1323

ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА. ОДНОМЕРНЫЙ ЭЛЕМЕНТ

В шести предыдущих главах при обсуждении различных обла­ стей применения метода конечных элементов использовались симп­ лекс-элементы. Другой подход к прикладным задачам состоит в применении элементов высокого порядка, т. е. комплексили муль­ типлекс-элементов. Напомним, что число узлов в таких элементах превышает размерность решаемой задачи более чем на единицу. При таком подходе для достижения заданной степени точности решения требуется меньшее количество элементов, что приводит к сокращению числа перфокарт с исходными данными об элементах, а это в свою очередь уменьшает вероятность ошибки при обработ­ ке данных. Применение элементов высокого порядка не всегда, однако, ведет к сокращению полного времени счета на ЭВМ. Для составления матриц элемента необходимо использовать методы численного интегрирования, которые требуют выполнения большо­ го числа арифметических операций и, следовательно, увеличивают полное время счета, затрачиваемое на обработку одного элемента. Однако эти дополнительные затраты машинного времени компен­ сируются, вероятно, экономией времени в процессе обработки ис­ ходных данных.

В тех прикладных областях, где градиенты искомых величин не могут быть надлежащим образом аппроксимированы системой ку­ сочно-постоянных функций, использование элементов высоких по­ рядков позволяет получать более точные результаты.

Сокращение времени обработки исходных данных в сочетании с большей точностью результатов расчета служит достаточным; основанием для изучения возможностей применения указанных элементов.

В этой главе основное внимание будет сосредоточено на об­ суждении одномерного элемента. В первом разделе рассматрива­ ются функции формы, второй раздел иллюстрирует применение квадратичного элемента. Использование естественной системы ко­ ординат и методы численного интегрирований обсуждаются в третьем и четвертом разделах, причем эти вопросы включены в данную главу потому, что при рассмотрении одномерного элемента упрощается иллюстрация их реализации. Действительная необхо­ димость в методах численного интегрирования будет пояснена в

Таким образом, если в интерполяционном полиноме (13.2) заме­ нить а линейными комбинациями узловых значений Фр, то после надлежащей перегруппировки получим, что функции формы долж­ ны быть такого же типа, как аппроксимирующая функция. Напри-

-----------

Найти произвольные константы в (13.11) просто, если заметить, что N = 0 во всех узлах, отличных от узла (5. Это требование мо­ жет быть удовлетворено за счет подбора сомножителей в (13.11) таким образом, чтобы каждый из них обращался в нуль в одном из узлов. Совокупность функций ft, каждая из которых обращается в нуль в определенном узле, показана для квадратичного элемен­ та на фиг. 13.2. Положим

(Р фиксировано, 6 = i, /» k,

Представим N р в виде

На фиг. 13.3 приведены выражения функций формы для линей­ ного, квадратичного и кубичного элементов в одномерном случае-

Пример

8=i, j, k соответствуют выражения

Ft= 1, так как 6 = i = p ,

F j= fj= (l - 2 x /L ),

F k = f k = ( l - x / L ) .

Вычисляя значения этих функций в точке x= Z p = 0, получаем.

13.2. Применение квадратичного элемента

Элементы высокого порядка применяются так же, как симп­ лекс-элементы, поскольку выбор интерполяционного полинома не связан с исходными дифференциальными уравнениями. Однако есть смысл рассмотреть применение квадратичного элемента, ко­ торый обсуждался в предыдущем разделе, с тем, чтобы закрепить наши знания, связанные с реализацией метода конечных элемен­ тов.

В качестве примера рассмотрим одномерную задачу переноса тепла из гл. 8. Задача состоит в том, чтобы определить распреде­ ление температуры по длине стержня, подверженного конвектив­ ному теплообмену.

Уравнения для элемента, выведенные в гл. 5, имеют вид

Так как мы пользуемся квадратичным элементом вместо линейно­ го элемента, который применялся в гл. 8, все интегралы в (13.15) должны быть вычислены заново.

Во внутренних точках элемента температура определяется с помощью матрицы функций формы [IV]:

Учитывая, что в данном случае [/)] = [/(**] и dV—Adx, интеграл

Интеграл от теплового потока q идентичен уже вычисленному интегралу (13.21), поэтому можно сразу записать

где q — заданный поток в узле i. Объемный интеграл, включающий источник тепла Q, вычисляется также легко:

Применение полученных соотношений иллюстрируется ниже на примере того же стержня кругового сечения, который был рассмот­ рен в гл. 8 (стр. 139).

Пример

127. Нужно определить распределение температуры в стержне кругового сечения, изображенном ниже.

}50°С

Матрица [ # 2)] содержит дополнительное слагаемое в связи с тем, что на свободном конце второго элемента тоже происходит тепло­ обмен. Для вектор-столбцов {/(1)} и {/(2)} имеем

После подстановки числовых значений исходных данных получаем

Соотношения, включающие эти элементы в единую дискретную мо­ дель, имеют вид

Объединение уравнений, определяющих отдельные элементы, про­ изведем методом прямой жесткости. В результате придем к систе­ ме уравнений