3447

z11 (x),

z12 (x), z1n (x),

z21 (x),

z22 (x), z2n (x),

zn1 (x),

zn2 (x), znn (x).

n

Решение неоднородной системы yk

ak i(x) yi (x)

fk (x)

i 1

(k 1,2,..., n) будем искать в виде

yk

Ci (x)zik (x) f k (x) (k

1,2,..., n) ,

(5.51)

i

1

n

n

n

(Ci (x)zik (x) Ci (x)zik (x))

ak j (x)

Ci (x)zij (x)

fk (x),

i 1

j 1

i

1

(k 1,2,..., n) .

Изменив порядок суммирования в правой части этого

равенства, получим

n

n

n

(Ci (x)zik (x) Ci (x)zik (x))

Ci (x)

ak j (x)zij (x)

fk (x),

i 1

i 1

j

1

(k 1,2,..., n) .

Запишем последнее равенство в виде

n

n

n

Ci (x)zik (x)

Ci (x) zik (x)

ak j (x)zij (x)

fk (x),

i 1

i 1

j

1

Принимая во внимание, то что

zik (x)

-

i

1

или в развернутом виде

z11 (x)C1 (x)

z12 (x)C2 (x) zn1 (x)Cn (x)

f1 (x),

z21 (x)C2 (x)

z22 (x)C2 (x) zn2 (x)Cn (x)

f 2 (x),

(5.52)

zn1 (x)C1 (x)

zn2 (x)C2 (x) znn (x)Cn (x)

f n (x).

n

Wk i (x)

Ci (x)

fk (x)

(i 1,2,..., n) ,

(5.53)

W (x)

k

1

где W (x) - определитель

Вронского (5.32),

Wk i (x) -

определители разложены по

столбцу

из

свободных

членов

f1 (x) , f 2 (x),...,

f n (x) .

Интегрируя (5.53), находим:

n

x

Wk i (x)

Ci (x)

f k (x)

dx ci

(i

1,2,..., n) .

(5.54)

W (x)

k

1x

0

Подставив эти значения Ci (x)

в формулу (5.51), получаем:

n

n

x

W ji (x)

n

yk (x)

zik (x)

f j (x)

dx

ci zik (x), (k 1,2,..., n). (5.55)

W (x)

i

1

j

1x

i

1

0

dy

z ,

dz

y

1

ln x ,

dx

dx

x2

y C e x

C

2

e x ,

z C e x

C

2

e x .

1

1

Решение. Общее решение неоднородной системы ищем

методом вариации постоянных:

y C (x)e x

C

2

(x)e x , z

C (x)e x

C

2

(x)e x .

(*)

1

1

C (x)e x

C

(x)e x

0 ,

C (x)e x C

(x)e x

1

ln x .

2

2

1

1

x2

Разрешим

полученные

уравнения

относительно

неизвестных

функций

C1 (x) и C2 (x) . Складывая эти

уравнения, а затем вычитая из первого второе, получим:

dC1 (x)

1

e x

1

ln x ,

dC2 (x)

1

e x

1

ln x .

dx

2

x2

dx

2

x2

Отсюда C

(x)

1

e x

1

ln x dx

c

,

1,2

2

x2

1,2

где

c1,2

-

произвольные

постоянные.

Используя

метод

интегрирования по частям

udv

uv

vdu , получим:

e

x

1

dx

u e x , du

e x dx

e x

e

x 1

dx

x2

dv x 2 dx, v

x 1

x

x

u

e

x ,

du

e x dx

e

x

e x ln x

e

x ln xdx

c .

dv

x

1

dx,

v

ln x

x

1

Подставляя

вычисленный

интеграл

в

выражение для

C1 (x) и проделав аналогичную процедуру

с

интегралом,

входящим в C2 (x) , получим:

C (x)

1

e

x

1

ln x c

,

C

(x)

1

e

x

1

ln x c

.

2

2

1

2

x

1

2

x

Найденные функции подставим в выражения (*). То есть,

общее решение системы записывается в виде:

y c e x

c

e x ln x ,

z c e x

c

e x

1

.

2

2

1

1

x

dyk

n

ak i yi fk (x)

(k

1,2,..., n)

(5.56)

dx

i 1

или Y

AY F(x) .

Здесь постоянные

вещественные

коэффициенты ak i

(k,i

1,2,..., n) - элементы матрицы

A ,

Y

colon(y1,..., yn ) ,

F (x)

colon( f1,..., f n ) ,

f k (x) (k

1,2,..., n) -

непрерывные в

dyk

n

ak i yi

(k

1,2,..., n) ,

(5.57)

dx

i 1

или

Y

AY .

(5.58)

Ниже будет показано, что фундаментальная система

решений может быть построена из

элементарных функций,

непрерывно дифференцируемых в интервале (

,

) .

Построение фундаментальной системы решений и

общего решения однородной линейной системы.

Частное решение системы (5.57) будем искать в виде

y

1

e

x ,

y

2

2

e x ,...,

y

n

n

e

x

(5.59)

1

или, что тоже самое, в векторной форме

Y

e

x ,

colon(

1,

2 ,...,

n ) ,

(5.60)

где

1,

2 ,...,

n

и

- некоторые постоянные, причем числа

1,

2 ,...,

n

не

равны

нулю

одновременно

(при

1

2

...

n

0

получили бы нулевое решение,

которое

не может входить в фундаментальную систему решений).

Необходимо найти постоянные

1,

2 , ...,

n и

так,

Подставляя в векторное уравнение (5.58) искомое

решение (5.60) и учитывая Y

e

x , находим

e x

e

x A

,

или

(A E)

,

(5.61)

где

colon(0,0,...,0) ,

E

diag(1,1,...,1) .

an1 1 an2 2 (ann

) n

0.

a11

a12

a1n

( )

A E

a21

a22

a2n

0 . (5.63)

1)

простые действительные корни

i , (i

1,2,...n ) ;

2)

кратные действительные корни

k

кратности

S k ,

при

этом сумма

всех

кратностей, включая

простые

корни

l

m

с

Sm 1,

S j

n, где l - число различных корней;

m

m

ivm ,

m 1

m ivm ,

простые или кратные.

Соответственно этим случаем Y (k )

из (5.59) могут иметь

следующий вид:

1.

Все

i

- действительные и различные.

Тогда фундаментальная система решений может быть

записана следующим образом:

: Y (1)

y(1)

(1)

e 1x ; y(1)

(1)

e 1x ; ; y

(1)

(1) e 1x ,

1

1

1

2

2

n

n

:Y (2)

y(2)

(2)

e

2x ; y(2)

(2)

e

2x ; ; y(2)

(2) e 2x

,

2

1

1

2

2

n

n

.......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......

: Y (n)

y(n)

(n)

e

nx ; y(n)

(n)

e

nx ; ; y(n)

(n) e nx .

n

1

1

2

2

n

n

Здесь

(k ), (i

1, ..., n)

находятся для каждого Y (k ) из

i

(5.62) при соответствующем значении

k

(k

1, ..., n). При

этом общее решение (5.58)

для данного случая имеет вид

y (x)

C

(1)

e

1x

C

2

(2)

e 2x

C

n

(n)

e nx ;

1

1

1

1

1

y

2

(x)

C

(1)

e

1x

C

2

(2)

e 2x

C

n

(n)

e nx ;

1

21

2

2

.......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .

y

n

(x)

C

(1)

e

1x

C

2

(2)

e 2x

C

n

(n)

e nx .

1

n

n

n

dy

y 2z

dx

dz

z

dx

du

2 y z 2u.

dx

dX

1

2

0

x

AX ,

где A

0

1

0

, X

y .

dt

2

1

2

z

1

2

0

( )

0

1

0

0;

(1

)(1

)(2

)

0 .

2

1

2

Корни

этого

уравнения

1

1;

2

1;

3

2

все

Y (1)

1(1)e x ;

2(1)e x ;

3(1)e x

,

Y (2)

1(2)e x ;

2(2)e x ;

3(2)e x

,

Y (3)

1(3)e2x ;

2(3)e2x ;

3(2)e2x .

Найдем

из (5.62)

(1) ,

(i

1, 2, 3) ,

соответствующие

i

корню

1

(1

1 ) 1

2 2

0

(

1

1 )

2

0

2

1

2

(2

1 )

3

0.

M ij

0

2

0

2

1

и ранг этой системы равен двум. Пусть

3

1 ,

тогда 2

0 и

1

.

Поэтому

1

2

Y

(1)

(t)

1

e

x

;

0;

e

x

.

2

Для определения

i2,

(i

1,2,3) получим

(1

2)

1

2

2

0

2

2

0

0 .

(

1

2)

0

2

,

(

2)

0

0

0

2

(2

2 )

0

1

2

3

2

1

3

Так

как

(

2 )

0, положим

2

1,

при

этом

Mij

0

0,

поэтому

2

1

0

3

2

2

и

2

2

3

2

1

3

3

2

следовательно

1

1;

3

1 .

Y (2)

e x ; e x ; e x .

Аналогично

для

нахождения

(3)

, (i

1,...,3)

будет

i

(1

3)

1

2

2

0

1

2

0

(

1

3)

0

0 .

2

,

(

3)

0

3

0

2

(2

3 )

0

1

2

3

2

1

0

Пусть

3

1,

тогда

2

1

0, поэтому

Y (3)

0;

0;

e2x .

y(x)

1

C e x

C

e x ,

2

1

2

z(x)

C2e x ,

u(x)

C e x

C

e

x C

e2x .

1

2

3

: Y (k Sk 1)

(k

Sk

1)

xSk

1e k x;

(k

Sk 1)

xSk 1e

k x; ...;

(k

Sk

1)

xSk 1e k x .

1

2

n

Пример 2.

Найти

общее

решение

системы

дифференциальных

уравнений

dy

2 y

z

d

y

2

1

y

dx

dz

или

z

1

0

z .

y

dx

dx

Решение. Характеристическое уравнение этой системы

будет

(

)

1

0,

то

есть

2

2

1

0

2

1

или

1

2

1.

Запишем фундаментальную систему решений

Y (1)

(1)

ex

;

(1)

ex ;