1323
.pdfЗапишем интерполладонный полипом |
|
|
||
ф = |
[1 X у 2] [С]-1 (Ф). |
|
||
Так как • |
|
|
|
|
|
Ф = М {Ф}, |
|
|
|
функции формы представляются произведением вида |
||||
[N] = U X у |
z][C\-\ |
|
||
После подстановки [С ]-1 имеем |
|
|
|
|
|
0 |
6 |
0 |
0- |
М = 4 - [1 |
0 —3 |
3 |
0 |
|
х у г] |
|
|
|
|
|
3 — 1 — 1 — 1 |
|||
|
.0 — 1 — 1 |
2 |
||
или |
|
|
|
|
-ъ -$ — Ъх— |
у — г), ~ ( 3 x — |
y — |
z), 4 -(— |/+ 22)j. |
|
Таким образом, функции формы рассматриваемого элемента имеют вид
* .ч ь
Nk= 3x~ % ~ г ,
N,
- у + 2г
6
3.4. Интерполирование векторных величин
Интерполяционные соотношения в предыдущих разделах ис пользуются при рассмотрении скалярной величины. Векторная в-еличина, например перемещение, имеет как величину, так и на правление, поэтому в каждом узле необходимо определять более одной неизвестной (степени свободы). Обычно в этом случае по ступают следующим образом: векторная величина представляется ее компонентами, которые рассматриваются как неизвестные ска лярные величины. Каждый узел будет содержать одну, две или три неизвестные в зависимости от того, какая задача рассматри вается— одномерная, двумерная или трехмерная.
Используемое .в этой книге обозначение компонент вектора проиллюстрировано на фиг. 3.5. Все компоненты обозначаются буквой U. Отдельные компоненты различаются нижним индек сом. Числовые значения нижних индексов упорядочиваются в со ответствии е направлением компонент вектора по осям х, у, г.
L•<!>-»- Uj |
Uj |
в
Ф иг. 3.5. Обозначения узловых векторных величин, используемые в симплекс-
элементах.
а — одномерный элемент; б — двумерный элемент; в — трехмерный элемент.
■Наименьшее значение соответствует компоненте по оси х. На правление положительной компоненты совпадает с положительным направлением соответствующей координатной оси. Буквы и, v и w используются для обозначения перемещений по осям х, у и z.
В одномерной задаче представления векторной и скалярной величин внутри элемента совпадают, так как в обоих случаях в каждом узле отыскивается только одна неизвестная:
и |
+ В Д = [ З Д { ^ } , |
(3.20) |
где и — перемещение вдоль элемента. Функции формы, приведен ные здесь, идентичны записанным в формуле (3.5).
При рассмотрении векторной величины в треугольном симп лекс-элементе следует использовать результаты разд. 3.3. Гори зонтальное перемещение и аппроксимируется выражением
u = N xU^i-i + NjU2j-i + NkU2k_lt |
(3.21) |
вертикальная компонента v представляется формулой
а функции формы определяются формулой (ЗЛО). Поместим местную систему координат в центре элемента, как показано на фиг. 3.6. Запишем формулы преобразования координат:
х ==Х -}“ в*
(3.25)
y —Y
Фиг. 3.6. Местная система координат для треугольного элемента,
где X и У — координаты центра:
(3.26)
л7__ Y i + Y j + Yk
3
Функция формы Ni в глобальной системе координат имеет вид
Ni=‘- 5 r ( at + bix + c ly).
Подставив сюда вместо л и у их выражения через s и t, получим
^l~~2A + ^i (-^ + s) + с» (У +01»
или
В результате преобразования bt и d остаются неизменными и по-црежнему умножаются на независимые переменные. Константа а,- изменяется. Вспоминая определения аи bt и си данные в фор муле (ЗЛО), и учитывая выражения (3.26), можем обнаружить,
что (аг+ Ь Д + й У ) равно 2Л/3. Таким образом, функция |
формы |
в системе координат, связанной с элементом, прянимеет |
вид |
N i - ^ - l ^ f + i Y j - Y J s + iX b -X j)^ . |
(3.28) |
Аналогично получаем выражения для других функций формы:
N) = |
[ ^ - + (Уi - У к)з + (Хк- X ,)* ] |
(3.29) |
|
X k = ^ г [ ^ - + |
(X j-X i) *]. |
|
|
Интеграл от функции, заданной в глобальной системе координат, может быть вычислен в местной системе координат с помощью соотношения [3]
|
Г f (*, у) dxdy=J f [х (s, t), |
у (s, /)] | J | dsdt, |
(3.30) |
|
|
R |
«• |
|
|
где R и |
R* — соответственно' старая |
и новая области |
интегриро |
|
вания, |
|/ | — .абсолютное |
значение определителя преобразования |
||
системы координат, которое равно отношению площадей в двух системах координат Axv/Aat. Так как обе системы прямоугольные и масштабы измерения ’в них совпадают, то | / | = ,1. Кроме того, Rl=R*, поскольку форма элемента сохраняется при этом неиз менной. Таким образом, соотношение (3.30) сводится к следую щему:
|/(дг, |
y)dxdy=^f[x(s, t), y(s, t)]dsdt. |
(3.31) |
R |
R* |
|
Функция f(x, у) в левой части равенства (3.31) представляет со бой функцию формы элемента, выраженную в глобальной систе ме координат, тогда как /[x(s, t) , y(s, <)] соответствует функции формы элемента, представленной в локальной системе координат.
3.5.1. Одномерный элемент
При рассмотрении одномерного элемента нет большой необхо димости в использовании местной системы координат, так как ин терполяционное уравнение легко интегрируется в этом случае. Д о некоторой степени интегрирование можно упростить, поместив на-
чало местной системы координат в i-м узле элемента (фиг. 3.7). Подставляя выражение
x = X j + s
В
Фиг. 3.7. Местная система координат для одномерного элемента.
в уравнение (3.5), определяющее функции формы, получаем
N = x j- X t - s _ = J^ps_= 1 — £_ |
(3.32) |
||
|
L |
L |
|
И |
Xj+s — Xj___£_ |
|
|
N} = |
(3.33) |
||
L |
L ' |
|
|
Соотношение, определяющее элемент, записывается теперь в виде
'}• |
(3.34) |
»“ ( 1- т ) ф,+(т-)ф' |
|
3.5.2.L -координаты
Для треугольного элемента наиболее раепространенной явля ется 'естественная система координат» определяемая тремя отно-
сительными |
координатами U |
U « L3 изображенными на |
фиг. 3.8, а. |
Каждая координата |
представляет собой отношение |
расстояния от ,выбранной точки треугольника до одной из его сторон s к высоте ft, опущенной на эту сторону из противолежащей вершины (фиг. 3.8,6). Ясно, что величина Ц изменяется в преде
лах от нуля до |
единицы ( 0 ^ . ^ ) - |
В тех же ^еделах изменя |
||
ются U |
и U |
На фиг. 3.8, в показаны линии, вдоль которых. |
||
U постоянна по величине. Каждая |
из этих линии параллельна |
|||
|
|
|
^.-координатами. И * |
« а - |
чения дают относительные величины нлощадеи треугольников |
на |
|||
которые разбит элемент, L-Координа |
,изображенных на’ <ЬигР3 9 |
|||
ставляют собой площади |
^ * 3 |
9' |
||
Площадь |
At треугольника (i, к> м |
|
||
|
|
. __ bh_ |
|
|
|
|
At— 2 * |
|
|
Площадь А\ заштрихованного треугольника |
(В, /, k) равна |
|
|
Л = - ^ - . |
(3.36) |
Составим отношение этих площадей |
|
|
^1 |
s __ т |
|
"л7—т - Li* |
|
|
Фиг. 3.8. L-координаты для треугольника.
Фиг. 3.9. Три площади, связанные с произвольной точ кой треугольника.
Итак, координата L\ представляет собой отношение площади за штрихованного треугольника на фиг. 3.9 к площади всего эле-
мента:
|
(3.37) |
Аналогичные формулы могут быть записаны для Ь2 и L3: |
|
|
(3.38) |
Так как Ai+A 2+ A 3=Ab |
|
Li f £ , + ! , = 1. |
(3.39) |
Уравнение (3.39) связывает между собой три координаты. Урав нения этого типа следовало ожидать, потому что три координаты в двумерном случае не могут быть независимыми. Местоположе ние произвольной точки может быть полностью описано с по мощью только двух координат.
Изучение свойств Lu Ь2 и L3 с учетом соотношения (3.39) об наруживает некоторые интересные сведения. Координатные пере менные L\, L2 и L3 представляют собой функции формы для тре угольного симплекс-элемента:
Nj= Ь г, NJ= L 2 Nk= L 3. (3.40)
Как видно из фиг. 3.8, а,
1 в узле с номером i,
L i=
О в узлах / и k.
Подобные соотношения .выполняются также для Ь2 и £ 3. Кроме того, формула (3.39) позволяет утверждать, что в произвольной точке элемента функции формы всегда в сумме равны единице и, таким образом, выполняется-» критерий сходимости, обсуждаемый далее в этой главе. Наконец, если записать следующие зависи мости:
х = L±Xi + L2XJ -j- L3Xk, |
|
||
y ^ Y ^ L . Y j + L ^ |
(3.41) |
||
1= L i + L2-\- L3 |
|
|
|
и разрешить их относительно |
Lu L2 и |
L3, то в |
результате полу |
чим соотношения, идентичные |
(3.10). |
Первые |
два уравнения в |
(3.41) представляют координаты х и у |
как функции узловых зна |
||
чений. Эти уравнения справедливы, поскольку х и у представля ют собой компоненты расстояния, а мы уже видели, что вектор ные компоненты могут быть выражены как функции соответству ющих узловых значений.
4 -7 6 3
Преимуществом использования L-координат является сущест вование интегральных формул, которые упрощают вычисление ин тегралов вдоль сторон элемента и по его площади [1]:
)ВД^ |
а\Ы |
|
( а + >+1)1 |
|
|
£ |
|
|
I L *L \L % dA = |
a\b\c\ |
2А . |
(а + b+ с + 2)1 |
(3.42).
(3.43).
Использование соотношения (3.43) может быть проиллюстриро вано при вычислении интеграла вида
А
где Ni и Nj — функции х и у. Этот интеграл по площади элемента: преобразуется следующим образом:
I N ^ jdA ^ L lL lL ld A |
11110! |
0 л 2 |
А _ |
А |
(1 + 1 + 0 + 2 ) l Z/1— |
4! |
12 * |
||
А
Координаты L\ и Ь2 соответствуют функциям формы Ni, Nj, как: показано на фиг. 3.8, а. Поскольку Nk не вошло в подынтегральноевыражение, показатель степени с у множителя L3 приравнен нулю.
Соотношение (3.42) используется для вычисления интеграловвдоль стороны элемента. Величина X представляет собой расстоя ние между двумя узлами рассматриваемой стороны.
Удобства применения |
формул (3.42) |
и (3.43) станут очевид |
ны, когда мы перейдем |
к рассмотрению |
конкретных задач. |
3.5.3. Объемные L -координаты
Естественная система координат для тетраэдрального элемента, вводится почти полностью аналогично тому, как это было сдела но в случае плоских L-координат. Четыре относительных расстоя ния Lb L2, L3 и L4 определяются как отношения расстояний отвыбранной произвольной точки элемента до одной из его граней к высоте, опущенной на эту грань из противолежащей вершины. Такие L-координаты называются объемными (фиг. 3.10). Они свя заны между собой соотношением
Функции формы для линейного тетраэдра представляют собой объемные L-координаты:
Ni<=Llt N J = L 2, N k= L 3, N (= L it |
(3.45) |
Фиг. 3.10. Объемная L-координата L3 для элемента в виде тетраэдра.
Использование объемных /.-координат упрощает вычисление объ емных интегралов, так как
J ц ц ц ц м |
____ a\blc\d\_____ 61/.. |
(3.46) |
v |
|
|
з. 6. Свойства интерполяционного полинома
Полиномиальные уравнения (3.3), (3.7) и (3.13) были исполь зованы для аппроксимации скалярных и векторных величин внут ри элемента потому, что они обладают некоторыми весьма жела тельными свойствами. Они дают правильные результаты, когда узловые значения рассматриваемых величин равны между собой, и, кроме того, обеспечивают непрерывность в межэлементных зонах.
3.6.1. Сходимость
Решение, полученное методом конечных элементов, будет схо диться к точному решению с уменьшением размеров элемента при условии, что, как только узловые значения оказываются рав ными между собой, интерполяционные уравнения приводят к по-
4*