3447

(1)

(2)

(1)

0

1

1

2

(2)

(2)

0

1

2

(1)

(1)

(2)

0

1

2

2

(2)

(2)

0.

1

2

Следовательно, из искомых постоянных две произвольны,

например,

(2)

C2

(1)

C1, поэтому из этой системы для

2

1

остальных

(2) ,

(1)

будет

(1)

C

C

2

.

Отсюда общее

1

2

2

1

решение исходной системы будет

(2)

C2 .

1

y

C e x C

2

xex

1

z ( C C

2

)e x

C

2

xex .

1

3. Если среди корней характеристического уравнения

(5.62)

есть

комплексное

спряженные

пары

m

m

i m ,

m 1

m

i

m , то

этим

корням

будут

соответствовать частные решения

y(1)

(1) e( m i

m) ,

y(2)

(2)

e( m i m) ,

m

m

m

m

причем

(i) определяются из систем (5.62). Можно показать,

m

что

действительные и

мнимые

части

также являются

( i )

x m

где

(1)

,

(2)

,

(1)

,

(2)

-

действительные

m

m

m

m

коэффициенты,

связанные с

m(1) ,

m(2) .

dy1

7 y1

y2

dx

dy2

2 y1

5 y2 .

dx

7

1

0

или

2

12

37 0,

2

5

корни этого уравнения

1

6

i,

2

6

i.

Подставляя эти корни в (5.62), получим

(1)

1,

(1)

1

i.

1

2

Соответствующее частное решение yij (x)

будет

y(1)

e(

6

i)x ;

y

(1)

(1

i)e(

6

i)x .

1

2

Для

2

6 i , получим соответственно

(2)

1,

(2)

1

i;

1

2

y(2)

e(

6

i) x ;

y

(2)

(1

i)e(

6

i) x .

1

2

y

C e 6x cos x

C

2

e 6x sin x.

1

1

y

2

C e 6x (cos x

sin x) C

2

e 6x (cos x sin x).

1

d n y

a

(x)

d n 1 y

a

(x)

d n 2 y

... a (x)

dy

a

y (5.64)

n 1

n

2

0

dxn

dxn 1

dxn 2

1

dx

эквивалентно линейной,

однородной системе

dy0

y1

dx

dy1

y2

dx

(5.65)

dyn 1

a0 y0 a1 y1 ...

an 1 yn 1.

dx

Будем считать все ak

const.

Характеристическая матрица для (5.65) в этом случае

будет иметь вид

1

0

0

0

1

0

a0

a1

an 1

det( )

n

n

1

... a1

a0

0 .

an 1

Если же вычеркнуть из матрицы первый столбец и

последнюю строку, получим определитель равный

+I или –I.

корень k

кратности

S k ,

то матрица имеет элементарный

делитель

(

k )Sk .

Поэтому

корню

k

будут

соответствовать S k линейно независимых решений вида

(C

0

C x

...

C

Sk 1

x Sk 1 )e k x .

(5.66)

1

y 3y 3y

y

0,

Обозначим y y0 , y y0

y1,

y

y1 y2 , y

y2 .

Тогда

dy0

y1

,

dx

dy1

y2

,

(5.67)

dx

dy2

y0

3y1

3y2 .

dx

1

0

0

1

0,

т.е

1

3

3

2 (3

)

3

1

0

или (

1)3 0 .

Поскольку

корень

1

1

имеет

кратность S 3 , то,

d 2 y

f

1

f

1

dy

f

1

dy

2

f

1

dy

n

1

1

...

.

dx2

x

y1

dx

y2

dx

yn

dx

Используя тот факт, что

dyk

f k ,

найдем

dx

d

2 y

f

f

1

f

1

1

1

f1

...

fn .

(5.69)

dx2

x

y1

yn

можно получить

уравнение n-го

порядка для одной

неизвестной функции.

Пример 5.

Найти

общее решение

dy

z,

dx

dz

y.

dx

Решение.

d 2 y

dz

,

т.е. y

y 0 .

dx

2

dx

k 2

1 0;

k

i,

1,2

y(x)

C eix

C

2

e ix

1

или

y(x) C1(cosx i sin x) C2 (cosx

i sin x), тогда общее

решение можно записать

y(x)

C1 cos x

C2 sin x,

z(x)

C2 cos x

C1 sin x.

Задачи для самостоятельного решения

Решить системы уравнений:

dy

4 y z,

y e3x (C C

x),

dx

2

1.

Ответ:

1

dz

3x

y 2z.

z e

(C1

C2

C2 x).

dx

dy

y 2z,

y C e x

C

e2x ,

2

dx

1

2.

Ответ:

3C2

dz

x

2 x

3y 4z.

z

C1e

e

.

2

dx

dy

2 y

z,

e2x (C cos x

y

C

sin x),

dx

2

3.

Ответ:

1

dz

2t

y

2z.

z

e

(C1 sin x

C2 cos x).

dx

dy

y

2z,

y

C1 cos x

C2 sin x,

dx

4.

Ответ: z

1

dz

(C

C

) cos x

(C

C

) sin x .

2

2

y

z.

2

1

1

dx

dy

z,

C e x

x ,

y

C

e

dx

2

5.

Ответ:

1

dz

x

x

y.

z

C1e

C2e

.

dx

dy

y

2z.

y

2C1 cos x

2C2 sin x,

6.

dx

Ответ:

dz

z

(C1

C2 ) cos x

(C1

C2 ) sin x.

y

z.

dx

dy

y z,

e2x

1

x 2

y C C

x ,

dx

2

7.

Ответ:

1

4

dz

x y z.

z C

e2x

C

1

x 2

x 1.

2

dx

1

4

dy

2 y

z

sin x,

8.

dx

dz

4 y

2z

cos x.

dx

Ответ:

y C1

C2 x 2 sin x,

z

2C1

C2 (2x

1) 3sin x 2 cos x.

uk (x) u1 (x) u2 (x) ... uk (x) ... ,

(6.1)

Определение.

Функции

S1(x)

u1(x) ,

S1(x) u1(x)

u2 (x) ,…, Sn (x)

u1 (x) ...

un (x), называются

частичными

суммами

функционального

ряда

(6.1).

Последовательность функций

(Sn (x))1

S1(x), S2 (x), …,

f1 (x), f2 (x), ...,

fn (x),...( fn (x))1

называется

сходящейся к

функции f (x)

на сегменте

[a,b] , если

при каждом

фиксированном

x из [a,b] последовательность чисел fn (x)

x [a,b] найдется такое число

N(

, x) , зависящее от

и,

вообще говоря, от x , что будет

fn (x) f (x)

при

котором n N ( , x).

y

y

f (x)

Рис. 12

Такую

сходимость

последовательности

функций

называют

'' поточечной '' сходимостью – для каждой точки

x [a,b] N

зависит от

x . Этот факт

обозначают

lim fn (x) f (x) на

[a,b] , или fn (x)

f (x),

n

.

x

Определение.

Последовательность функций

( fn (x))1

называется равномерно сходящейся к функции

f (x) на

сегменте [a,b] ,

если для любого

0 найдется такое число

N( ) , зависящее от

и не зависящее от x ,

что отклонение

fn (x) от f (x)

удовлетворяет

неравенству

fn (x)

f (x)

при каждом n

N(

) и сразу для всех x

из [a,b] .