3447

Следовательно, общий интеграл выражается в квадратурах.

Пример. Найти общий интеграл уравнения

y 2 y 6xy x 2 .

Решение. Это уравнение не является ни уравнением с разделяющимися переменными, ни однородным, ни линейным. Запишем его в симметрической форме:

дифференциальным уравнением в полных дифференциалах.

или, вычислив интеграл

x2 y 3y2 x y2 C.

З а м е ч а н и е. Формула (2.74) не имеет симметричной формы: в первом интеграле стоит функция P(x, y) , а во втором

- функция Q(x0 , y) , зависящая от одной переменной. Это связано с тем, что при выводе формулы исходным пунктом

являлось условие P Ux . Если же начать получение

60

также, как при выводе (2.74), получили бы общий интеграл уравнения (2.62), (2.63) в виде:

Разумеется, для записи общего интеграла уравнения в полных дифференциалах можно пользоваться любой из этих формул.

Пример. Найти общий интеграл уравнения

то, в соответствии с условием (2.68), данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Применяя

Использование формулы (2.74) привело бы также к этому выражению.

3. Рассмотрим решение задачи Коши для уравнения в полных дифференциалах. Можно, поступая по общему правилу, найти значения постоянной C исходя из общего интеграла в форме (2.74) или (2.75), используя заданные

61

начальные условия (напомним, что в этих формулах числа x0 и y0 - произвольны, выбираются из соображений удобства).

Однако, можно получит решение задачи Коши с

по теореме существования неявной функции, уравнение (2.76)

62

интегрированием уравнения с разделенными переменными, если в формуле (2.6) неопределенные интегралы заменить

обращаются одновременно в нуль, во первых - имеет общий интеграл, выражаемый в квадратурах, во вторых – начальным условием y(x0 ) y0 , где M 0 (x0 , y0 ) - любая точка указанной

области, определяется единственное решение.

Доказательство. Первая часть теоремы доказана в п.2 настоящего раздела и там же это решение было фактически

63

Полагая в выражении общего интеграла (2.74) C 0 , получим частный интеграл, удовлетворяющий начальному

теоремы о неявной функции. Поэтому можно утверждать, что

64

2.7. Приведение некоторых дифференциальных уравнений к виду уравнения в полных дифференциалах.

Интегрирующий множитель

Если условие (2.68) для коэффициентов в уравнении

является уравнением в полных дифференциалах. Естественно возникает вопрос: можно ли уравнение не в полных дифференциалах привести к виду уравнения в полных дифференциалах.

1. Введем понятие интегрирующего множителя.

Оказывается, что в ряде случаев уравнение вида (2.62) можно привести к уравнению в полных дифференциалах. Идея такого приведения состоит в нахождении такой функции

(x, y) , называемой интегрирующим множителем, после умножения, на которую уравнение

преобразуется в уравнение

в полных дифференциалах, то есть

В §2.6 показано, что необходимым и достаточным условием этого является соотношение (2.68), которое в рассматриваемом случае принимает вид

65

Равенство (2.81) рассматривается как дифференциальное уравнение, решением которого является интегрирующий множитель (x, y) . Выполняя дифференцирование, получим:

Полученное уравнение содержит неизвестную функцию (x, y) , и ее частные производные по x и по y , то есть

является дифференциальным уравнением в частных производных. Решение такого уравнения представляет более сложную задачу, чем решение исходного уравнения (2.78). Далеко не всегда из уравнения (2.82) удается найти интегрирующий множитель и выразить с помощью квадратур.

2. Построение интегрирующего множителя в частных случаях.

Достаточно просто интегрирующий множитель находится в случаях, когда он является функцией одной переменной - x или y .

Рассмотрим сначала случай интегрирующего множителя, зависящего только от x . Пусть уравнение (2.78)

поскольку 0 . Уравнение (2.83) является обыкновенным y

дифференциальным уравнением. Из (2.83) разделяя переменные, имеем:

равенства, а, следовательно, и правая часть этого равенства.

66

Таким образом, для существования интегрирующего множителя вида (x) необходимо, чтобы

Запишем уравнение (2.84) в виде

Таким образом, условие (2.81) выполнено и уравнение (2.79) для нашего случая будет являться уравнением в полных дифференциалах.

Итак, доказано утверждение:

Для того чтобы дифференциальное уравнение (2.78)

67

было функцией только от x . В этом случае интегрирующий множитель находится по формуле:

Пример. Найти интегрирующий множитель линейного уравнения y p(x) y q(x).

Решение. Запишем уравнение в симметрической форме: p(x) y q(x) dx dy 0.

68

При этом условие (2.89) является необходимым и достаточным для того, чтобы уравнение (2.78) имело такой интегрирующий множитель.

Имеется, помимо рассмотренных, немногочисленные случаи, для которых интегрирующий множитель находится без затруднений. Например, легко находится интегрирующий множитель уравнения с разделяющимися переменными, однородного дифференциального уравнения 1-го порядка и в некоторых других случаях, на которых мы не будем останавливаться.

Рассмотрим примеры интегрирования конкретных дифференциальных уравнений с помощью интегрирующего множителя.

ни уравнением с разделяющимися переменными, ни однородным, ни линейным, ни уравнением Бернулли. Выясним, является ли оно уравнением в полных

Видим, что условие не выполняется. Проверим, имеет ли уравнение интегрирующий множитель, зависящий только от x , воспользовавшись условием (2.85). Имеем:

Уравнение имеет интегрирующий множитель, зависящий от x , который находим по формуле (2.87):

69