3447

1)

Правая часть

имеет

вид

f (x) Pn (x),

где

P (x)

a xn

a xn 1 ...

a

1

x

a

многочлен степени п.

n

0

1

n

n

Тогда

частное

решение

~

можно искать в

виде

y

~

r

,

где Qn (x)

многочлен той же степени, что и

y Qn (x)x

Pn (x) ,

а r

число

корней

характеристического уравнения,

y

2y

y

x

1.

Решение. Общее решение соответствующего однородного

уравнения имеет вид

Y

(C

C

2

x)ex

(см. пример 2). Так как

1

правая часть уравнения

многочлен первой степени и ни один

из

корней характеристического

уравнения

k 2

2k 1 0 не

равен нулю ( k2

k1

1), то частное решение ищем в виде

~

( Ax

B)x

0

Ax

B,

где

А

и

В

неизвестные

y

коэффициенты.

Дифференцируя

дважды

~

Ax

B

и

y

~ ~

и

~

в данное уравнение, найдем

подставляя y, y

y

2A Ax B x 1.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в

обеих частях равенства:

A

1,

2 A

B

1,

находим:

A

1,

B

3.

Итак, частное решение данного уравнения имеет вид

~

x

3, а его общее решение y

(C1

C2 x)e

x

(x

3).

y

2)

Правая часть имеет вид

f (x)

e

x P (x),

где P (x)

n

n

многочлен степени п. Тогда частное решение

~

следует искать

y

в виде

~

Qn (x)x

r

e

x

, где Qn (x)

многочлен той же степени,

y

что и Pn (x) , а r

число корней характеристического уравнения

равных

. Если

0 ,

то

f (x)

Pn (x) , т.

е.

имеет место

случай 1).

Пример 5. Найти общее решение уравнения

y

4 y

3y

xex .

Решение.

Характеристическое

уравнение k 2 4k 3

0

имеет

корни

k1

1,

k2

3. Значит, общее решение

соответствующего

однородного

уравнения

имеет

вид

Y C ex

C

2

e3x .

В

правой

части этого

уравнения

1

~

( Ax

B)xe

x

( Ax

2

Bx)e

x

.

ищем в виде y

Дифференцируя и подставляя в уравнение, получаем

4Ax 2A 2B x .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в

обеих

частях

равенства:

4 A

1 ,

2A

2B

0 ,

находим:

A

1

, B

1

.

Подставляя найденные значения

A и В в

4

4

~

выражение

для

,

получаем

частное

решение

данного

y

уравнения

~

1

2

x

; общее решение имеет вид

y

(x

x)e

4

~

x

3x

1

2

x

y y Y C1e

C2e

(x

x)e

.

4

3) Правая часть имеет вид

f (x)

a cos x

b sin

x, где

a ,

b и

известные числа. Тогда частное решение

~

y надо

искать

в

виде

~

( A cos

x

B sin

x)x

r

,

где

A

и

B

y

неизвестные коэффициенты,

a

r

число корней характери-

стического уравнения, равных i .

Пример

6.

Найти

общее

решение

уравнения

y

y

sin x .

Решение. Характеристическое уравнение k 2

1

0 имеет

корни

k1 i ,

k2

i .

Поэтому

общее

решение

соответствующего

однородного

уравнения

где Q1(x) и Q2 (x)

многочлены степени s,

s

max n, m , а r

число корней характеристического уравнения, равных

i .

Пример 8. Найти общее решение уравнения

y

y

3e2x cos x.

Решение. Здесь характеристическое уравнение

k 2

1

0

имеет

корни

k1

1, k2

1.

Общее

решение однородного

уравнения таково: Y

C ex

C e x. В правой части уравнения

1

2

произведение многочлена нулевой степени, показательной и

тригонометрической функций, так что Pn (x)

3, Pm (x)

0,

s =

0.

Число

i

2

i1

не

является

корнем

характеристического уравнения,

поэтому

r = 0, и частное

решение ищем в виде

~

e

2x

(Acos x

B sin x).

y

Дифференцируя и подставляя в уравнение, получаем

(2A 4B) cos x (2B

4A) sin x

3cos x.

Приравнивая коэффициенты при cos x и sin x , находим

2A

4B

3,

4A 2B 0,

откуда

A

3

,

B

3

.

Таким

образом,

частное

решение

10

5

~

2x

3

3

а общее решение уравнения

y

e

cos x

sin x ,

10

5

~

2x

3

3

x

x

y

y

Y

e

cos x

sin x

C1e

C2e

.

10

5

г)

k

1

i2,

k

2

1

i2,

f (x)

ex (cos2x

3sin 2x);

1

д) k

2

i

1

,

k

2 i

1

,

f (x)

e2x (x3

1) cos

x

x sin

x

.

2

1

2

2

2

2

Решение. а) Имеем:

3,

2 ,

Pn (x) 0,

Pm (x) 8,

s

0 .

Так

как

число

i

3 i2

корень

характеристического уравнения, то r = 1.

Поэтому

~

xe

3x

Acos2x B sin 2x ;

y

б)

имеем:

3,

1,

Pn (x) 0,

Pm (x)

2х, m 1,

s

1.

Число

i

3

i

не

является

корнем

~

e

3x

[( Ax

B) cos x

(Cx D) sin x];

y

в)

имеем:

1,

3 , Pn ( x)

1

x, Pm (x)

0,

n

1,

s 1. Так как

число

i

1 i3 не является корнем

характеристического уравнения, то r = 0. Поэтому

~

e

x

[( Ax

B) cos3x

(Cx

D) sin3x].

y

г) имеем:

1,

2 , Pn (x)

1,

Pm (x)

3,

s

0 .

Число

i

1

i2

корень характеристического уравнения,

~

xe

x

Acos2x

B sin 2x ;

поэтому r = 1. Следовательно, y

д)

имеем:

2,

1

,

P (x)

(x3

1),

P (x)

x,

2

n

m

n 3,

m 1,

s

3 .

Число

i

2 i

1

корень

2

~

2x

3

2

x

3

2

x

y xe

Ax

Bx

Cx D) cos

(Ex

Fx

Gx H ) sin

.

2

2

Теорема 8. Если

~

решение уравнения

y1

~

y

py

qy

f1(x),

(4.15)

решение уравнения

а y2

~

~

y

py

qy

f2 (x),

(4.16)

является решением уравнения

то сумма y1

+ y2

y

py

qy

f1(x) + f2 (x).

(4.17)

Пример 10. Найти общее решение уравнения

y

2y

y

sin x

e

x .

Решение.

Характеристическое уравнение

k 2

2k

1

0

имеет

корни

k1

k2

1,

поэтому

общее

решение

соответствующего однородного уравнения

Y C e x

C

2

xex

e x (C C

2

x).

1

1

Так как правая часть уравнения состоит из суммы двух

функций sin x

и e x , то в соответствии с теоремой 8 частное

решение данного уравнения можно искать в виде

~

~

~

,

y

y1

y2

~

частное решение уравнения y

2y

y

~

где y1

sin x , а y2

частное решение уравнения y

2y

y

e x .

~

. Так как число i

i

Сначала найдем частное решение y1

не является корнем характеристического уравнения

( r

0 ),

то

частное

решение

~

будем

искать

в

виде

y1 ,

~

Asin x

B cos x .

Подставляя

~

~

~

в

уравнение

y1

y1 ,

y1 и

y1

y

2y

y

sin x

и

сравнивая

коэффициенты

при

sin x

и

cos x , получаем

2A

0,2B

1,

откуда

A

0 ,

B

1

и,

2

следовательно,

~

1

cos x .

y1

2

~

Теперь найдем частное решение

. Будем его искать в

y2

виде

~

Ae

x

,

так

как число

1

не

является

корнем

y2

характеристического уравнения.

Подставляя

~

~

и

~

в

y2

, y2

y2

уравнение

y

2y

y e x ,

имeeм

A

1

.

Следовательно,

4

~

1

x

.

y

2

e

4

Таким

образом,

частное

решение

данного

уравнения

имеет вид

~

~

~

1

1

x

а общее решение этого

y

y1

y2

cos x

e

,

2

4

уравнения

~

1

1

x

x

x

y

y

Y

cos x

e

C1e

C2 xe

.

2

4

Задачи для самостоятельного решения

Решить уравнения:

1.

y

5y

4y

0.

Ответ:

y

C e x

C

2

e4x . .

1

2.

y

6y

9y

0.

Ответ:

y

e3x (C1

C2 x).

3.

y

8y

25y

0.

Ответ:

y

e 4x (C cos 3x

C

sin x).

1

2

4.

y

3y

2y

0.

Ответ:

y

C e x

C

2

e2 x .

1

5.

y

4y

4y

0.

Ответ:

y

e2x

C

C

2

x .

1

6.

y

2y

2y

0.

Ответ:

y

ex (C cos x

C

sin x).

1

2

7.

y

4y

3y

0.

Ответ:

y

C e x

C

2

e3x .

1