Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

3447

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

5.34 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2610 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

13.

y, y(4)

Ответ:

2 .

14.

(2y

1)ctgx,

Ответ:

2sin2 x

15.

x2y

y 2

Ответ:

16.

e x ) yy

e x ,

Ответ:

2ey2 / 2

ex ).

y(0)

e(1

17.

Ответ:

y ln x,

y(e)

x ln x

18.

y(e)

Ответ:

ln x.

ln x

19.

y tg x

Ответ:

2sin x

20.

y sin x

y ln y,

Ответ:

21.

y2 )dx

xydy

y(2)

1. Ответ:

2 y 2 .

1 2 .

22.

2 ydx

dy,

y(0)

Ответ:

23.

(2x

1)dy

y 2 dx

y(4)

Ответ: ln

1 .

24.

xydx

1)dy

0 .

Ответ:

C(x

1)e x ,

25.

y ctgx

Ответ:

C cos x,

3cos x.

y 2

26.

1dx

xydy.

Ответ:

27.

2x2 yy

Ответ:

Ce1 x .

28.

xy3

2xy.

Ответ: (Ce

x 2

1) y

29.

x2 y

cos2y

1, y(

)

Ответ:

arctgx 1

2 .

30.

( y2

2xy)dx

x2dy

0 .

Ответ: x( y

ln y,

31.

x2 y

xyy .

Ответ: y

Ce y x .

32.

y) ln

Ответ: ln

Cx.

Ответ: arcsin

33.

y 2

ln(Cx) sgn x.

34.

( y

2) y

0. Ответ: ( y

2)2

35. (y

2)dx

(2x

4)dy .

Ответ: (y 2)2

C(x

1),

1 x.

36.

( y

1) ln

Ответ: ln

xarctg

37.

Ответ:

3 .

38.

e x .

Ответ:

C)e x .

39.

Ответ:

Ce x

40.

x 2 y

x 2 .

Ответ:

Ce x3 / 3.

41.

Ответ:

42.

e x .

Ответ:

e x

43.

Ответ:

Cx3

x2 .

44.

2xy

2xe x2 .

Ответ:

(x2

C)e x2 .

45.

Ответ:

Cx2e1/ x

x2 .

46.

cos x.

Ответ:

Ce x

(cos x

sin x).

47.

y cos x

y sin x

sin 2x.

Ответ:

cos2x

2 cos x

48.	xy y		ln x 1.
		2 y		e	x2
49.	y					.
49.	y					.
		x			x

50.

y tg x

ctg x.

51.

y cos x

sin 2x.

52.

2 y

x2 .

53.

ex (x

54.

(2x

1) y

2 .

55.

(xy

ex )dx

xdy .

56.

(xy

1) ln x

2y .

57.

(2e y x) y

58.

(sin2 y

x ctg y) y

59.

e x

, y(1)

2 .

60.

sin x

61.y 2 y y2e x .

62.y x y xy2 .

63.y xy y3e x2 .

Ответ:

ln x

Ответ:

2x 2

ln C tg

Ответ:

cos x

Ответ:

2(sin x

1) Ce sin x .

Ответ:

Cx 2

e x .

Ответ:

y (2x

1)(C

) 1.

Ответ:

e x (ln

C), x

Ответ:

C ln2

ln x.

Ответ:

e y

y .

Ответ:

cos y) sin y.

e x

Ответ:

0 . Ответ:

cos x

Ответ:

y(e x

Ce2x ) 1,

y 0.

Ответ:

x ln Cx

Ответ:

ex 2

64.

xy3.

Ответ:

1/ 2

Ce2x

65.

x3 y3

xy.

Ответ:

Ce x2

66.

x2 y

y 2

xy.

Ответ:

ln x

67.

y 2 ln x.

Ответ:

ln x

68.

xy3.

Ответ:

y 2

Ce x2

69.

2 y

x5 y 2 .

Ответ:

1/ 3x5

Cx 2

70. x(2

9xy2 )dx

y(4y2

6x3)dy

0 . Ответ:

3x3 y2

71.

( y3

ln x)dy

0 .

Ответ:

y(4ln x

y3 )

72.

3x2

y 2

2x3

5 y

0 . Ответ: x3

xy2

Cy 2.

y 2

73.

(1 y2 sin 2x)dx

2y2 cos2 xdy

0 . Ответ:

y2 cos2 x

74.

(x2

x)dx

ydy

0 .

Ответ: 2x ln(x2

y2 ) C.

75.

(x2

y)dx

xdy

0 .

Ответ:

arctg

76.

xy2 (xy

1 .

Ответ: 2x3 y3

3x2

77. (2xy2

3y2 )dx

3xy2 )dy

0 . Ответ: x2

3xy

y 2

78. (3y 2

x)dx

(2y 2

6xy)dy

0 .

Ответ: (x

y2)2

x y2

2 3

)

3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ.

ПРОСТЕЙШИЕ УРАВНЕНИЯ n –го ПОРЯДКА

3.1. Дифференциальные уравнения n – го порядка.

Основные понятия

1. Дифференциальным уравнением n – го порядка называется соотношение, связывающее независимое переменное, его функцию и производные до n – го порядка включительно:

F(x, y, y , y , , y(n) ) 0.		(3.1)
Будем предполагать функцию F такой,		что уравнение
(3.1) разрешимо относительно старшей производной:
y(n)	f (x, y, y , , y(n 1) ).	(3.2)
Функция F или	f может не зависеть от некоторых из

аргументов x, y, y , , y(n 1) , но в любом случае уравнение n

– го порядка должно содержать производную y(n) .

Если, в частности, функция F является линейной

функцией аргументов y, y , y, , y(n) , то уравнение (3.1)

будет содержать искомую функцию и ее производные только в первой степени и не содержать их произведений. В этом случае уравнение (3.1) принимает вид:

y(n) p (x) y(n 1)	p	n 1	(x) y	p	n	(x) y f (x) .	(3.3)
1		n 1			n

Уравнение такого вида называется линейным уравнением; если при этом f (x) 0 , то его называют линейным

однородным уравнением: если f (x) 0 , то называют линейным неоднородным уравнением.

Всякая функция y y(x) , определенная на (a,b) и n раз

непрерывно дифференцируемая на этом интервале, называется решением уравнения (3.1) в этом интервале, если она обращает это уравнение в тождество:

F(x, y(x), y (x), , y(n) (x)) 0,

справедливое при всех x из интервала (a,b) .

Среди дифференциальных уравнений высших порядков

простыми для изучения являются уравнения 2-го порядка
F(x, y, y , y ) 0,	(3.3)

или в виде, разрешенном относительно старшей производной,

y	f (x, y, y ).	(3.4)
Такие уравнения	допускают простое	механическое и

геометрическое истолкование. Рассмотрим прямолинейное

движение

материальной

точки

по оси

OX .

Тогда

d 2 x

выражают

положение,

скорость

и ускорение

dt2

точки

момент

времени

(рис.8). Считая, что

действующая

на материальную

точку

сила

есть функция

t, x,

, зависящая

от времени,

положения

точки

и ее

скорости,

а масса m

согласно второму закону Ньютона,

получим дифференциальное уравнение второго порядка

d 2 x

f t, x,

(3.5)

dt 2

определяющее

закон

движения

точки

x(t) . Основной

задачей интегрирования уравнения (3.5) является нахождение всех движений x(t) , определяемых этим уравнением, и

изучение их свойств.

M(t) x

Рис. 8

В механике наиболее полно эта задача изучена в случае, когда сила f является линейной функцией от положения

точки и ее скорости. В этом случае уравнением движения является линейное уравнение второго порядка:

	d 2 x	p(t)	dx	q(t)x	f (t).
	dt 2		dt

Если коэффициенты p(t) и q(t)					являются постоянными,

то решение этого уравнения можно найти в квадратурах, а

при некоторых	функциях f (t) - даже в	элементарных
функциях.
Рассмотрим	геометрическое	истолкование

дифференциального уравнения второго порядка. Как нам уже известно, дифференциальное уравнение первого порядка задает общее свойство семейства касательных всех его интегральных кривых. Из математического анализа известно,

что кривизна кривой y	y(x) в каждой ее точке вычисляется
по формуле
K		y		.		(3.6)

	1	( y )2 3 2
Всякое уравнение второго порядка (3.3) можно
переписать в виде
F x, y, y , 1 y 2		3 2	y		0,

		1	y 2 3 2
		1	y 2 3 2
или
F1 x, y, y ,		y	0.			(3.7)

	1	y 2 3 2
	1	y 2 3 2
Учитывая геометрический смысл производной y						tg	,
где угол, который образует касательная к кривой y						y(x)	с

осью OX , выразим вторую производную через кривизну посредством формулы (3.6). Получим:

	3 2	3 2	K
y K 1 y 2	K 1 tg2			.
y K 1 y 2	K 1 tg2		cos3	.
			cos3

Подставив выражения y и y через и K , уравнение (3.7) можно переписать в виде

F2 (x, y, , K) 0.	(3.8)
Итак, с геометрической точки зрения дифференциальное

уравнение второго порядка выражает зависимость между координатами точки M (x, y) кривой y y(x) , направлением

касательной и кривизной в этой точке. Поэтому интегральные кривые уравнения 2-го порядка в каждой своей точке имеют заданное этим уравнением соотношение между направлением этой кривой и ее кривизной.

Если задать координаты точки M 0 (x0 , y0 ) ,

принадлежащей интегральной кривой и угловой коэффициент касательной в этой точке (т.е. направление кривой) то, по уравнению (3.8), определится и кривизна интегральной кривой в этой точке. Таким образом, начальные условия вида

y(x0 ) y0 , y (x0 ) y0

(3.9)

позволяют выделить из семейства интегральных кривых, задаваемого уравнением (3.3), определенную кривую.

Поскольку при данном x задание двух величин y и y

определяет интегральную кривую уравнения (3.3), то можно ожидать, что общее решение дифференциального уравнения 2-го порядка будет зависеть от двух произвольных постоянных

y (x,C1,C2 ) .

(3.10)

Это соображение можно подкрепить таким не вполне строгим рассуждением. Если исключить из (3.10) параметры C1 и C2 для того, чтобы получить общие свойства функции в (3.10), придется это соотношение дважды продифференцировать по x :

y (x,C1,C2 ) , y (x,C1,C2 ) , y(x,C1,C2 ) ,

где штрихи у функции

означают производные по x .

Исключение параметров C1 и C2 из этой системы приведет

нас к дифференциальному уравнению, для которого (3.10) является решением.

Пример. Найти дифференциальное уравнение всех прямых на плоскости XOY , не параллельных оси OY .

Решение. Как известно из геометрии, уравнение этого семейства зависит от двух параметров:

y ax b.

Продифференцируем это уравнение дважды: y a ; y 0 . Видим, что в последнем равенстве параметры a и b автоматически исключены. Таким образом, уравнение y 0 представляет общее свойство линий y ax b, состоящее в

том, что кривизна (см. формулу (3.6)) этих линий в каждой точке равна нулю.

Обратно, интегрируя это дифференциальное уравнение 2-го порядка, имеем:

dy	0, y C1; dy C1dx, y C1x C2	(C1,C2	( , )).

dx

Получено то же семейство прямых с переобозначенными параметрами.

Если потребовать, чтобы искомая линия, проходила через точку ( x0 , y0 ) и имела в этой точке угловой коэффициент y k , то получим начальную задачу:

y	0 , y(x0 ) y0 , y (x0 ) k.

Из решения дифференциального уравнения y C1x C2 и производной y C1 найдем значения постоянных интегрирования C1 и C2 :

C1 k , y0 C1x0 C2 ; C2	y0	kx0 .
Искомое частное решение получено: y	kx	( y0 kx0 ).

2. Рассмотри постановку задачи Коши для уравнения n - го порядка. В п.1 этого параграфа была рассмотрена начальная

задача для дифференциального уравнения 2-го порядка

F (x, y, y , y )		0,	или y	f (x, y, y ),	(3.11)
y(x0 )	y0 ,	y (x0 ) y0 ,

где x0 , y0 , y0	- заданные		числа.	Поставленная задача о

нахождении решения дифференциального уравнении, удовлетворяющего заданным начальным условиям называется задачей Коши для дифференциального уравнения 2-го порядка.

Перейдем теперь к общему случаю уравнения n – го порядка. Поскольку в дальнейшем будем рассматривать уравнения, разрешенные относительно старшей производной (т.е. уравнения вида (3.2)), то и понятие задачи Коши сформулируем для такого уравнения.

Задачи Коши для уравнения вида (3.2) ставится следующим образом.

Среди всех решений уравнения

y(n)		f (x, y, y , , y(n 1) )					(3.12)
найти решение	y	y(x) ,	в котором функция		y(x)		вместе с
производными y (x) ,		y (x), , y(n 1) (x) принимает заданные
значения y0 , y0 , y0 , , y0(n			1) при заданном значении x					x0 ,
то есть
y(x0 ) y0 ,	y (x0 )		y0 , , y (n	1) (x0 ) y0(n		1) ,	(3.13)
где x0, y0 , y0 , , y0(n		1) - заданные числа (начальные данные),
так что решение y		y(x) удовлетворяет условиям
y y0 , y		y0 , , y (n 1)		y0(n 1) при x		x0 ,
которые называют начальными условиями этого решения.
Заданные	числа		y0 , y0 , y0 , , y0(n 1)		-		называют
начальными значениями			решения y y(x) , число x0					-
начальным значением независимой переменной.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2610 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20225.18 Mб33432.pdf
#
15.11.20225.18 Mб23433.pdf
#
15.11.20225.21 Mб33436.pdf
#
15.11.20225.27 Mб23440.pdf
#
15.11.20225.28 Mб63442.pdf
#
15.11.20225.34 Mб23447.pdf
#
15.11.20225.34 Mб43448.pdf
#
15.11.20225.35 Mб13449.pdf
#
15.11.20225.36 Mб03451.pdf
#
15.11.20225.36 Mб43453.pdf
#
15.11.20225.37 Mб43454.pdf