3447

3. Понятие общего, частного и особого решений.

В упрощенной формулировке общее решение системы

причем уравнения этого семейства линий разрешены относительно y1, , yn .

Частное решение системы – это такое решение, которое состоит из точек единственности решения задачи Коши.

Решение, получаемое из общего решения при определенных числовых значениях параметров C1, C2 , , Cn ,

включая , является частным решением.

Особым решением называется такое, в каждой точке которого нарушается единственность решения задачи Коши.

Пример. Найти решение системы

Решение. Заданная система, представляет собой совокупность зацепляющихся уравнений – одно из них можно решить независимо от другого. Интегрируем второе уравнение, разделяя переменные

160

дифференциальным уравнением 1-го порядка. Его решение

решение системы. Второе уравнение системы (5.9) имеет

y x 2 C ln x . Итак, система (5.9) помимо общего решения

5.3. Интегрирование системы дифференциальных уравнений, сведением к одному уравнению n – го порядка

В предыдущих разделах V–й главы рассматривались примеры нахождения решений систем уравнений. Однако используемые там приемы интегрирования не были систематическими, а носили скорее характер ”ad hoc”. В этом

161

разделе будет рассмотрен один из основных методов интегрирования системы дифференциальных уравнений.

Суть используемого здесь метода заключается в следующем: из уравнений системы и из уравнений, получающихся дифференцированием уравнений системы,

дифференциальное уравнение n – го порядка (в случае системы из n уравнений). Из полученного уравнения находится одна неизвестная функция, а остальные искомые функции находятся из исходных уравнений и уравнений, получившихся в результате их дифференцирования.

1*. Общий случай нормальной системы.

Рассмотрим схему приведения системы к одному дифференциальному уравнению n – го порядка в случае системы вида (5.1):

включительно по всем аргументам x, y1, y2 , , yn .

Дифференцируя, например, первое из уравнений (5.10) последовательно (n 1) раз и подставляя на каждом шаге

вместо производных yk (k 1,2, , n) их значения, взятые из

правых частей уравнений (5.10), мы получим следующие уравнения:

162

При получении этих уравнений использовали правило дифференцирования сложной функции многих переменных: если

u F (x) f (x, g1 (x), , g n (x)) вычисляется по формуле

Дальнейшее продвижение по намеченной схеме заключается в исключении из уравнения (5.12) функций

163

y1, y2 , , yn . Для этого следует использовать систему (5.11), рассматривая ее как систему алгебраических уравнений относительно неизвестных y2 , , yn . Требуем, чтобы эта

система была разрешима относительно указанных неизвестных. Из математического анализа известно, что для разрешимости такой системы уравнений требуется выполнение условия

подставим эти выражения в уравнение (5.12). В результате для

Решив уравнение (5.14) получим функцию y1(x) , а затем ее производные y1, , y1(n 1) . Это позволит найти остальные неизвестные y2 , , yn , поскольку они выражаются через

x, y1, y1, , y1(n 1) из системы (5.11).

Можно показать (мы на этом не останавливаемся), что при сделанных предположениях, решение y1(x) , найденное из (5.14) а также функции y2 , , yn , найденные из (5.11), в

совокупности будут являться решением системы уравнений (5.10). И наоборот – решение системы (5.10) будет являться решением уравнения (5.14) и системы (5.11).

164

Пример. Решить систему уравнений

Решение. Дифференцируя обе части первого уравнения, получим:

Из уравнений системы имеем:

Подставим эти выражения в предыдущее уравнение и присоединим выражение для z , найденное из 1-го уравнения:

d

dx ( y x) C1 ( y x).

165

Таким образом, решение системы имеет вид:

коэффициентами процедуру исключения неизвестных можно выполнить с большим изяществом. Идея реализуемого ниже метода та же, что и при исключении неизвестных из линейной системы алгебраических уравнений, решаемых методом Крамера. Покажем это на примере системы трех линейных

руемые функции, заданные на (a,b) . Запишем систему (5.14) в виде:

166

Эта система формально аналогична системе линейных неоднородных алгебраических уравнений. Как и в методе Крамера введем главный определитель системы, который в нашем случае будет содержать элементы, зависящие от

введенный определитель содержит символы производной первого, второго и третьего порядков. Как и для обычного числового определителя для операторного определителя справедлива теорема разложения по элемента какого – либо ряда. Этим свойством мы сейчас и воспользуемся.

Для исключения функций y2 и y3 из уравнений (5.15) умножим обе части первого из них слева на A11 , второго

167

затем сложим эти уравнения. Получим: