1323

Applied

Finite Element

Analysis

Larry J. Segerlind

Associate Professor

Department of Agricultural Engineering

Michigan State University

John Wiley and Sons, Inc.

New York/London/Sydney/Toronto

1976

Л. СЕГЕРЛИНД

ПРИМЕНЕНИЕ

МЕТОДА

КОНЕЧНЫХ

ЭЛЕМЕНТОВ

Перевод с английского канд. физ.-мат. наук

А. А. ШЕСТАКОВА

под редакцией Д-ра физ.-мат. наук

Б. Е. ПОБЕДРИ

ИЗДАТЕЛЬСТВО

«сМИР»

Москва 1979

Книга представляет собой руководство по широко используемому в настоя­ щее время методу конечных элементов, позволяющему получать численные реше­ ния инженерных, физических и математических задач. Детальное обсуждение основных идей метода сопровождается пример-ами, иллюстрирующими технику его применения. Приводится большое число простых программ, написанных на алгоритмическом языке ФОРТРАН и служащих учебным целям.

Книга предназначена для инженеров-конструкторов, специалистов в области механики сплошных сред, физиков, математиков, а также для аспирантов и сту­ дентов старших курсов технических вузов.

Редакция литературы по новой технике

© Перевод на русский язык, «Мир», 1979

Л. Сегерлинд

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Ст. научный редактор Л. Якименко. Мл. научный редактор Е. Орлова. Художник Е. Са­ мойлов. Художественный редактор Л. Безрученков. Технический редактор Г. Алюлина. Корректор В. Соколов

ИБ № 1259

Сдано в набор 19.07.78. Подписано к печати 08.02.79 Формат 60X90Vie. Бумага кн. жури.

Гарнитура латинская. Печать высокая. Объем 12,25 бум. л. Уел. печ. л. 24,60. Уч.-изд. л. 21,10. Тираж 12000 экз. Зак. 763 Цена 1 .р. 80 к.

Издательство «Мир» Москва, 1-й Рижский пер., 2.

Перед каждым вычислителем стоит проблема — получить ре­ шение важной практической задачи с наименьшими затратами ма­ шинного времени и наперед заданной точностью..

В подходе к решению указанной проблему можно выделить два напр а.вления: матем ат.ическое (теоретичное,) и инженерное (практическое). Эти направления можно проследить на одном из самых распространенных и «модных» в настощее время методов решения задач математической физики — методе конечных элемен­ тов (МКЭ). Представители первого направления (теоретики) час­ то называют этот метод вариационно-разностным, подчеркивая тем самым его математическую природу. Они занимаются мате­ матическим обоснованием МКЭ, т. е. проводят теоретический ана­ лиз его 'сходимости и точности реализации. Представители же вто­ рого направления (инженеры) решают довольно сложные техниче­ ские задачи, часто не задумываясь над строгим обоснованием при­ меняемых ими приемов. Однако, чтобы не получить «кота в меш­ ке», они проверяют работу построенных алгоритмов и программ на известных точных решениях.

Наиболее полно отражают современное состояние первого и второго направлений соответственно книги Г. Стренга и Дж. Фик­ са [и и О. Зенкевича [2]. Эти направления интенсивно разви­ ваются, взаимно дополняя и обогащая друг друга*.

Предлагаемая советскому читателю книга Л. Сегерлинда не содержит существенно новых результатов ни по первому, ни по второму направлениям. Тем не менее она окажет несомненную пользу широкому кругу читателей, ибо представляет собой хоро­ ший самоучитель по МКЭ. Она предназначена для всех, кто хочет овладеть практическими основами МКЭ, «набить руку» в решении простейших задач. Проработав данную книгу, читатель легко спра­ вится с составлением сложной программы для интересующей его задачи и сможет изучать тонкие вопросы МКЭ по монографиям и периодической литературе.

Следует отметить, что .автор ссылается в основном на работы американских авторов, хотя большой вклад в развитие МКЭ внес­

[4, 5]. Идеи метода конечных элементов используются советскими учеными при решении различных технических проблем [9— 12].

Мы 1надеем!ся, что эта книга будет с оштересом принята студен­

тами, аспирантами, инженерами и научными сотрудниками самых различных областей /науки и техники.

Б. Е. Победря

ЛИТЕРАТУРА

1. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. — М.: Мир, 1977. 2. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. — М.: Мир, 1975.

3.Метод конечных элементов в строительной механике и механике сплошных сред, Библиографический указатель. Зарубежная литература, 1970— 1972, Л.* вып. 1—2, 1973.

4.Обэн Ж.-П. Приближенное решение эллиптических краевых задач. — М.: Мир 1977.

5.Ciarlet Р. G. The Finite Element Method for Elliptic Problems, North-Holland, Amsterdam, 1978.

7.Розин Л. А. Метод конечных элементов в приложении к упругим системам. — М.: Стройиздат, 1977.

8.Корнеев В. Г. Схемы метода конечных элементов высоких порядков точно­ сти, изд-во ЛГУ, 1977.

9.Безухов Н. И., Лужин О. В. Приближение методов теории упругости и пла­ стичности к решению инженерных задач. — М.: Высшая школа, 1974.

10.Постнов В. А., Хархурим И. Я. Метод конечных элементов в расчетах судо­ вых конструкций. — М.: Судостроение, 1974.

И.Александров А. В. и др. (под общей редакцией А. Ф. Смирнова). Методы расчета стержневых систем, пластин и оболочек с использованием ЭЦВМ.— М.: Стройиздат, 1976, ч. 1, ч. 2.

12.Слесарев И. С., Сиротин А. М. Вариационно-разностные схемы в теории пе­ реноса нейтронов. — М.: Атомиздат, 1978.

13.Оганесян Л. А., Ривкинд В. Я., Руховец Л. А. Вариационно-разностные мето­ ды решения эллиптических уравнений. Сб. «Дифференциальные уравнения к их приложение». Вильнюс, вып. 5, 1973, вып. 8, 1974.

14.Михлин С. Г. Вариационно-сеточная аппроксимация. Сб. «Численные методы,

иавтоматическое программирование». Записки научных семинаров ЛОМИ — М.: Наука, т. 48, 32—188, 1974.

15.Дьяконов Е. Г. Проекционно-разностные и разностные методы решения не­ линейных стационарных задач теории упругости и пластичности. Сб. «Числен­ ные методы механики сплошной среды», т. 7, № 5, 14—78, 1976.

16.Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. — М.: Наука, 1977.

17.Дьяконов Е. Г. О некоторых модификациях проекционно-разностных мето­ дов. Вестник Московского университета, Сер. «Вычислительная математика а кибернетика», № 2, 3—19, 1977.

Посвящается Донне, Джону, Керэн и Брайену

ПРЕДИСЛОВИЕ

Метод ко1Н1еч.ных элементов представляет собой эффективный

численный метод решения инженерных и физических задач. Об­ ласть его применения простирается от анализа напряжений в кон­ струкциях самолетов или автомобилей до расчета таких сложных систем, как атомная электростанция. С его помощью рассматрива­ ется движение жидкости по трубам, через плотины, в пористых средах, исследуется течение сжимаемого газа, решаются задачи электростатики и смазки, анализируются колебания систем.

Эту книгу следует рассматривать как введение в метод конеч­ ных элементов в том его виде, как он применяется к задачам кон­ тинуального типа. В ней приводятся основные идеи метода и спо­ собы их реализации. Изложенного материала более чем достаточ­ но для первоначального ознакомления с методом студентов стар­ ших курсов и аспирантов.

Книга ориентирована на тех, кто1 хочет научиться применять метод конечных элементов, т. е. получать численные решения кон­ кретных задач. Поэтому она представляет интерес для инженеров, физиков, а также математиков, изучающих основные положения метода. Предварительных знаний о методе конечных элементов не требуется.

В монографии отражены работы многих исследователей, и я не утверждаю, что в большей части она оригинальна. Однако по­ рядок расположения материала существенно отличается от других книг и является результатом моего опыта преподавания инжене­ рам, которые применяют метод при решении задач, выходящих за рамки традиционных областей механики сплошных сред. Большин­ ству этих инженеров приходится решать технические задачи. По­ этому в книге рассматриваются прикладные аспекты метода. Ма­ тематические основы метода конечных элементов безусловно важ­ ны, но я считаю, что они должны изучаться после того, как станет понятно, как реализовать метод и какого типа результаты он мо­ жет дать.

В книгу включено примерно 180 задач. Большинство из них ре­ шается вручную, многие связаны с модификацией программ, при­ веденных в гл. 18, практические задачи решаются на ЭВМ.

Программы, представленные оз гл. 18, имеют одну особенность. Они написаны специально в учебных целях и используются при рассмотрении конкретных областей применения. Их главное пре­ имущество заключается в ограниченном числе требуемых исход­ ных данных. Это сокращает время, необходимое для того, чтобы объяснить, как ими пользоваться. Входными параметрами для этих программ являются данные элементов, согласованные с результа­ тами, которые получаются при работе программы, осуществляю­ щей разбиение области. Последняя программа также дана в гл. 18.

Яобязан многим, и в частности д-ру Стауту за его поддержку

впроцессе подготовки курса, который положен в основу этой кни­ ги. Я также признателен моим студентам за их ценные замечания. Особенно хочется выразить благодарность Дж. Роберту Куку, Джорджу Мейсу, Роберту Гастафсону, С. М. Шерифу и Джосу де Бердемекеру за их замечания и полезные советы, а последнему и

за предложение названия мнили. Наконец, я благодарен г-же Д ж у­ лии Хофман и г-же Барбаре Сайме за их труд по перепечатке рукописи.

Глава 1

МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Метод конечных элементов является численным методом реше­ ния дифференциальных уравнений, встречающихся в физике и тех­ нике. Возникновение этого метода связано с решением задач кос­ мических исследований (1950 г.). Впервые он был опубликован в работе Тернера, Клужа, Мартина и Толпа [4]. Эта работа спо­ собствовала появлению других работ; был опубликован ряд статей с применениями метода конечных элементов к задачам строитель­ ной механики и механики сплошных сред. Важный вклад в теоре­ тическую разработку метода сделал в 1963 г. Мелош [2], который показал, что метод конечных элементов можно рассматривать как один из вариантов хорошо известного' метода Рэлея—Ритца. В строительной механике метод конечных элементов минимизацией потенциальной энергии позволяет свести задачу к системе линей­ ных уравнений равновесия.

Связь метода конечных элементов с процедурой минимизации привела к широкому использованию его при решении задач в дру­ гих областях техники. Метод применялся к задачам, описываемым уравнениями Лапласа или Пуассона. Решение этих уравнений так­ же связано с минимизацией некоторого функционала. В первых публикациях [6, 7] с помощью метода конечных элементов реша­ лись задачи распространения тепла. Затем метод был применен к задачам гидромеханики, в частности к задаче течения жидкости в пористой среде.

Область применения метода конечных элементов существенно расширилась, когда было показано [3, 8], что уравнения, опреде­ ляющие элементы в задачах строительной механики, распростра­ нения тепла, гидромеханики, могут быть легко получены с по­ мощью таких вариантов метода взвешенных невязок, как метод Галёркина или способ наименьших квадратов. Установление этого факта сыграло важную роль в теоретическом обосновании метода конечных элементов, так как позволило применять его при решении любых дифференциальных уравнений. Следует отметить, что более общие теоретические обоснования исключают необходимость вари­ ационной формулировки физических задач.

Метод конечных элементов из численной процедуры решения задач 'строительной механики превратился в общий метод числен­