3447

Уравнение (7.41) является линейным дифференциальным уравнением второго порядка, в правой части которого имеются две функции специального вида. Частное решение неоднородного уравнения (7.41) разыскиваем в виде суммы двух частных решений

Применяя метод неопределенных коэффициентов, находим A, B, C, D . В результате получим частное решение уравнения (7.41)

Первый член в частном решении (7.42) и является причиной неравномерности разложения, на что было указано в предыдущем пункте. Чтобы избежать появление секулярного члена в решении, подберем параметр 1 так, чтобы коэффициент обратился в нуль.

250

необходимости находить частное решение u1(1) . Достаточно

было в самом уравнении (7.41) приравнять нулю коэффициент при cos( s ).

Таким образом, используя (7.42), получаем приближенное решение уравнение Дюффинга

Подставив s из равенства (7.35) получим решение через старую безразмерную переменную

Разложение решения (7.43) по малому параметру будет равномерно пригодным разложением первого порядка, поскольку в нем отсутствуют секулярные члены, а поправка (член пропорциональный ) оказывается малой по сравнению с главным членом разложения.

251

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Шипачев В.С. Высшая математика / В.С. Шипачев.

М.: Наука, 2000.

2.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление / Н.С. Пискунов. М.: Наука, 1978. Т. 1.

3.Бугров Я.С. Дифференциальные уравнения. Ряды.

Функции комплексного переменного / Я.С. Бугров, С.М. Никольский. М.: Наука, 1989. 448 с.

4.Карташев А.П. Обыкновенные дифференциальные

уравнения и основы вариационного исчисления / А.П. Карташев, Б.А. Рождественский. – М.: Наука , 1976. 256 с.

5.Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление / Л.Э. Эльсгольц. – М.: Наука , 1969. 424 с.

6.Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова - М.:

Высш. шк., 1986. Ч. 2. – 415 c.

7.Ризниченко Г.Ю. Математические модели в биофизике

иэкологии / Г.Ю. Резниченко. – М.: Институт компьютерных исследований, 2003. 184 с.

8.Самойленко А.М. Дифференциальные уравнения. Примеры и задачи / А.М. Самойленко, С.А. Кривошея, Н.А. Перестюк. – Киев: Вища школа, 1984. 408 с.

9.Найфэ А. Введение в методы возмущений / А. Найфэ. –

М.: Мир, 1984. 535 с.

10.Ли Цзун-дао. Математические методы в физике / Цзун-дао Ли. – М.: Мир, 1965. 296 с.

В.М. Вержбцкий. – М.: Высш. шк., 2001. 382 с.

12. Амосов А.А. Вычислительные методы для инженеров/ А.А. Амосов, Ю.А. Дубинский, Н.В. Копченова – М: Высш.

шк., 1994. 544 с.

252

ОГЛАВЛЕНИЕ Введение …………………………………………………..3

1.Дифференциальные уравнения первого порядка.

Основные понятия ……..………………………………...4

1.1.Понятие обыкновенного дифференциального уравнения, общего и частного решений. Геометрический смысл решения ……………………………………....….....4

1.2.Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка. Теорема существования и единствен-

ности решения задачи Коши.…………...............................8

2.Дифференциальные уравнения первого порядка, интегрируемые в квадратурах………………………….13

2.1.Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными...... .…………........ .…………........ .……...14

2.2.Однородные дифференциальные уравнения первого порядка ……………….………....…………........ .….........21

2.3.Дифференциальные уравнения первого порядка, приводящие к однородному ………………….…….........32

2.4.Линейное уравнение………………….……..............36

2.5.Уравнение Бернулли………………….……..............49

2.6.Уравнение в полных дифференциалах……………..55

2.7.Приведение некоторых дифференциальных уравнений к виду уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель ………………….………….65

2.8.Пфаффовы формы, полный дифференциал и термодинамика………………….………………................72

2.9.Применение дифференциальных уравнений первого порядка к задачам физики и экологии…………………...77

3.Дифференциальные уравнения высших порядков. Теорема существования. Простейшие уравнения n -го

порядка…………………………………………………….94

3.1.Дифференциальные уравнения n – го порядка.

Основные понятия ……...………...…...……......................94

253

3.2.Достаточные условия существования и единственности решения задачи Коши. Общее частное решение………………....…………………………...........103

3.3.Уравнения высших порядков, интегрируемые в квадратурах. Уравнения, допускающие понижения порядка…………………………………………………....109

4.Линейные дифференциальные уравнения…………..131

4.1.Линейные дифференциальные уравнения второго порядка………………………………………....................131

4.2.Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами……………..137

5.Системы дифференциальных уравнений.…………..149

5.1.Нормальные системы дифференциальных уравнений

…………………………………………………………….149

5.2.Задача Коши. Достаточные условия существования

иединственности решения задачи Коши. Общее, частное

иособое решения………………………………………...156

5.3.Интегрирование системы дифференциальных уравнений, сведением к одному уравнению n – го порядка

……………….....…………………………………………161

5.4.Нормальные системы линейных дифференциальных уравнений………………………………………………...171

5.5.Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера построения фундаментальной системы решений……193

6.Функциональные ряды и их приложения к решению дифференциальных уравнений………………………207

6.1.Функциональные ряды. Сходимость и равномерная сходимость………………………………………………207

6.2.Свойства равномерно сходящихся рядов. Признак равномерной сходимости………………………………212

6.3.Степенные ряды. Интервал сходимости, радиус сходимости………………………………………………214

254

6.4.Свойства степенных рядов………………………..217

6.5.Арифметические операции и другие действия

над степенными рядами………………………………..219

6.6.Разложение функций в степенные ряды………….225

6.7.Обобщения степенных рядов – интегро – степенные ряды и ряды Вольтера…………………………………...228

7.Приближенные аналитические методы решения дифференциальных уравнений………………………231

7.1.Необходимость асимптотических методов……….231

7.2.Калибровочные функции. Символы порядка…….232

7.3.Пример асимптотического разложения. Определение асимптотического ряда………………………………….234

7.4.Асимптотические последовательности и асимптотические разложения………………………….239

7.5.Простейшие асимптотические методы решения дифференциальных уравнений………………………...241

7.6.Метод Линдстедта – Пуанкаре………………….248

Библиографический список …...…………………….252

255

Учебное издание

Бырдин Аркадий Петрович Заварзин Николай Владимирович Сидоренко Александр Алексеевич Цуканова Людмила Петровна

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

СПРИЛОЖЕНИЯМИ

КМАТЕМАТИЧЕСКИМ МОДЕЛЯМ СПЕЦИАЛЬНЫХ ДИСЦИПЛИН

Вавторской редакции

Подписано к изданию 23.10.2012. Уч.-изд. л. 16,0.

ФГБОУ ВПО “Воронежский государственный технический университет”

394026 Воронеж, Московский просп., 14

256