3447

В результате исключения неизвестной функции y из одного уравнения пришли к следующим уравнениям

дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Его решение (см. гл. 4) ищем

уравнение имеет кратный корень. В этом случае линейно

Следовательно, общее решение первого уравнения

во второе уравнение, получим:

2

Задачи для самостоятельного решения

Решить системы уравнений

170

5.4. Нормальные системы линейных дифференциальных уравнений

В §5.1 дано определение нормальной линейной системы дифференциальных уравнений и приведен вид системы (5.4). В дальнейшем уравнения (5.4) будем записывать в сокращенном виде:

где Y и F n - мерные векторы, A - матрица коэффициентов системы

Y colon(y1, y2 ,...., yn ) , F colon( f1, f2 ,...., f n ) , где символ

“colon” - обозначает матрицу-столбец.

Используя правило умножения матриц и определение равенства матриц легко убедиться в том, что уравнение (5.22) равносильно системе уравнений (5.21).

Если все функции aij (x) и fi (x) в (5.21) непрерывны на

отрезке a x b , то в достаточно малой окрестности каждой точки M 0 (x0 , y1(0) ,..., yn(0) ) , где a x0 b , выполнены

условия теоремы существования и единственности (см. §5.2). Следовательно, через каждую такую точку проходит единственная интегральная кривая системы (5.21). Это вытекает из того, что правые части системы (5.21) непрерывны, а их частные производные по любому y j

171

172

Из этих свойств вытекает:

Основной проблемой при решении неоднородных систем (5.21) является построение решений соответствующей однородной системы (5.23). Ниже будет показано, что интегрирование неоднородной системы сводится к интегрированию однородной. В этом разделе займемся изучением однородной системы линейных дифференциальных

однородной линейной системы уравнений (5.26) является решением этой системы.

этой линейной однородной системы.

При решении однородного линейного дифференциального уравнения n - го порядка мы использовали комплексные решения для построения его действительных решений. Аналогичная ситуация складывается и при решении линейных однородных систем дифференциальных уравнений.

173

Приведенная ниже теорема позволяет отыскать действительные решения системы из известных комплексных

выражения равны между собой тогда и только тогда, когда равны соответственно их вещественные и мнимые части, то

однородной системы (5.23). Основной вопрос заключается в следующем: при каком условии линейная комбинация этих решений с произвольными постоянными коэффициентами c1,..., cn даст общее решение однородной системы?

174

Для ответа на поставленный вопрос введем понятие о линейной независимости систем функций.

Рассмотрим m систем функций:

Эти системы функций называются линейно независимыми в интервале (a,b) , если не существует чисел

1, 2 ,..., m не равных нулю одновременно, при которых для всего интервала (a,b) выполнялись бы соотношения:

Иными словами, система функций (5.28) является линейно независимой, если ни одна строка таблицы (5.28) не является при x (a,b) линейной комбинацией остальных строк этой таблицы. В противном случае системы (5.28) называются линейно зависимыми в (a,b).

В частности, две системы функций y11 , y11 ,..., y1n и y21, y22 ,..., y2n будут линейно независимыми в (a,b) , если не справедливо соотношение вида

175

Из (5.29) видно, что если одна из систем функций в (5.28) состоит из функций, тождественно равных нулю в интервале (a,b) , то эти системы функций линейно зависимы в (a,b) .

Пример. Система функций

Таким образом, если рассматривать элементы строки таблицы (5.28) как составляющие некоторого вектора в n - мерном пространстве (см. формулу (5.30) и ниже), то определение линейной независимости системы функций (5.28) является определением линейной независимости системы m векторов.

Рассмотрим необходимое условие линейной зависимости n систем функций*

Иными словами, рассматриваем необходимое условие

(вронскиан) для системы функций (5.31)

176

Доказательство. Поскольку система функций (5.31) по условию линейно зависима, то по определению линейной зависимости имеем соотношение (5.29)

систему равенств (5.33) как однородную линейную систему алгебраических уравнений относительно 1, 2 ,..., n , видим,

что она имеет ненулевое решение. Но из алгебры известно, что в этом случае определитель этой системы должен быть равным нулю. Определителем этой алгебраической системы уравнений является вронскиан (5.32). Так что W (x) должен

обращаться в нуль во всех точках интервала (a,b) .

Рассмотрим далее важное для теории линейных систем

необходимое и достаточное условие линейной независимости n решений однородной линейной системы n уравнений.

Пусть каждая из систем функций совокупности (5.31),

т.е. все Yk colon(yk1, yk 2 ,..., ykn ) (k 1,2,..., n) , является решением системы линейных однородных дифференциальных уравнений (5.23).

Теорема 5. Если n решений (5.31) однородной системы (5.23) линейно независимые в интервале (a,b) , в котором

определены и непрерывны коэффициенты aij (x) , то их

вронскиан W (x) не обращается в нуль ни в одной точке этого интервала.

177

уравнений (5.23) были линейно независимы в интервале (a,b) ,

необходимо и достаточно, чтобы их вронскиан не обращался в нуль ни в одной точке этого интервала.

Для установления линейной независимости n решений системы (5.23) достаточно убедиться в том, что W (x) отличен

от нуля хотя бы в одной точке (a,b) .

Введем понятие фундаментальной системы решений

линейной однородной системы n дифференциальных уравнений.

Совокупность n решений Yk (x) colon(yk1, yk 2 ,..., yk n) (k 1,2,..., n) однородной системы (5.23), определенных и линейно независимых в интервале (a,b) называется фундаме-

нтальной системой решений в этом интервале.

Из необходимого и достаточного условия линейной независимости n решений однородной линейной системы n дифференциальных уравнений, приведенного выше, следует:

система n решений будет фундаментальной системой решений в интервале (a,b) тогда и только тогда, когда определитель Вронского этих решений не равен нулю хотя бы в одной точке интервала (a,b) .

*Матрица вида

столбцы которой сформированы из координатных функций

матрицей этой системы. Очевидно, что detФ(x) W(x).

Можно показать, что фундаментальная матрица (5.36) является решением матричного дифференциального уравнения

179