Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

3447

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

5.34 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 2625 26 > Следующая >>>

ческую последовательность, называется асимптотическим

разложением функции		f ( ) , если при					0
f (	)	an	n (	)	o(	n (	))	(7.12)
	n	0
или, что, то же самое,
	N 1
f (	)	an n (		)	о(	n (	)) .	(7.13)
	n	0
Этот факт записывается в виде
f (	)	an	n (	)	при		0.

n 0

Отметим, что функция f ( ) может быть представлена

бесконечным числом асимптотических разложений.

При построении приближенных решений различного вида уравнений, а также при оценке интегралов предполагается обычно, что такие разложения можно подставлять в уравнения и выполнять арифметические действия, а также дифференцирование и интегрирование. Иногда применение некоторых из этих операций необоснованно. В этом случае они приводят к сингулярностям или неравномерностям.

Пример. Равенство

												1		1
				1 2						1					2
				1 2								2		2	2
	x		x						x 1			2		2			...

				x							2 x		2			x
							2
		x 1								...
		x 1				2x		8x 2		...
						2x		8x 2
не обоснованно					при				x	O(1) ,		т.к.		второй,			третий и

последующие члены разложения сравнимы по порядку величины с первым членом. Поэтому ошибка, совершаемая при

240

усечении ряда после N членов при x O( ) не будет иметь

порядок O(N ) , т.е. не будет порядка первого отброшенного

члена. В этом случае говорят о неравномерном разложении. Одна из главных целей метода возмущений проверка равномерности разложения.

Задачи для самостоятельного решения

1. Определить первые три члена разложения при малом :

		3		4		51			4	2		1																				2
1		3	a	4		51		a	4	2		;			cos			1		t ;					sin(1							2			);
1	8		a		256			a				;			cos			1		t ;					sin(1										);
	8				256
									1 ;					1								1	2						2
			1		cos x						sin			1						; ln		1	2								.
			1		cos x						sin									; ln			3								.
															1								3		1	2
2. Определить порядок функции при малых																										:
																										/ 2
100	1 2 ;																	1		cos
					(1				);		ln(1				);			1		cos	;									;							;
					(1				);		ln(1				);						;									;							;
																		1		cos			1			cos							sin
															ch		1
etg	;		ln 1				ln(1		2	)	;		e		ch			;		arcsin							;		ln(ctg						).
							ln(1		2	)
					(1				2	)
																							1
																							1
3. Расположить									данные						выражения						в			ряд по								порядку
		убывания при малых													:
			ln(1				), ctg ,			th			1	,		sin			,	ln	,		exp					1	,			sh		1		.
			ln(1				), ctg ,			th				,	3 / 4				,	ln	,		exp						,			sh				.
															3 / 4

7.5. Простейшие асимптотические методы решения дифференциальных уравнений

Во многих задачах механики колебания консервативных систем с одной степенью свободы описываются дифференциальными уравнениями вида

y0 f ( y) 0 ,

(7.14)

241

где y –	перемещение, f (y) – некоторая	нелинейная
функция	от y – восстанавливающая сила,	y – ускорение.

Точками над буквой обозначены производные по времени t .

Пусть y y0

определяет

положение

равновесия системы.

Тогда f ( y0 )

0 . Предположим, что

функцию f (y) в

окрестности точки y0 можно разложить в ряд Тейлора

f ( y)

k ( y y

) k

( y y

где

d n f ( y0 )

dyn

Если считать, что восстанавливающая сила является

нечетной функцией смещения от равновесия

f ( y)

(т.е. пружина ведет себя одинаково при растяжении и сжатии),

и ограничиться в разложении функции					f (y) двумя членами, то
уравнение (7.14) примет вид
x k x k	3	x3	0	,	(7.15)
1	3
где x y y0 . Уравнение		(7.15)			обычно называют

уравнением Дюффинга.

Введем характерные масштабы задачи – линейный X и временной T , и перейдем к безразмерным переменным

Используем

правило

дифференцирование сложной

функции для перехода к новым переменным

d 2

dt dt d

T d

dt 2

T 2 d

Тогда уравнение (7.15) преобразуется к виду

k T 2u k T 2 X 2u3

0 .

Введем обозначения

k T 2 ,

k T 2 X 2

, где

- безразмерные

параметры,

характеризует

степень

242

нелинейности системы, точка над буквой обозначает дифференцирование по .

Тогда уравнение преобразуется к виду

								u				2u			u3		0 .					(7.16)
												0
В качестве начальных условий примем
					u(0) u0 ,								u(0) u1.									(7.17)
	Прямое разложение. Неравномерность разложения.
	Решение уравнения Дюффинга (8.16) отыскиваем в виде
ряда по степеням параметра															,	который считаем малым
			u( ,		)		u	0	(	)			u (			)	2u	2	( )		.	(7.18)
								0						1				2
Ограничившись в решении членом правого порядка малости
				u( ,				) = u			0	(	)			u (	)	O(		2 ) ,		(7.19)
											0					1
подставим (7.19) в уравнение (7.16) учитывая равенство
(u	0			u ( ) O( 2 ))3								u3			3u 2 ( u O( 2 ))
	0			1									0			0	1
3u		0	( u O( 2 ))2								( u ( ) O( 2 ))3									u3	3 u 2 u O( 2 ).
		0		1										1						0	0	1
Получим
		u		2u		0			(u					2u		u 3)		O(		2 )	0 .	(7.20)
			0	0		0				1				0	1		0
	Полагая в (7.19)											0 имеем уравнение для первого члена
разложения (7.18)
							u					2u		0	0 .							(7.21)
								0				0		0
Его решение, как известно, имеет вид
u0 (			)	C1 cos				0			C2 sin				0		a0 cos(			0	0) ,	(7.22)
где a0			и	0 – произвольные постоянные.
	Учитывая (7.21), уравнение (7.20)																	принимает форму
							(u					2u u				3 ) O( 2) 0 .
								1				0	1			0
	Разделим				на				,		а	затем				положим					0 . Учтя, что
1O( 2 )				O( ) и что O(											0)		0 , получим уравнения для
функции				u1

243

u	2u		u3	0 .	(7.23)
1	0	1	0

Отметим, что и уравнение (7.20) и уравнение (7.23) можно получить из (7.20), если приравнять нулю коэффициенты при последовательных степенях .

Подставим в уравнение (7.23) u0 ( ) в виде (7.22) и принимая во внимание элементарное равенство

					cos3			1	cos3					3	cos ,
					cos3		4		cos3					4	cos ,
							4							4
перепишем (7.23) в виде
u	2u			3	a3 cos(					)		1	a3 cos(3				3		) . (7.24)
u	2u				a3 cos(	0	0			)			a3 cos(3			0	3	0	) . (7.24)
1	0	1	4		0	0	0				4			0		0		0
			4		0						4			0
Решения					соответствующего										уравнению				(7.24)
однородного уравнения имеет вид
					u1(одн)		a1 cos(				0			1),					(7.25)
где a1	и	1 – произвольные постоянные.
В	силу		линейности				уравнения							(7.24)		частное			решение

этого неоднородного уравнения можно записать в виде суммы двух частных решений, соответствующих каждому из слагаемых в правой части

u	2u		3		a3 cos(				) ,		(7.26)
							0	0
1	0	1	4			0

u	2u			1		a3 cos(3		3		) .	(7.27)
							0		0
1	0	1	4			0

Оба этих уравнения имеют правую часть специального вида. Поэтому частные решения моделируются, а затем применяется метод неопределенных коэффициентов как это показано в курсе дифференциальных уравнений. Для уравнения (7.26) корни характеристического уравнения равны

i 0 , поэтому частное решение записывается в виде

u (1)	( Acos(	0	0	) B sin(		0	0	)) .
1
Подставляя	в уравнение			(7.26)	и применяя				метод
неопределенных	коэффициентов			для	отыскания			А	и В,

244

получим

	(1)	3		a3
u	(1)			0	sin(	0	0	) .	(7.28)
u					sin(			) .	(7.28)
1		8
		8	0
			0

Аналогично для уравнения (7.27) получим частное решение в виде

u	(2)		a03		cos(3	0	3	0	) .	(7.29)

1		4(9	02	1)

Складывая общее решение однородного уравнения (7.25) и частные решения (7.28) и (7.29) получим общее решение

уравнения (7.24)		в виде
								3 a3
u ( )	a cos(			0		0	)			0	sin(	0	0	)
u ( )	a cos(						)				sin(			)
1	1							8
								8	0					(7.30)
									0
		a03
	1	a03			cos(3	0		3 0).
	4 9	2			cos(3	0		3 0).
	4 9	2		1
		0
Подставляя u0			и u1 из (7.22) и (7.30) в разложении (7.19)

для общего решения уравнения (7.16) получаем следующее разложение первого порядка

			u1 ( ,		) = a0 cos( 0				0)		(a1 cos(	0	1)
	3 a03						1	a03
-				sin(	0	0) +				cos(3 0		3 0) )+… , (7.31)
-	8			sin(	0	0) +	4 9	2		cos(3 0		3 0) )+… , (7.31)
	8	0					4 9	2	1
								0
где			a0 , a1,		0,	1– произвольные					постоянные.		Хотя мы

получили четыре постоянных, но оказывается, что они связаны между собой и для их нахождения вполне достаточно двух начальных условий. Действительно, подставляя разложение (7.31) в условия (7.17), получаем

u0 a0 cos 0	(a1 cos	1	1		a03		cos3	0) ... .
u0 a0 cos 0	(a1 cos	1	4		2		cos3	0) ... .
			4	9	2	1
					0

245

u	a	0	0	sin		(a	0	sin		3 a30		sin		3		a30		0	sin 3		) ...
u	a			sin		(a		sin				sin							sin 3		) ...
1					0	1			1	8			0	4	9		2	1		0
					0				1	8	0		0	4	9		2	1		0
																	0

Приравнивая члены при одинаковых степенях в левой и правой частях этих равенств, получим

				u0				a0 cos				0 ;									u1				a0 sin						0 ,				(7.32)
				a1 cos										1					a30					cos3 0 ,
				a1 cos							1			4						2				cos3 0 ,
																9				2		1
																9				0		1
																				0
a1 0 sin					3		a30		sin							3		a30				0			sin 3						0 .				(7.33)
a1 0 sin	1		8						sin			0				4 9				02					sin 3						0 .				(7.33)
			8					0								4 9				02			1
Введя		оба					равенства (7.32)																в			квадрат						и складывая,
имеем
			u02				u12				a02 ,						a0					(u02					u12 )1 2 .
Из этих же равенств можно найти и параметр																															0 :
0 =				arcsin								u1										arccos									u0				.
0 =				arcsin							2	u		2 1/ 2								arccos							u		2	u	2 1/ 2		.
									u		2			2 1/ 2																	2		2 1/ 2
									u		0																			0
											0		1																	0		1
Возведя в квадрат равенства (7.33) и сложив их, получим
																																		1
	3						2												2									2
	3			cos			2	3			0				sin				2	3			0					2					0	2
a1		a0		cos				3			0	9			sin					3			0						0sin 3				0		,
a1	4		(9					2		1)		9				2				2								9			2	1			,
								2												2											2
								0												0											0
а также
								1			arccos									a0 cos						0			.
											arccos					4(9						2			1) a				.

																												1
																						0
																						0
Таким образом, все постоянные выражены через две
заданные	u0			и		u1 .				Преобразуем													выражение									для решения

уравнения Дюффинга, сложив два первых члена в (7.31). Используя известную тригонометрическую формулу, имеем

a	0	cos(	0	)	a cos(	0	) a cos(	0	),
	0		0	0	1	0	1	0

246

где

a (a02 2a0a1 cos( 0 1) 2a12 )12 , a a0 o( ),

		a	sin		0			a1sin		1
tg		a	0		0					1	,				0	О(		).
tg		a0 cos						a1cos			,					О(		).

					0					1
Подставляя полученные выражения для амплитуды а																			и
фазы , и отбрасывая члены высшего порядка малости по																			,
получим решение					уравнения					Дюффинга					вместо			(7.31)	в
виде
u( , )	a cos(			0			)		a3 ( A sin(					0			)	(7.34)
				0										0

	B cos(3				0		3		))	...,
					0
где обозначено			A			3		,	B			1			.

					8		0				4(9	2		1)
												2
												0
												0
Итак, из (7.34) следует, что в первом приближении
искомое решение записывается в виде													u		a cos(		0	) .	А
																	0
первая поправка к этому решению есть
	a3 A		sin(				0		)	a3B		cos(3			0		) .
							0								0
Поправочный член будет мал, как это заранее
предполагается, только тогда, когда														мало по сравнению с
единицей.	Если же величина											имеет порядок О(1),							то

поправочный член, содержащий этот множитель, может оказаться даже больше главного члена разложения. Поэтому прямое разложение применимо только для таких времен, при


которых выполняется		O(1) , т.е. для	O(	1) .
Таким образом, можно утверждать, что подобные
разложения являются неравномерными по			t , т.к. при больших
временах	они становятся непригодными.			Члены вида
t sin( t	) называют вековыми или секулярными членами –

термин, возникший в астрономии при описании движения планет.

247

7.6. Метод Линдстедта – Пуанкаре

Как видно из формулы (7.34), уравнение Дюффинга описывает колебательный процесс. Первый член решения дает колебание линейной системы в принебрежении нелинейным слагаемым. Но в силу нелинейного характера уравнения процесс движения обогащается гармониками с частотами, кратными частоте колебаний линейной системы. В случае уравнения Дюффинга можно построить и его точное решение. Оказывается, что в точном решении уравнения частота колебаний зависит от амплитуды. Теоретически показано и это действительно наблюдается в реальных системах, что зависимость частоты от амплитуды колебаний характерна для многих нелинейных систем.

Существенной особенностью, не учитываемой при построении решения методом прямого асимптотического разложения, как раз и является такая зависимость. В этом кроется причина неравномерности прямого разложения – ведь в решении (7.34) угловая частота нелинейной системы равна частоте колебаний линейной системы и не зависит от характера нелинейности. Для получения равномерно пригодных асимптотических разложений разработан ряд методов, широко используемых для построения решения нелинейных задач, возникающих в различных разделах механики, физики и инженерных наук. Одним из эффективных асимптотических методов построения равномерно пригодных периодических решений нелинейных дифференциальных уравнений является метод Линдстедта – Пуанкаре. В его основу положены две существенные идеи:

1.Деформирование частоты колебаний с тем, чтобы она зависела от малого параметра – меры нелинейности системы;

2.Исключение секулярных членов в разложении решения по малому параметру на основе выбора поправочных членов к частоте колебаний линейной системы.

Проиллюстрируем метод на примере уравнения

Дюффинга (7.16). Введем неизвестную частоту

248

непосредственно в дифференциальное уравнение (7.16) с помощью преобразования

s , (7.35)

где - введенное ранее в уравнение (7.15) безразмерное время,

- новая безразмерная частота,

определяемая через

параметр .

Используя

правило

дифференцирования

сложной

функции, получаем

ds d

d 2

2 d 2

d ds

ds2

В результате уравнение (7.16)

перепишется в виде

02u

0 ,

(7.36)

где штрихами обозначена производная по новой переменной s . Неизвестными величинами в уравнении (7.36) являются u и . Будем искать их в виде разложений по степеням малого

параметра ,	т.е. положим
	u	u0 (s)	u1(s)	...,	(7.37)
		0	1 ... .		(7.38)
Главный	член	разложения для			представляет собой
частоту линейной		системы	0 .	Исходя из требования

равномерной пригодности разложения для функции u при всех s , в процессе вычислений можно определить все последующие

поправки к частоте линейной системы.
Подставка (7.37)						и (7.38)			в уравнение (7.36) дает
(	0		1		...) 2 (u		0	u	1	...) 2		2	(u			0	u	...)
	0		1				0		1			0				0	1
			(u	0	u			...)3	0,
				0	1
откуда после выполнения необходимых действий имеем
2u		0	2u		(	2u			2u 2		0		u		0		u 3) 0 .
0		0	0			0		1	0	1	0	1			0		0
Приравнивая нулю коэффициенты при														0 и			1 ,	получаем
					u0			u0	0 ,									(7.39)

249

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 2625 26 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20225.18 Mб33432.pdf
#
15.11.20225.18 Mб23433.pdf
#
15.11.20225.21 Mб33436.pdf
#
15.11.20225.27 Mб23440.pdf
#
15.11.20225.28 Mб63442.pdf
#
15.11.20225.34 Mб23447.pdf
#
15.11.20225.34 Mб43448.pdf
#
15.11.20225.35 Mб13449.pdf
#
15.11.20225.36 Mб03451.pdf
#
15.11.20225.36 Mб43453.pdf
#
15.11.20225.37 Mб43454.pdf