1323
.pdfРешение по методу конечных элементов можно было бы улучшить, если использовать более короткие элементы вблизи стены, в кото рую заделан стержень.
В предыдущем примере площадь поперечного сечения стержня была постоянной. Этого требовать необязательно. Площадь мо жет быть также функцией длины элемента. Если площадь элемен-
Фиг. 8.2. Одномерный элемент с переменной площадью сечения.
та меняется по длине, то матрица элемента должна быть преобра зована. Обсудим теперь это преобразование.
Рассмотрим элемент, изображенный на фиг. 8.2. Его площадь поперечного сечения изменяется от Л, на левом конце до Л;-на пра вом. Если ограничиться случаем линейного изменения площади, можно сразу записать соотношение для площади
|
A = N [Ai + NJAj, |
|
(8.27) |
||
где Ni и Nj — линейные функции формы. |
|
|
|||
Следующий |
шаг — определение матриц |
элемента. |
Используя |
||
для вычисления |
[№] первую часть формулы (8.15), получаем |
||||
|
|
Кхх |
L |
|
|
\в\т[D] [B]dV = |
j J Adx. |
(8.28) |
|||
L2 |
|||||
V |
|
|
о |
|
|
Так как величина А в этой формуле не постоянна вдоль х, ее нель зя вынести за знак интеграла. Подстановка выражения (8.27) в (8.28) дает
Кхх |
dx. |
|
L2 |
||
|
Выполняя интегрирование, получаем
к»» Г 1 — H U |
L |
ИЛИ
Ас ~Ь A j |
(8.29) |
|
2 |
||
|
Так как (Ai-{-Aj)/2 равно средней площади элемента, выражение
(8.29) может быть записано как
I |
[В]т[D][B] dV = КХХА ' 1 |
— Г |
(8.30) |
— 1 |
1 |
|
|
|
|
где А — средняя площадь. Формула (8.30) совпадает с (8.15) с точностью до замены площади на ее среднее значение.
Интегралы по боковой поверхности могут быть выражены ана логичным образом. Периметр можно записать в виде соотношения
P ^ N fr + N jP ,, |
|
|
(8.31) |
|
с учетом которого имеем |
|
|
|
|
rpv? |
NIN/I |
(8.32) |
||
‘J[W]r [ЛГ] dS=h J [NiN, |
Nj |
\ Pdx. |
||
|
||||
Первый коэффициент в (8.32) после подстановки Ni и Nj и вычис ления интеграла будет равен
L |
|
|
|
|
|
|
JN*Pdx = |
|
|
dx= -jg- (3Pt + Pj). |
(8.33) |
||
Поверхностные интегралы представляются |
соотношениями |
|
||||
[Wf [TV] dS |
la r m P t+ P ,) |
(Pi+Pj) ' |
(8.34) |
|||
12 1(Л + Л ) |
(Pi+3Pj). |
|||||
|
|
|||||
и |
hT^L |
|
|
|
|
|
[jV]r dS |
2 |
Г |
|
(8.35) |
||
6 |
1 |
2 |
|
|||
|
|
|
||||
Сложив матрицы (8.30) и (8.34), можно получить [# е>]. Соот ношение (8.35) дает часть {/<*>}. Из формул (8.34) и (8.35) ясно, что их нельзя получить из (8.17) или (8.21) простой подстановкой среднего периметра в случае элемента конической формы.
8.3. Двумерный перенос тепла
Треугольный элемент с тремя узлами широко используется для решения двумерных задач теплопроводности. Этот элемент уже применялся при рассмотрении кручения некругового стержня, и теперь можно воспользоваться некоторыми результатами, получен ными в гл. 6 . Напомним функции формы для линейного треуголь
ного элемента:
Wp = 2^|-(ар + |
&рХ + |
срг/), |
р= /,/,£ , |
(8.36) |
где ар, йр, ср определены в |
(3.10). Температура дается формулой |
|||
T = [N t Nj |
Nk) |
|
(8.37) |
|
где Ti, Tj и Тк— значения температуры в узлах, последовательно проходимых от узла i в направлении, противоположном направле нию движения часовой стрелки.
Запишем еще матрицу градиентов [5 ]: |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
(8.38) |
и матрицу свойств материала [D]: |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
(8.39) |
Теперь |
можно вычислить матрицу |
теплопроводности элемента. |
||||
Первое слагаемое принимает вид |
|
|
|
|
||
( 1 в Г М [В | Л' = ( т ^ Ь |
с, |
° 1 Р ‘ |
Ь‘ |
*‘W . (8.40) |
||
V |
v |
Ьк |
ск |
L u AwJLci |
CJ |
C*J |
|
|
ск |
|
|
|
|
Предполагая толщину элемента единичной, заменим dV на dA. Подынтегральное выражение в (8.40) постоянно и может быть вынесено за знак интеграла:
j |
[В\т[D] [В] dV=[B\r (D1 [SI f dA=A ifilr [D] [B\. |
(8.41) |
V |
A |
|
Вычисляя произведение матриц, имеем
ЬА |
Ьф, |
Ь А 1 |
|
~cft |
C fi |
[C fk |
|
bjb. |
ЬА |
ЬА |
1 |
Куу |
C fi |
Lc f k |
(8.42) |
^ |
4А C fi |
||||||
ькь. |
bkbj |
Ь А |
|
C f, |
C fi |
Cfk |
|
Второй интеграл f ft[N]T[iV]dS должен быть вычислен по поверх-
's
ности. Подставляя в матрицу [N] функции формы и выполняя мат ричное умножение, получаем
^h[N]T [N] dS—h |
~ N tN t |
N tN } |
|
N j N i |
N jN , |
||
s |
s1 |
N kN l |
N kN j |
N ,N k~
N }N k dS. (8.43)
N kN k
Функции формы зависят от x и у, поэтому произведения вида N{Nj не могут быть вынесены за знак интеграла. Кроме того, зна чение интеграла зависит от того, на какой поверхности наблюда-
Фиг. 8.3. Конвективные потери тепла вдоль одной из сторон треугольного элемента.
ется конвективный теплообмен. Если, например, конвекции подвер жена сторона между узлами i и / (фиг. 8.3), то Nk равно нулю вдоль этой стороны и интеграл сводится к следующему выражению:
ГN tN t |
N , N j |
dS. |
(8.44) |
^h[N\T [N] dS= h j NjN, |
NjNj |
0 0
Если любая из двух других сторон подвержена конвекции, то рас положение отличных от нуля членов в (8.43) будет иным, чем в
(8.44).
Вычисление произведений в (8.43) не представит труда, если применить L-координаты и интегральные формулы (3.43). Пред полагая, что L\ измеряется от стороны, противоположной /-му уз лу, можно записать
L i= N t, |
L 2= N j и L 3= N k. |
10-763
Если предположить, что конвективный теплообмен имеет место на
поверхности стороны элемента между узлами i |
и /, |
то в точках |
|
этой поверхности Nh=L3=0 и соотношение |
(8.44) |
примет вид |
|
■^2^2 |
dX, |
(8.45) |
|
О |
|
|
|
где dS=tdX, причем толщина t предполагается единичной. Два типа произведений входят в формулу (8.45): квадрат величины L\ или L% и перекрестное произведение L\L2. Начнем с квадратных членов:
ГL\dX = |
ГL \L\dX = |
— ___ |
XU= ^ L , |
||||
J |
1 |
J |
1 2 |
(2 + 0 + 1)! |
" |
3 ’ |
|
Хи |
Хи |
|
|
|
|
|
|
где %6{j — длина стороны |
между узлами |
i и /. Интегрирование пе |
|||||
рекрестного произведения дает |
|
|
|
' |
|||
|
J L^dX= (1 + 1 + 1)1 |
|
6 |
||||
|
|
|
|
Ш\Хц |
|
Хц |
|
|
Хи |
|
|
|
|
|
|
Интегралы |
\LldX |
и |
\L\dX |
равны |
между |
собой. Подставляя |
|
тт
полученные результаты в формулу (8.45), получаем
h [[N ]T [N\dX=4J ^ L i 2 |
0 |
(8.46а) |
|
Хц |
_L° о |
о |
|
Аналогичные соотношения получаются для стороны между узла ми / и k:
а |
Г° |
0 |
0" |
* (8.466) |
f h[N\T [ N ] d S = ^ t |
0 |
2 |
1 |
|
4 |
|
|
|
L° 1 2J |
и для стороны между узлами k и i: |
|
|
|
|
jA[W]r [N]dS-- hXи |
'2 |
0 |
Г |
(8.46B) |
0 |
0 |
0 |
||
|
1 |
0 |
2 |
|
Три интеграла в выражении для вектора нагрузки элемента также легко вычисляются, если воспользоваться L-координатами.
Начнем с интеграла f [N]TQdV; предположим, что величина Q
V
постоянна внутри элемента. Тогда будем иметь
(8.47)
Таким образом, тепло, генерируемое в элементе, распределяется поровну по трем узлам. Интегралы f [N]TqdS и f [N^hToodS за-
•Si |
s2 L 1 |
писываются в одинаковой форме: |
|
JVj |
|
INAdS, |
(8.48) |
так что только один из них необходимо вычислить. Поскольку ин теграл (8.48) поверхностный, его можно рассмотреть так же, как интеграл (8.43). Результаты зависят от того, на какой из сторон элемента происходит конвективный теплообмен, характеризуемый величиной h, или приток тепла за счет теплового потока q. Пред полагая q постоянным по поверхности элемента, получим для ин теграла (8.48) три следующие формы записи:
|
2 |
{!! |
|
|
|
я Х ц |
|
(8.49а) |
|
|
|
|
||
|
|
1° |
|
|
q^[N]TdS = |
q X Jk |
(01 |
(8.496) |
|
1 |
||||
2 |
||||
|
И |
|
||
|
|
|
||
|
|
(11 |
(8.49в) |
|
|
ч £ ы |
0 |
2
ь
Величина
ЛТоо j [N]T dS s
идентична (8.49a) — (8.49в) с учетом замены q на fiToo.
Если тепловой поток или конвективный теплообмен наблюда ются на двух сторонах элемента, то поверхностный интеграл за меняется суммой интегралов по каждой из сторон. То же самое относится к интегралу (8.43).
В большинстве задач о переносе тепла интерес представляют значения температуры в узловых точках. Иногда бывает необходи-
10*
мо определять градиенты температуры. После того как определе ны узловые значения, градиенты температуры находятся с помо щью соотношения
’дТ
дх
дТ
,дУ ,
|
1 |
------1 |
R |
1 |
Jpr |
||
— 2А |
ci cj |
Ck. |
.1 T i■ |
|
w |
(8.50)
Численный пример, который приводится ниже, иллюстрирует применение полученных выше соотношений.
Пример
60. Ниже изображен элемент, который использован для дискре тизации сплошной среды. По двум поверхностям этого элемента происходит конвективный теплообмен. Указаны размеры элемента и физические характеристики. Требуется составить матрицы эле мента, предполагая его толщину единичной.
Рассмотрим матрицу теплопроводности элемента:
|
\ Ь А |
bib, |
btbk1 |
Kyy |
~c,c, |
CiCj |
W k |
+ |
|
|
|
|
4А |
btbj |
bjbj |
bjbk + |
ctc, |
C J C J |
|
|
|
|
|||
Ь А |
bjbk |
bkbk |
4A |
_clck |
Cfk |
W k |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
h£ lk |
о |
о |
о |
h%ki |
' 2 |
0 |
1 - |
|
|
|
|
|
0 |
2 |
1 + |
0 |
0 |
0 ' |
||
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
6 |
|
|
|
0 |
1 |
2 |
1 |
0 |
2 |
Константы b и с вычисляются по формулам
b i~ Y j — Yk= 0 —4 = —4, b j= Y k- Y i = 4 - 3 = l, bk= Y t —Y j= 3 —0 = 3 , ci= X k—Xj—6—7 = —1 ,
C j= X t —X A= 3 —6 = —3, C — X j —Х г= 7 —3 = 4 ,
1 |
* 1 |
Yl\ |
1 |
3 |
3 |
1 |
*1 |
Yj = |
1 |
7 |
0 |
1 |
Xk |
Yk |
1 |
6 |
4 |
Длины сторон Xjk и Xkl равны |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Ч = V i X j - X J * + ( Y j - Y k)*= |
V (7—6)2 + (0 —4)2= ]/T 7 = 4 ,1 2 |
см, |
|||||||||||
^ = Т / ( ^ - ^ ) 2 + ( П - К ,) г= У ( 6 - 3 ) !! + |
( 4 - 3 ) а= -1/Т 0=3,16 |
см. |
|||||||||||
Подстановка полученных числовых значений в_[^(е)] дает |
|
|
|||||||||||
|
' |
16 |
—4 |
— 1 2 1 |
30 |
* 1 |
|
3 |
—4" |
|
|
||
|
30 |
—4 |
1 |
3 |
|
3 |
|
9 |
— 12 4- |
|
|
||
|
26 |
1 |
16 |
|
|
|
|||||||
|
— 12 |
3 |
9 |
—4 |
— 12 |
|
16_ |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
[5(4,12) |
0 |
0 |
0 |
|
2 |
0 |
Г |
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
1 |
5(3,16) |
0 |
0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
2 |
|
1 |
0 |
2 |
или |
|
|
|
|
|
|
6,32 |
0 |
|
3,16' |
|
|
|
|
30 |
17 |
— 1 |
— 16' |
|
|
|
|
|||||
[*<е)] |
— 1 |
10 |
—9 |
+ |
|
О |
8,24 |
4,12 |
|
|
|||
26 |
|
|
|
||||||||||
|
— 16 |
—9 |
25 |
|
|
3,16 |
4,12 |
14,56 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24,88 |
— 1,15 |
21,09“ |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1,15 |
18,41 —6,96 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21,09 |
—6,96 |
40,98 |
||
Вектор нагрузки элемента {р>} представляет собой сумму двух |
|||||||||||||
поверхностных интегралов |
по |
каждой |
из |
сторон, |
где происходит |
||||||||
конвективный теплообмен:
hT~ z jk |
ki |
5.50.4,12 |
•т |
2 |
] |
|
|
[1 |
• 0 |
|
(3161 |
. 515 |
+ |
0 |
515 |
|
I316 |
8.4. Трехмерный случай переноса тепла
Вывод соотношений для элемента в трехмерных задачах пере носа тепла аналогичен соответствующим процедурам в одномер ном и двумерном случаях. В качестве элемента дискретизации рас смотрим тетраэдр с четырьмя узлами. Функции формы, соответст вующие данному случаю, имеют вид
-'Vp= Q p bf,x -|- Сру dp,z, (8.51)
где константы вычисляются с использованием определителей или матричным умножением, как показано в гл. 3. Запишем необхо димые матрицы
|
|
[N] = |
[jVt Nj Nk N,], |
|
|
(8.52) |
||||
|
|
|
|
A |
b; |
bk |
bt |
|
|
(8.53) |
|
|
|
|
|
CJ |
Ck |
Cl |
|
|
|
|
|
|
|
d , |
|
d„ |
d, |
|
|
|
Интегралы довольно легко вычисляются, если воспользоваться |
||||||||||
объемными L-координатами |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Z.i^=yVj, |
L>2 :==zNj9 |
|
|
и L4=iVz. |
|
||||
Вычисление интегралов дает следующие результаты: |
|
|||||||||
|
|
Кхх |
A bi |
btb, |
ЬА |
bibf |
|
|
|
|
j[ B ] r [D][B] d V = - |
|
bib, |
ЬА |
ЬА |
+ |
|
|
|||
v |
|
36У |
|
|
ЬА |
ЬА |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Симметрично |
ЬА |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
A Cl |
С,С, |
c tck |
C f C |
d-A i |
d'xd j |
d A k |
d td i |
|||
к,уу |
C j C j |
C f k |
Cfii |
, |
Кгж |
|
d j d j |
d j d k |
d j d l |
|
+ 36К |
|
Clfk |
ckc i |
36V |
|
|
|
d kdk |
(8.54) |
|
|
|
|
|
|
|
|
d kd i |
|||
Симметрично |
C f i i _ |
Симметрично |
d tdi_ |
|
|
|
|
|
-o |
0 |
О |
0" |
|
|
Jh [W f М |
dS |
hSJkl |
0 |
2 |
1 |
1 |
|
(8.55) |
||
12 |
|
0 |
1 |
2 |
1 |
’ |
||||
S |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
0 |
1 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
1 |
• |
|
|
|
|
|
j |
[W]r QdV |
QV |
1 |
|
|
|
|
|
(8.56> |
|
4 |
1 |
Г |
|
|
|
|
||||
V |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
J TuJi [(V]r dS |
|
|
|
1 |
|
|
|
(8.57> |
||
|
3 |
|
1 |
|
|
|
||||
s |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для интеграла |
(8.55) |
существуют три |
другие |
|
формы записи,, |
|||||
по одной на каждую из оставшихся сторон. В каждой из них зна чения коэффициентов на главной диагонали равны двум и зна чения ненулевых коэффициентов вне главной диагонали равны, единице. Коэффициенты в строках и столбцах, соответствующих узлам, расположенным вне рассматриваемой поверхности, равны нулю. Для интеграла (8.57) тоже существуют три другие формы, записи. Нулевой коэффициент находится в строке, соответствую щей узлу вне рассматриваемой поверхности. Sijh — площадь по верхности, содержащая узлы i, j, k и т. д.
8.5. Преобразования координат
При выводе уравнения (8 .1 ) используется предположение, важ
ное для применения метода конечных элементов к задачам, рас сматривающим анизотропные материалы. Главные оси инерции должны быть параллельны координатным осям. Матрицы элемен та должны быть составлены относительно главных осей инерции,, которые могут быть различным образом ориентированы относи тельно глобальной системы координат.
Это требование усложняет ввод исходной информации о коор динатах узлов элемента. Если координаты узловых точек измеря ются относительно глобальной системы координат, то для вычис ления координат узлов в локальной системе координат необходи мо выполнить преобразование координат. Включение преобразова ния координат в программу обычно несложная задача, но она тре бует использования некоторых приемов для того, чтобы указывать-