3447

Из курса высшей математики, изучаемого в 1-ом семестре, нам известно, что в алгебре большую роль играют теоремы о числе решений алгебраических уравнений. Так, в случае линейных систем уравнений, определитель которых не равен нулю, система имеет единственное решение. Известна также основная теоремы алгебры, утверждающая что многочлен n -й степени всегда имеет ровно n корней на множестве комплексных чисел (считая корни с их кратностями). В теории дифференциальных уравнений также важнейшим является вопрос о том, насколько много решений имеет дифференциальное уравнение. Выше мы убедились, что дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений. Поэтому ставится вопрос не о числе решений, а о том, как можно описать совокупность всех решений данного уравнения, как можно выделить интересующее нас решение и единственно ли решение, описываемое интегральной кривой, проходящей через точку (x0 , y0 ) области.

Будем говорить, что задача Коши с начальными условиями (1.10) имеет единственное решение, если

10

В случае, если задача Коши с начальным условием (1.10) имеет не одно решение или совсем не имеет решений, говорят,

что в точке (x0 , y0 ) нарушается единственность решения

задачи Коши.

Вопрос о единственности решения задачи Коши исключительно интересен и для теории дифференциальных уравнений, и для многочисленных практических приложений. Зная, что решение задачи Коши единственно, мы, отыскав решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям, будем уверены в том, что получили определенный, единственный закон, описывающий физическое явление, и других траекторий развития процесса при данных условиях нет.

2. В этом разделе будут сформулированы достаточные условия существования и единственности решения задачи Коши (теорема Пикара).

Ниже будут рассматриваться только непрерывно дифференцируемые задачи (1.10).

Итак, ставится вопрос: каким условиям достаточно подчинить правую часть дифференциального уравнения (1.7) в окрестности начальных данных x0 , y0 , чтобы через точку

P0 (x0 , y0 ) проходила одна и только одна интегральная кривая

этого уравнения?

сточкой (x0 , y0 ) внутри области ( a, b - заданные

положительные числа) и удовлетворяет в области D следующим условиям.

11

дифференцируемо в некоторой окрестности начального значения x0 независимой переменной x ; именно, оно заведомо определено в интервале

12

Доказательство теоремы Пикара мы не приводим. Из теоремы следует, что если правая часть уравнения (1.7) –

одна интегральная кривая, поскольку в любом прямоугольнике D с центром в точке P0 (x0 , y0 ) оба условия теоремы Пикара

будут выполняться. В этом случае, вся плоскость XOY будет заполнена не пересекающимися и не касающимися друг друга

гладкими интегральными кривыми.

2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА, ИНТЕГРИРУЕМЫЕ В КВАДРАТУРАХ

Введем терминологические дополнения.

Интегрированием дифференциального уравнения назовем совокупность операций выполняемых для нахождения общего решения.

Интегрируемость дифференциального уравнения в квадратурах означает, что в общий или частный интегралы дифференциального уравнения входят интегралы от функций, зависящих от y и x (по отдельности), которые не обязательно

вычисляются через элементарные функции. Например, для дифференциального уравнения

y xy2 2xy

общий интеграл представляется квадратурами

В данном случае интегралы вычисляются в элементарных функциях.

13

2.1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

1. К дифференциальным уравнениям, интегрируемым в квадратурах, в первую очередь принадлежат уравнения с

разделяющимися переменными. В этом случае функция f (x, y) ,

в уравнении представляет собой произведение функции

плоскости XOY .

Частный интеграл уравнения (2.1), определяющий решение, удовлетворяющее начальному условию может быть записан в виде

14

Поэтому равенство (2.4) можно записать следующим образом:

В формуле (2.5) y рассматривается как функция от x ,

определяемая дифференциальным уравнением. Из равенства дифференциалов двух функций следует, что эти функции отличаются на постоянную:

Ф( y) F(x) C ,

или

Докажем, что соотношение (2.6) представляет собой общий интеграл уравнения (2.1). Запишем соотношение (2.6) в

и дифференцируемую. При этом имеет место равенство:

15

Таким образом, функции, определяемые уравнением (2.7), а следовательно и уравнением (2.6), являются решениями данного дифференциального уравнения (2.1). Эти функции получаются при различных значениях C , выбор которых определяется начальными условиями (x0 , y0 ) . При

фиксированном значении параметра C решение единственное. Справедливо и обратное утверждение. Всякая функция, являющаяся решением уравнения (2.1), т.е. тождественно ему удовлетворяющая, обязана удовлетворять и вытекающему из

него соотношению (2.6).

Следовательно, формула (2.6) действительно определяет общий интеграл уравнения.

Из (2.6) видно, что любые начальные условия (x0 , y0 ) из

допускает однозначное обращение. Обозначив обратную

16

Таким образом, условия теоремы 1 выполнены. Разделяя переменные, получим уравнение с разделенными переменными

Отсюда получаем соотношение

Освобождаясь от дифференциалов, имеем общий интеграл:

произвольны. При выбранном интервале изменения независимой переменной x , параметр C может принимать бесконечное множество значений, но таких, чтобы не нарушались указанные неравенства.

Можно провести дальнейшее упрощение общего решения, если воспользоваться формулой для тангенса суммы дуг и обозначить C1 tgC . В результате получим

17

Пример. Найти частное решение предыдущего дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальному условию y(0) 1.

видно, что дифференциальное уравнение (2.1) имеет решение

процедуру разделения переменных и интегрируя уравнение с разделенными переменными:

18

Для вычисления интеграла в левой части равенства разложим правильную рациональную дробь на простейшие

нельзя получить из общего интеграла ни при каком значении этого параметра.

Таким образом, вся совокупность решений рассматриваемого дифференциального уравнения включает общий интеграл и решение, не входящее в этот интеграл:

y Ce x 2 ( y 2); C ( , ); y 2.

19