1323

Впредыдущих расчетах использовалось сдвиговое напряжение

хХу только потому, что оно имеет наибольшее значение внутри каж­

дого элемента. Сдвиговое напряжение ххх может быть рассмотрено

столбец {R} составляется только для величины, изменяющейся от элемента к элементу. Итак, числовые матрицы элементов с пер­

Так как все элементы имеют одинаковую площадь, то в последних формулах она опущена.

Узловые значения результанта следующие:

{<х}г = [70,9, 436,5, 724,1, 353,6, 671,4, 475,5].

Для результантов элемента можно, кроме того, получить со­ отношения, которые выражают изменение этих величин по пло­ щади элемента. Мы не будем останавливаться подробно на этом, поскольку такие соотношения широко не применяются.

Применение теории сопряженной аппроксимации сводится к решению системы алгебраических уравнений, порядок которой совпадает с порядком системы, используемой для получения уз­ ловых значений. Это представляет определенное неудобство при решении задач, которые требуют включения большого числа эле­ ментов.

Способ, не требующий решения полной системы, уравнений, об­ суждается в гл. 7, где рассматривается кручение квадратного стержня с большим числом элементов.

Последние этапы метода конечных элементов проиллюстриро­ ваны в этой главе на конкретной задаче. Было показано, как полу­ чаются матрицы элементов, а также как определяются результан­ ты элемента, если известны узловые значения.

Следующая глава посвящена вопросам машинной реализации метода конечных элементов. В гл. 8— 12 будут рассмотрены раз­ личные применения метода.

Задачи

41. Проверьте матрицу жесткости и вектор нагрузки в уравне­ ниях *

1) (6.196), 2) (6.19в), 3) (6.19д).

42. Проверьте значения сдвиговых напряжений для элементов: а) второго, б) третьего, в) четвертого для примера, рассмотрен­

ного в разд. 6.3.

43. Вычислите числовые значения {/?}, необходимые для опре­ деления узловых значений г2Х>

ЛИТЕРАТУРА

1. Fung Y. С., Foundations of Solid Mechanics, Prentice-Hall, Englewood Cliffs,

N.J., 1965, pp. 162—170.

2.Oden J. T., Brauchli H. J., On the Calculation of Consistent Stress Distributions in Finite Element Approximations, Intern. J. for Numerical Methods in Engi­ neering, 3, 317—325 (1971).

3.Timoshenko S. P., Goodier J. N., Theory of Elasticity, McGraw-Hill, N. Y., 1970, pp. 315—316; есть русски»! перевод: Тимошенко С. П., Гудьер Дж., Теория

упругости, изд-во «Наука», М., 1975.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

Owen D. R. J., Zienkiewicz О. С., Torsion of Axi-Symmetric Solids of Variable Diameter — Including Acceleration Effects, Intern J. for Numerical Methods in Engineering, 8, 195—212 (1974).

Yamada Y., Kawai T., Yoshemura N., Analysis of the Elastic-Plastic-Problems by the Matrix Displacement Method, Proc. of the Second Conf. on Matrix Methods in Structural Mechanics (AFFDL-TR-68-150), Wright-Patterson Air Force Base. Dayton, Ohio. 1968.

грузке запоминающего устройства, когда решаемая задача имеет большое число неизвестных.

В эффективных программах процедура построения глобальной матрицы жесткости использует сокращенную форму матриц эле­ ментов [ЛДе)] при получении уравнений для элемента. Такой метод известен как метод «прямой жесткости». Применение этого метода исключает необходимость хранения больших матриц элементов, содержащих всего несколько отличных от нуля коэффициентов. Процедура кодирования, которая описывается ниже, представле­ на в работе [4].

При использовании этого метода .сначала рассматривается [ЛДе>] для конкретного элемента. Все глобальные степени свободы <р (или и в случае векторных величин), которые не относятся к этому элементу, исключаются из .рассмотрения. Функции формы за­ писываются в соответствии с порядком следования индексов i, ], к, начиная с узла i, в направлении против часовой стрелки. Рассмот­ рим, например, элемент (3) на фиг. 6.3. Согласно формуле (6.9),

Этому элементу соответствуют узлы 2 , 5 и 4 и глобальные степени свободы Ф2, Ф5 и Ф4. После упорядочивания функций формы в

направлении против часовой стрелки, начиная от узла i, последнее соотношение в сокращенном виде записывается как

Значения коэффициентов 6(р)и с(р)могут быть вычислены по форму­

Подставляя [£<3>] в сокращенной форме в равенство (6.8 ) и вы-

полняя умножение и интегрирование, получаем

Таким образом, в результате .мы имеем матрицу размером 3X3 вместо матрицы размером 6 x 6 , данной в (6.19в). Матрица эле­ мента имеет размер 3X3, потому что этому элементу соответству­ ют три глобальные степени свободы.

Применив подобную процедуру к интегралу

2GeJ dA,

получим

С помощью формул (7.4) и (7.5) уравнения для данного элемента можно записать следующим образом:

Уравнения (7.6), очевидно, не идентичны уравнениям (6.19в). Чтобы полученная матрица соответствовала точной матрице жест­ кости третьего элемента, ее нужно переформировать и расширить. Алгоритм переформирования и расширения матрицы несложен.

Строкам и столбцам сокращенной матрицы элемента приписы­ ваются номера глобальных степеней свободы. Порядок располо­ жения степеней свободы соответствует обходу элемента против часовой стрелки, начиная от i-го узла.

Матрицы элементов в задаче о кручении имеют только одну степень свободы (искомую величину) в каждом узле, поэтому функции формы в (7.1) упорядочены так же, как и глобальные степени свободы. Используя указанную нумерацию для строк и столбцов матрицы (7.4), запишем

Приписывание столбцам и строкам матрицы элемента номеров глобальных степеней свободы позволяет определить, какое место займут коэффициенты матрицы элемента в глобальной матрице жесткости. Например, коэффициент —7г. заключенный в квадрат матрицы (7.7), находится на пересечении второй строки и четвер­

того столбца глобальной матрицы жесткости. Коэффициент —7г> заключенный в треугольник, находится на пересечении четвертой строки и пятого столбца. Расположение всех коэффициентов мат­

сткости°являртга ;*eCTKOC™ построения глобальной матрицы же-

конечных элементоГнГэВМ Н^пМ алгоРитмом Реализации метода

ет з а т е к у ооттл.Т° В На потому что он значительно сокращанеобхолим^Д^ о НаЮЩеГ0 У'стР°йства. В частности, 0н исключает содержат всего^запоминания больших матриц элементов, которые

и число гтппДпНеСК°ЛЬК0 ненулевых коэффициентов. Число строк

ны числу степеней «вободы1элементаРИЦЫ ЖеСТКОСТИ элеМе"Та раВ‘

7.2. Система линейных уравнение

При использовании метода конечных элементов ^ ^ да^ тн оси - стема линейных уравнений, которая должна быть Реи^Г -уравиеинн

стема уравнений обычно очень большая. Методы решения систем с малым или большим числом уравнений мало отличаются друг от друга. Реализация этих методов, однако, зависит от технических возможностей ЭВМ.

Во второй главе, где рассматривался процесс дискретизации сплошной среды, было отмечено, что путем надлежащей нумера­ ции узлов можно контролировать расположение коэффициентов в

Ширина полосы

Фиг. 7.2. Общий вид системы уравнений, получаемой при использовании метода конечных элементов.

глобальной матрице жесткости. Напомним, что при разумной ну­ мерации узлов получается матрица ленточного типа вместо полной матрицы. Ленточная матрица характеризуется тем, что все ее не­ нулевые коэффициенты располагаются вблизи главной диагонали, а все коэффициенты за пределами некоторой полосы, ограниченной линиями, параллельными главной диагонали, равны нулю. Схема­ тически это проиллюстрировано на фиг. 7.2, где ширина полосы ленточной матрицы показана штриховыми линиями. Через С обо­ значены ненулевые члены. Вообще говоря, нулевые коэффициенты могут встречаться и внутри полосы.

Два свойства результирующей системы уравнений делают ее идеальной: симметрия и положительная определенность матрицы. Наличие симметрии означает, что приблизительно половину не­ нулевых членов матрицы можно не запоминать. Положительная определенность означает, что коэффициент, стоящий на главной диагонали, всегда положителен и обычно много больше по вели­

чине, чем любой другой коэффициент соответствующей строки или столбца.

В случае симметричной положительно определенной матрицы ленточного типа значительно сокращается объем «вычислений, не­ обходимых для получения решения системы уравнений. К тому же уменьшается вероятность больших ошибок округления.

Существование симметрии в матрице ленточного типа позволя­ ет значительно сократить объем памяти, требуемой для хранения глобальной матрицы. Обычно при программировании предусматри­ вается превращение матрицы, изображенной на фиг. 7.2, в прямо­ угольный массив, ширина которого совпадает с шириной полосы матрицы, а длина равна числу уравнений. Чтобы проиллюстриро­ вать преимущество такого представления матрицы, допустим, что мы решаем задачу, которая включает 200 узловых неизвестных. Обычно при этом получается глобальная матрица жесткости, для хранения которой требуется 200X200, т. е. 40 000 единиц машин­ ной памяти. Однако, если эта ленточная матрица имеет ширину полосы, равную 40, и хранится в виде прямоугольного массива, требуется уже только 8000 единиц машинной памяти для запо­ минания 40 столбцов по 200 элементов в каждом. Таким образом, загрузка машинной памяти сокращается на 20% по сравнению с загрузкой, требуемой при хранении квадратной матрицы.

Решение системы уравнений может быть проведено с помощью алгоритмов, которые обсуждаются во многих книгах, посвящен­ ных численному анализу. Следует подчеркнуть, что обращение мат­ рицы— очень неэффективная процедура решения системы урав­ нений. Эта неэффективность может быть объяснена двумя причи­ нами. Обращение матрицы эквивалентно решению системы N уравнений с N неизвестными. Если при этом рассматривается ог­ раниченное число столбцов правых частей (глобальный вектор на­ грузки), то вычисление обратной матрицы мало оправдано. Кро­ ме того, в результате обращения ленточной матрицы получается матрица неленточного типа. Процедура обращения матрицы неэф­ фективна также еще и с точки зрения экономии машинной памяти.

она получается суммированием уравнений для всех элементов. Эта система должна быть преобразована, если некоторые составляю­ щие {Ф} известны, что является скорее правилом, чем исключени­ ем. В большинстве задач теории поля некоторые граничные зна­ чения искомой величины заданы; во всех задачах теории упругости должны быть фиксированы некоторые перемещения с тем, чтобы

исключить перемещение среды как жесткого тела. В задачах ме­ ханики деформируемых сред матрица жесткости [/С] будет син­ гулярной до тех пор, пока не заданы некоторые перемещения.

Цель этого раздела — обсуждение и иллюстрация процедуры преобразования [/С] и {Е} таким образом, чтобы получить пра­ вильный ответ, не изменяя размеры [/С] и {Е}, ибо это повлечет за собой трудности при программировании.

Если фиксирована одна степень свободы узлового параметра {Ф}, то преобразование системы уравнений представляет собой двухшаговую процедуру. Пусть, например, известно значение Ф5;

преобразование сводится тогда к следующему:

1. Все коэффициенты пятой строки, за исключением диагональ­ ных, приравниваются нулю. Диагональный член остается неизмен­ ным. В форме равенства это выглядит как Ksj=0 при п и /=т^5. Соответствующая компонента Е5 вектора{Е} заменяется на

произведение

2 . Все остальные уравнения преобразуются вычитанием произ­

ведения

из Fj и подстановкой ZCj5= 0 , /= 1,..., п,

Пример

44. Требуется преобразовать следующую систему уравнений, ес­ ли известно, что Фх= 150 и Ф5= 4 0 :

— 46Ф3+ 142Ф4— 46Ф3=2000,

4Ф3 — 46Ф4 + 65Фб= 900 .

На первом этапе приравняем нулю все коэффициенты в первой и пятой строках, за исключением диагональных членов, которые оставим неизменными. Компоненты Еi и Е5 в{Е} заменим соответ­ ственно на /С11Ф1 и КБбФб- В результате будем иметь

— 46Ф3+ 142Ф4—46Ф5=2000, 65Ф6=2600.