные кривые

однородного уравнения (2.42) не могут пересекать ось OX .

Действительно, поскольку y 0 (a x b) является решением

уравнения (2.42), то пересечение интегральной кривой оси OX означало бы нарушение единственности решения уравнения (через точку пересечения проходили бы две интегральные кривые).

3. Рассмотрим построения общего решения однородного уравнения, соответствующего неоднородному линейному уравнению. Записав уравнение (2.42) в симметрическом виде

dy p(x) ydx 0 ,

получаем уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя, имеем:

В формуле (2.44) содержатся все решения однородного уравнения (2.42). Заменим в формуле (2.44) неопределенный интеграл определенным интегралом с фиксированным нижним

38

Если y0 - произвольно, то формула (2.46) является общим решением линейного однородного уравнения (2.42) в форме Коши. Если же y0 - фиксировано, то (2.46) представляет собой

решение уравнения (2.42) с начальными данными x0 , y0 .

Из формулы общего решения (2.46) однородного

Полученная формула дает общее решение уравнения в области:

Пример. Найти решение задачи Коши для линейного однородного уравнения:

39