1323

Если треугольная подобласть криволинейная, криволинейные границы элементов заменяются иа прямые отрезки. Разбиение криволинейной треугольной зоны на линейные треугольники пока­ зано на фиг. 2.5, б. Штриховой линией представлена исходная фор­ ма, сплошными линиями изображены элементы.

Нежелат ельное

разбиение

Фиг. 2.6. Деление области в виде четырехугольника на линейные треугольные элементы.

Если на стороне треугольной подобласти выбрано п узлов, чис­ ло треугольных элементов в результате разбиения равняется

( я - 1 ) 2.

Четырехугольные зоны обычно разбивают на элементы соеди­ нением узлов на противоположных сторонах (фиг. 2.6, а) . Пересе­ чения линий определяют внутренние узловые точки. Внутренние четырехугольники могут рассматриваться как элементы; они мо­ гут быть разбиты на треугольные элементы проведением короткой диагонали в каждом внутреннем четырехугольнике (фиг. 2.6,6). Разбиение с использованием короткой диагонали предпочтительно^, потому что элементы, близкие по форме к равностороннему тре­ угольнику, приводят к более точным результатам, чем длинные узкие треугольники.

Число узлов на смежных сторонах четырехугольника может быть различным, но на противоположных сторонах узлов должно быть поровну, если только сеть разбиения не измельчается (или укрупняется). Расстояние между граничными узлами можно варь­ ировать, чтобы получать элементы различных размеров. В четы­ рехугольнике будет 2 (п— 1) (/71— 1) элементов, если на смежных сторонах его фиксировано п и т узлов.

Треугольная и четырехугольная подобласти могут иметь об­ щую границу. Число узлов на этой границе для обеих подобластей должно быть одинаковым и относительное положение узлов долж­ но совпадать. Это требование необходимо для сохранения непре­

рывности рассматриваемых величин вдоль общей границы эле­ ментов.

Применение изложенных идей дискретизации проиллюстриро­ ванона фиг. 2.7. Расстояния между узлами вдоль границ четы­ рехугольной зоны изменяются так, чтобы элементы вблизи криво­ линейной части границы были малыми.

Фиг. 2.7. Деление тела на треугольные и четырехугольные зоны с последующим разбиением на треугольные элементы.

Фиг. 2.8. Разбиение расширяющейся области на линейные треугольные элементы.

Равномерное разбиение, когда все элементы имеют одинако­ вую форму и размеры, обычно не проводится, потому что сущест­ вуют концентрация напряжений, температурные градиенты и т. п. Возможность варьировать размеры элемента — важное достоин­ ство метода конечных элементов. Наиболее простой способ суще­ ственного изменения размеров элементов заключается в приме­ нении четырехугольных подобластей с неравным числом узлов на противоположных сторонах. Хорошим вариантом является случай /расположения двух узлов на одной стороне против каждых трех узлов на противоположной стороне. Такая подобласть показана на фиг. 2.8.

В задачах механики твердого деформируемого тела необходи­ мо отметить узлы, которые имеют определенные перемещения.

.Для обозначения неподвижных узлов применяется символ непод­ вижного шарнира (фиг. 2 .9,а). Бели узел может перемещаться только в одном направлении, используется символ подвижного лиарнира (фиг. 2.9,6). Подвижные шарниры,, изображенные на

'Фиг. 2.9. Неподвижные узлы и узлы, которые могут перемещаться в одном направлении.

фиг. 2.9, б, допускают перемещения в вертикальном направлении и не позволяют двигаться ни в одном из горизонтальных направ-

.лений. Учет узловых условий такого типа осуществляется путем видоизменения системы уравнений, решение которой определяет узловые перемещения.

Многие физические задачи не имеют четко установленных гра­ ниц области анализа. В задаче 5 рассмотрен один из таких при­ меров— процесс распространения тепла. Земля простирается бес­ конечно далеко вниз от тротуара, а излучающие тепло кабели про­ стираются направо и налево на неопределенное расстояние.

Моделирование тел, бесконечно протяженных в одном или не­ скольких направлениях, представляет определенную трудность для инженера, так как он должен иметь дело с ограниченной мо­ делью. Для анализа следует выбирать при этом достаточно боль­ шую область, чтобы вычисляемые вдоль ее границ величины были согласованы с теми значениями, которые встречаются в физиче­ ской задаче. В задаче 5, например, необходимо выбрать достаточ­ но большую по глубине область с тем, чтобы значения в узлах, расположенных на значительном расстоянии от кабелей, были равны между собой.

Вероятно, лучшим руководящим принципом в данном случае являются опыт и изучение чужого опыта в моделировании подоб­ ных неограниченных областей.

по одной неизвестной величине, или значения 20 и 44, если в каж­ дом узле рассматриваются две неизвестные величины. Правильная нумерация узлов в этом примере сокращает машинную память более чем на 50%.

Нумерация элементов представляет собой простую процедуру. В этой книге номер элемента будет заключаться в круглые скобки с тем, чтобы избежать путаницы с номерами узлов. Элемент (1) на фиг. 2.11, а содержит узлы с номерами 1, 2 и 8. Нумерация элементов не влияет на вычислительные аспекты задачи.

2.4. Заключение

При решении задач методом конечных элементов используются разнообразные элементы. Некоторые наиболее важные из них вве­ дены были в этой главе в связи с рассмотрением дискретизации сплошного тела.

В следующих десяти главах наше внимание будет со ср ед о т о ч е­ но на симплекс-элементах. Эта группа включает линейный одно­ мерный элемент е двумя узлами, линейный треугольник с тремя узлами и линейный тетраэдр с четырьмя узлами. Упор на эти элементы делается по нескольким причинам. Они просты в теоре­ тическом отношении, что дает возможность легко проиллюстриро­ вать их применение. Треугольный и тетраэдальный элементы мо­ гут быть использованы для аппроксимации границ сложной фор­ мы, потому что они могут быть ориентированы как угодно. Другой важной причиной является то, что во многих имеющихся вычисли­ тельных программах используются эти элементы.

В гл. 18 представлена программа GRID сеточного разбиения,, определяющая номера узлов и координаты треугольных симплексэлементов в произвольной четырехугольной области. Читатель мо­ жет воспользоваться этой программой для решения задач, поме­ щенных в конце этой главы, и для получения исходных данных элементов в задачах из глав прикладного характера.

Задачи

1.Разбейте треугольную область на 16 элементов, пронуме­ руйте узлы и вычислите определенную выше ширину полосы, предполагая наличие двух степеней свободы в каждом узле.

2.Разбейте четырехугольник на 24 элемента, используя пять узлов вдоль одной пары сторон и четыре узла вдоль другой пары. Пронумеруйте узлы так, чтобы получить минимальное значение величины R.

3.Разбейте прямоугольный треугольник примерно' на 60 эле­ ментов, предварительно выделив две треугольные и одну четы»

ные в узлах. Выберите 'пригодную для анализа область и разбей­ те ее на треугольные элементы.

6. Используя программу GRID из гл. 18, определите исходные данные элементов для областей, рассмотренных в задачах 3 и 5.

ЛИТЕРАТУРА

1, Desai С. S., Abel J. F., Introduction to the Finite Element Method, Van Nostrand Reinhold Co., N. Y., 1970.

ЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ПОЛИНОМЫ

Метод конечных элементов основан на идее аппроксимации непрерывной функции (температуры, давления, перемещения и т. д.) дискретной моделью, которая строится на множестве ку­ сочно-непрерывных функций, определенных на конечном числе подобластей, называемых элементами. В качестве функции эле­ мента чаще всего применяется полином. Порядок полинома за­ висит от числа используемых в каждом узле элемента данных о непрерывной функции.

Классификация конечных элементов может быть проведена в соответствии с порядком полиномиальных функций этих элемен­ тов. При этом рассматриваются три следующие группы элемен­ тов: симплекс-, комплекс- и мультиплекс-элементы [4]. Симплексэлементам соответствуют полиномы, .содержащие константу и ли­ нейные члены. Число коэффициентов в таком полиноме на едини­ цу больше размерности координатного пространства. Полином

представляет собой симплексную функцию для двумерного тре­ угольного элемента. Этот полином линеенпо х и у и содержит три коэффициента, потому что треугольник имеет три узла.

Комплекс-элементам соответствуют полиномиальные функ­ ции, -содержащие константу, линейные члены, а также члены вто­ рого, третьего и более высокого порядка, если это необходимо. Форма комплекс-элементов может быть такой же, как и у симп­ лекс-элементов, но комплекс-элементы имеют дополнительные граничные узлы и, кроме того, могут иметь также и внутренние узлы. Главное различие между симплекс- и комплекс-элементами

единица. Интерполяционный полином для двумерного треуголь­ ного комплекс-элемента имеет вид

Это соотношение включает шесть коэффициентов, поэтому рас­ сматриваемый элемент должен иметь шесть узлов.