Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

3447

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

5.34 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2612 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

откуда y(n

(x)dx

C ,

(3.22)

где C1 - произвольная постоянная, x

(a,b) ,

любое

фиксированное

число

из

промежутка

(a,b) .

Рассуждая

аналогично, находим

y (n 2)

(s )ds C (x x

) C

y(n 3)

ds ds

(s )ds

(x x

) C

(3.23)

)n 2

)n 3

(s )ds

(x x

n 1

2)!

(n 3)!

(s )ds

(x x

)n 1

(x x

)n 2

1)!

2)!

Cn 1 (x x0 )

Cn .

Последняя из формул (3.23) содержит все решения

уравнения

(3.21)

области a

b ,

y(n

представляет

собой

общее решение уравнения.

За м е ч а н и е. Функция

xs2

Y (x)	dsn	(s1)ds1	(3.24)
x0		x0

является частным решением уравнения (3.21), поскольку получается из общего решения при C1 C2 Cn 0 .

110

Выражение для функции (3.24) можно упростить, если воспользоваться следующими соображениями. Введем следующую последовательность функций

		x
K1(x, x0 )		(s1)ds1 ,
		x0
		x		x	s2			x	s2
K 2 (x, x0 )		K1 (s2 , x0 )ds2				(s1 )ds1 ds2		ds2	(s1 )ds1,
		x0		x0	x0			x0	x0
		x		x	s3	s2
K3 (x, x0 )		K 2 (s3 , x0 )ds3				(s1 )ds1 ds2 ds3 ,
		x0		x0	x0	x0
(3.25)
		x				x	sn 1		s2
K n 1 (x, x0 )		K n 2 (sn 1, x0 )dsn 1				dsn 1		dsn 2 (s1 )ds1,
		x0				x0	x0		x0
x
Y (x)	Kn 1(sn , x0 )dsn ,
x0
где индекс у K -функций					нумерует			число	квадратур в
формуле, определяющей эти функции.
Упростим			сначала	формулу для				функции K 2 (x, x0 ) ,
рассматривая			последнее интегральное					выражение в этой

формуле как повторный интеграл, равный соответствующему

двойному	интегралу		по	области
D21 x0 s1	s2 , x0	s2 x	на плоскости S2OS1	(см. рис.
9):
x	s2
	ds2	(s1)ds1	(s1)ds1ds2 .	(3.26)
x0	x0		D21

111

x			D21
x

	s1	s2
x0	x0
x0
0		x	s2

Рис. 9

Область интегрирования K 2 (x, x0 ) . Область ограничена линиями: s1 x0 , s1 s2 , s2 x0 , s2 x.

Двойной интеграл в правой части равенства (3.26) запишем в виде повторного интеграла, но с измененным порядком интегрирования относительно повторного интеграла в левой части этого равенства. Имеем:

	x	x	x	x	x
	x	x	x		x
(s1)ds1ds2	ds1 (s1) ds2		ds1 (s1)s2		(x s1) (s1)ds1.
(s1)ds1ds2	ds1 (s1) ds2		ds1 (s1)s2	s	(x s1) (s1)ds1.
D21	x0	s1	x0	1	x0
D21	x0	s1	x0		x0	K 2 (x, x0 )
Таким образом, выражение для функции						K 2 (x, x0 )
записывается в виде одной квадратуры
		x
	K2 (x, x0 )	(x	s) (s)ds,			(3.27)
		x0
где переобозначили переменную интегрирования s1						s .

Для функции K3 (x, x0 ) упрощенное выражение получаем в результате выполнения аналогичных процедур на плоскости S3OS :

112

x		x	s3
K3 (x, x0 )	K 2 (s3 , x0 )ds3	ds3	(s3 s) (s)ds
x0		x0	x0
		x		x
(s2	s) (s)ds3ds	ds (s) (s3			s)ds3 ,
D31		x0		s
где область D31 -та же , что на рис.			9,	с переобозначением
осей координат.	Вычислив	интеграл		по	s3 , получим

выражение для функции K3 в виде одной квадратуры:

	1		x
K3 (x, x0 )				(x s)2 (s)ds.

		2 x0
Дальнейшее применение описанного выше алгоритма
приводит к выражениям:
	1			x
K4 (x, x0 )				(x s)3 (s)ds,


	2 3 x0

Kn 1(x, x0 )

(x s)n 2 (s)ds,

2)! x0

Y (x)

s)n

(s)ds.

(3.27)

1)! x0

Таким образом, общему решению (3.23) уравнения (3.21)

с учетом (3.27) можно придать следующий вид:

n 1

x0 )

(x s)

(s)ds

1)! x0

(n k)!

(3.28)

(x x0 )n 1

n 1

(s)ds

1)! x

1)!

113

C2	(x	x0 )n 2	Cn 1 (x x0 ) Cn ,
	(n	2)!

где, как известно, 0! 1, x0 - произвольная фиксированная точка из (a,b) , x (a,b) , Ck (k 1,2, , n) - произвольные

постоянные. Еще раз подчеркнем – общее решение (3.28) дифференциального уравнения (3.21) содержит все решения этого уравнения.

Формула (3.28), представляющая общее решение уравнения (3.21), позволяет найти решение с любыми начальными значениями искомой функции и ее производных до (n 1) - го порядка включительно.

Пусть задана задача Коши

				y(n)	(x) ,				(3.29)
		y(x0 )	y0 ,	y (x0 )	y0 , , y (n 1) (x0 )				y0(n 1) ,
где	x0 (a, b), y0 , y0 , , y0(n 1)					-	произвольные заданные
числа.
	Для определения значений постоянных положим в
формулах (3.22), (3.23) и (3.28)						x	x0	и подставим в левые
части		соответствующие значения					y	и производных при
x	x0	из (3.29). Из формулы (3.22) получаем:
		y (n	1)	x0				y (n 1) ,
		y (n	1)	(x)dx	C ,	C 0		y (n 1) ,	(3.30)
		0			1	1		0
				x0

где использовали равенство нулю определенного интеграла с одинаковыми верхним и нижним пределами интегрирования.

Первое из выражений в формулах (3.23) позволяет найти

	x0	s2
y	(n 2)	(s)ds ds	2	C (x	x	0	)	C	2	,	C 0	y	(n 2)	,	(3.31)
	0		2	1		0			2		2		0
	x0	x0

114

остальные формулы этого блока определяют постоянные

C30 y0(n 3) , Cn0	1 y0 .	(3.32)
Последнюю константу найдем аналогично из формулы
(3.28): Cn0 y0 .

Таким образом, найдены все значения постоянных, входящих в решение уравнения. Собирая результаты

вычислений (3.30)-(3.32), имеем:		C 0	y (n k )	(k	1, , n) ,
		k	0
или в подробностях:
C10 y0(n 1) , C20	y0(n 2) , , Cn0	1	y0 , Cn0	y0 .	(3.33)
Решение задачи	Коши (3.29)	получаем		подстановкой

найденных постоянных (3.33) в общее решение (3.28) уравнения (3.21):

	1	x				n	(n k ) (x x0 )n k
	1			n 1		n	(n k ) (x x0 )n k		. (3.34)
y			(x s)		(s)ds	y	0
y	(n 1)! x0		(x s)		(s)ds	y		(n k)!

					k	1

З а м е ч а н и е. Иногда функцию (3.34) называют

общим решением уравнения (3.21) в форме Коши. Однако в этом случае числа y0 , y0 , , y0(n 1) в формуле (3.34) являются произвольными постоянными.

б1 ) Рассмотрим частный случай – уравнения второго порядка вида

	y	(x) .			(2.35)
Пример.	Среди всех интегральных кривых уравнения
y 6x выделить ту, которая в начале координат					касается
прямой y x .
Решение.	Поскольку	искомая		интегральная	кривая
должна проходить через начало			координат, то y(0) 0 -
является первым условием. Прямая			y	x с угловым

______________________________________________________

1)Материал этого пункта входит в обязательный минимум лекционного курса по дифференциальным уравнениям.

115

коэффициентом k		1 должна быть касательной к искомой
линии y(x)	в начале координат.			Поэтому,	y (0)	1. Таким
образом, получили задачу Коши
	y	6x, y(0)	0,	y (0) 1.
Введем новую		функцию	z(x) y (x) .		Тогда	z	y .
Заданное	дифференциальное		уравнение		сводится		к

следующей системе дифференциальных уравнений 1-го порядка:

6x,

Решение первого уравнения имеет вид

z(x)

3x2

C .

Поскольку

y ,

то

z(0) 1.

Подставим

полученное

решение

0 ,

z(0)

получим

Решаем второе

уравнение,

подставив

его

правую

часть

3x2

Получим:

(3x2

1)dx C2 ,

y x3

x C2 .

Полагая,

y(0)

0 ,

получим

0 .

Искомая

интегральная кривая уравнения:

x .

3. Уравнение, не содержащее искомой функции и уравнение, не содержащее искомой функции, и нескольких первых производных.

В этом разделе будут рассмотрены несколько типов уравнений, допускающих понижение порядка.

а)* Рассмотрим дифференциальное уравнение вида

y(n) f (x, y(m) , y(m 1) , , y(n 1) )

(1 m n 1), (3.37)

причем, производная m -го порядка обязательно входит в уравнение.

Введем новую неизвестную функцию

z(x) y(m) .	(3.38)
Тогда y(n) z(n m) , y(n 1)	z(n m 1) , , y(m 1) z

и уравнение (3.37) запишется в следующем виде

116

z(n m)	f (x, z, z , , z(n m 1) .	(3.39)
Это уравнение	(n m) -го порядка . Введением замены

(3.38) удалось понизить порядок уравнения на m единиц. Пусть интегрируя уравнение (3.39), мы нашли его общее

решение
z	g(x, C1, , Cn m ) .			(3.40)
В силу (3.38) это означает, что получено уравнение для
функции y(x) вида:
y(m)	g(x,C , ,C	n m	) .	(3.41)
	1	n m

Уравнение (3.41) относится к типу, уже изученному в п.2 настоящего параграфа. Применяя метод, развитый для решения уравнения (3.29), получим формулу для общего решения уравнения (3.37) (аналог формулы (3.28)):

	1	x
y	1		(x s)m 1 g(s, C , , C				)ds
					n	m

	(m 1)! x0			1
	(m 1)! x0
	Cn m 1		(x x0 )m 1	Cn 1(x x0 ) Cn .
	Cn m 1		(m 1)!	Cn 1(x x0 ) Cn .
			(m 1)!

Отдельно рассмотрим два частных случая

вида (3.37).

а.1)* Рассмотрим уравнение вида: y(n) f ( y(n 1) ) .

Применяя подстановку		z(x) y(n 1) ,
уравнение первого порядка:
	dz	f (z).

	dx

Интегрируя, находим первый интеграл уравнения:

(3.42)

уравнения

(3.43)

получаем

f (z) x C1.

117

Предполагая возможным разрешение этого уравнения в элементарных функциях относительно z(x) , получаем

(x,C1)

или

y(n 1)

(x,C ).

(3.44)

Полученное уравнение относится к изученному типу

(3.29).

Используя

формулу

для

общего

решения

(3.28),

получим:

(x x0 )n 2

(x s)n 2 (s,C )ds C

2)!

(3.45)

Cn 1(x x0 )

Cn .

Формула (3.45) дает общее решение уравнения (3.43).

а.2)* Еще один тип уравнений, разрешаемых в квадратурах и представляющих собой частный случай уравнения (3.37), имеет вид:

y(n)	f ( y(n	2) ) .	(3.46)
Применяя подстановку		z(x) y(n 2) ,	получаем
дифференциальное уравнение второго порядка:
z	f (z) .		(3.47)

Уравнения такого вида встречаются в механике при изучении движения материальной точки. Понижение порядка уравнения до первого проводится следующим приемом.

Умножим обе части равенства (3.47) на	2z dx. Учитывая, что
2z z dx ((z )2 ) dx d(z )2 ,	z dx dz ,

запишем преобразованное уравнение:

d(z 2 ) 2 f (z)dz.

Интегрируя, получаем первый интеграл:

(z 2 ) 2 f (z)dz C1,

или

118

z2 f (z)dz C1 .

Полученное дифференциальное уравнение допускает разделение переменных. Выполнив его, найдем второй промежуточный интеграл:

			dz		x C2 .


		2 f (z)dz C1
		2 f (z)dz C1
Если удалось разрешить это				уравнение			относительно
z(x) , то имеем
		z	(x,C1,C2 ),
или
	y(n 2)		(x,C ,C		2	).	(3.48)
			1		2

Как и в предыдущем случае (п. 3.а.1, уравнение (3.44)), полученное дифференциальное уравнение (3.48) относится к изученному типу (3.29). Таким образом, общее решение может быть получено (n 2) квадратурами. Воспользовавшись

формулой (3.28), получим общее решение уравнения (3.46):

(x x0 )n 3

(x s)

(s, C , C

)ds C

3)! x0

3)!

(3.49)

x0 )n 4

Cn 1(x x0 )

Cn .

(n 4)!

б)1) Рассмотрим частный случай – уравнения второго

порядка вида

f (x, y ) ,

(3.50)

т.е. не содержащие искомую функцию y в явном виде.

Выполнив

подстановку

z(x)

y ,

получим

дифференциальное уравнение:

f (x, z).

(3.51)

119

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2612 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20225.18 Mб33432.pdf
#
15.11.20225.18 Mб23433.pdf
#
15.11.20225.21 Mб33436.pdf
#
15.11.20225.27 Mб23440.pdf
#
15.11.20225.28 Mб63442.pdf
#
15.11.20225.34 Mб23447.pdf
#
15.11.20225.34 Mб43448.pdf
#
15.11.20225.35 Mб13449.pdf
#
15.11.20225.36 Mб03451.pdf
#
15.11.20225.36 Mб43453.pdf
#
15.11.20225.37 Mб43454.pdf