1323

так как [ЛДе>] является только функцией координат и не зависит от времени. Подстановка выражений (11.6) и (11.7) в (11.5) дает

Ж

|( М ^ ЫНФ }[^(е)] - ^ г ---- [^ (е,]{Ф]<г)<ЛЛ (11.8)

1 v

Эта сумма интегралов должна быть минимизирована по {Ф}. Диф­ ференцируя по {Ф}, получаем

Второе соотношение в (5.42) должно быть заменено соотношени­ ем (11.9). После объединения (11.9) с результатами дифференци­ рования остальных интегралов из (11.3) процесс минимизации приводит к следующей системе дифференциальных уравнений:

Вклад каждого элемента в матрицы [К], [С] и {F} выражается формулами I

ному элементу. Суммирование вкладов отдельных элементов про­ водится обычным образом. Соотношение (11.10) представляет, со­ бой систему линейных дифференциальных уравнений первого по­ рядка. Матрицу [С] в (11.10) иногда называют матрицей демпфи­ рования. Это единственная новая матрица. Интегралы, определя­ ющие [£М] и {/Се>} в формулах (11.116), (11.11 в), уже рассматри­ вались в предыдущих главах.

В случае решения задач переноса тепла величина X в формуле (11.1) равна произведению рс, где р — плотность, кг/м3, а с —

удельная теплоемкость, Д ж /(м 3-°С). Величинам КХх Куу и Klz со­ ответствуют коэффициенты теплопроводности, введенные в гл. 8.

Уравнение, описывающее нестационарное фильтрационное те­ чение, имеет вид

ср — пьезометрический напор, измеряемый от дна водоносного слоя,

5— коэффициент упругоемкости.

11.2.Матрица демпфирования элемента

Рассмотрение переходных задач теории поля приводит к новой матрице [С], называемой матрицей демпфирования. Вклад от­ дельного элемента в эту матрицу определяется объемным интегра­ лом (11.11а), который должен быть вычислен для каждого эле­ мента.

11.2.1. Одномерный симплекс-элемент

Матрица функций формы для одномерного элемента записы­ вается в локальной системе координат следующим образом:

' " ] = [ ( ' - Т - ) т ] -

Подставляя это выражение в формулу (11.11а) и учитывая зави­ симость dV=Adx, где А — площадь поперечного сечения элемента, получаем

dx,

или

2

11.2.2.Двумерный симплекс-элемент

Матрица функций формы для двумерного элемента, выражен ная через плоские L-координаты, имеет вид

(M ]=[Li L2 L3).

Считая толщину элемента единичной, вычислим объемный инте­ грал (11.11а):

Соотношение (11.14) идентично интегралу, который встречается в

теории согласованных напряжений, если X полагается равной еди­ нице. Матрица, которая встречается в теории согласованных на­ пряжений, является матрицей демпфирования, поэтому каждое из приводимых в этом разделе соотношений, определяющих элементы, может быть использовано для построения приближенной матрицы в соответствии с теорией согласованных результантов элементов. Например, в (11.14) представлена согласованная матрица элемен­ та для двумерного симплекс-элемента.

11.2.3. Трехмерный симплекс-элемент

Функции формы для трехмерного симплекс-элемента, выражен­ ные через объемные L-координаты, имеют вид

[A^]=[Z/j Z/2 £ 3 ^l*

Подставляя их в формулу (11.11а) и используя объемный интег­

рал (3.46), получаем

1

2

(11.15)

1

1

11.2.4. Радиальные и осесимметричные элементы

Матрица демпфирования для радиальной и осесимметрической задач определяется соотношением

dV.

Для радиального элемента dV=2nrdr и N=l/L[(r—Rj)(Ri—О ]. В результате вычисления интеграла имеем

(11.16)

Матрицу демпфирования для осесимметричного элемента наи­ более просто вычислить, если использовать плоские L-координаты и соотношение (10.25). Ниже приведены окончательные выраже­ ния для коэффициентов симметричной матрицы:

c11= D [\2 R ] Ц- 2/?/ —2R%+ 6RiRj -f- &RlRk-5r 2RjRk], c12= D [37?? -(- 3R) + R%-\- Rj + 2RiRk+ 2RjRk], с1з= D [3R* -j- R'j + 3Rk-f- 2RtRj + 4RtRk+ 2RjRk\,

(11.17)

^22—7) [2R* 12RJ+ 2Rk -f- 6R^Rj -J- 2RlR/l -|- 6RjR^t

Сгз—D [R^ + 3R] -|- 3R\ -f- 2RiRj + 2RiRk+ 4RjRk], c33= D [2R* + 2PS} +12RI + 2RtR} + 6RtRk+ 6R}Rk],

где D=2nAX/180.

11.3. Конечно-разностное решение дифференциальных уравнений

Чтобы получить значения {Ф} в каждой точке временного ин­ тервала, необходимо решить линейное дифференциальное уравне­ ние (11.10). Существуют два распространенных метода решения уравнений такого типа. Один из них заключается в приближенной замене частной производной по времени ее конечно-разностным аналогом с применением центральной разностной схемы. Другой метод состоит в использовании конечных элементов, определенных теперь уже не в пространственной, а во временной области. Этот метод обсуждается в гл. 17 в связи с методом Галёркина. Здесь мы рассмотрим конечно-разностное решение.

На кривой ср (t) (фиг. 11.1) даны две точки с абсциссами to и t\ на расстоянии A /= /i—to друг от друга. Для первой производной в средней точке интервала U— имеем приближенное соотношение

Если рассматривать узловые значения как функции времени, то можно записать

в этой точке также должны быть вычислены {Ф} и {F}. Эти вели­ чины определяются по приближенным формулам

Независимо оттого, используется формула (11.23) или (11.24), окончательная система уравнений имеет вид

Матрица [А] является комбинацией матриц [С] и [/С] и зависит от шага по времени At. Если At и параметры материала не зависят от времени или от {Ф}, то матрица [А] во все моменты времени одинакова. Если At или параметры материала изменяются в про­ цессе решения, то матрицу [А] следует вычислять каждый раз заново, проводя суммирование по всем элементам и затем триангуляризацию. Эта процедура значительно увеличивает объем вы­ числений, но она неизбежна при переменном At или в случае, ког­ да Кхх и т. д. являются функциями температуры.

Объем численных расчетов даже для несложной задачи слиш­ ком велик, чтобы можно было здесь привести полностью какой-то числовой пример. Однако в следующем примере приведено вычис­ ление матрицы [А].

Пример

104. Требуется составить матрицу [А] из формулы (11.25) для стержня (задача 59), предполагая, что ср=15 Д ж /(см -К ). Шаг по времени считать равным 1 мин. Стержень и расположение узло­ вых точек показаны ниже.

7; = /50°С

К задаче 104.

Матрица [/С] была рассчитана в задаче 59; она имеет вид

Объединяя матрицы элементов в соответствии с методом прямой жесткости, получаем

Матрица [Л] получается сложением матриц [С] и [/(]:

[А][К] + -^-[С1.

Вразмерности коэффициента теплопроводности время выражается

вчасах, поэтому At должно быть выражено в часах, т. е. At= 1/60,

и[Л] равно [7(] + 120[С], или

11.4. Численная устойчивость и колебания

Конечно-разностная схема, используемая для временной обла­ сти, построена на основе центрально-разностной схемы Кранка— Никольсона, которая является безусловно устойчивой [1]. Безуслов­ ная устойчивость означает, что если распределение температуры во времени преобразовать по Фурье в частотную область, то коэффи­ циент усиления для каждой частотной компоненты будет затухать во времени. При этом могут возникать и обычно возникают коле­ бания числовых значений искомых величин даже тогда, когда ме­

Если некоторые компоненты {Ф}<> заданы, они должны оста­ ваться неизменными во времени. Это означает, что заданные зна­ чения {Ф}о следует восстанавливать после каждой итерации. Не­ обходимость восстановления заданных значений требует запоми­ нания этих значений вместе с соответствующими им номерами узлов.

В программе должна содержаться информация о числе итера­ ций и шаге по времени At. В некоторых программах предусматри­ вается выборочная печать результатов только для определенных итераций вместо того, чтобы делать это после каждой итерации. Программа с такой выборочной печатью должна содержать допол­ нительную информацию, связанную с указанием момента печата­ ния результатов счета.

Задачи

105. Проверьте матрицу демпфирования элемента, представлен­ ную следующими соотношениями: а) (11.13), б) (11.14), в) (11.15), г) (11.16), д) (11.17).

106.Выведите уравнение (11.24), которое определяет {Ф} в средней точке временного шага.

107.Используя уравнение (11.24), рассчитайте {Ф} для задачи

обрусе (задача 104). Вектор-столбец {Е} приведен в задаче 59, а

приведенная к треугольному виду матрица [/(]+2/А £[С ] дана ни­ же. Рассмотрение во времени ограничить тремя минутами.

"958 407 1743,09 407

1820,97 407

1825,03 407

1825,23 407

877,24

ЛИТЕРАТУРА

1 . Donea J., On the Accuracy of Finite Element Solutions to the Transient HeatConduction Equation, Intern. J. for Numerical Methods in Engineering, 8 , 103— 110 (1974).

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

Bruch J. C., Jr., Zyvaloski G., Transient Two-Dimensional Heat Conduction Prob­ lems Solved by the Finite Element Method, Intern. J. for Numerical Methods in Engineering, 8 , 481—494 (1974).

Kohler W., Pittr J., Calculation of Transient Temperature Fields with Finite Ele­ ments in Space and Time Dimensions, Intern. J. for Numerical Methods in Engi­ neering, 8 , 625—631 (1974).

Zienkicwicz О. C., Parekh C. J., Transient Field Problems: Two-Dimensional and Three-Dimensional Analysis by Isoparametric Finite Elements, Intern. J, [or Nu­ merical Methods in Engineering, 2, 61—71 (1970).

МЕХАНИКА ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА. ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ

Применения метода конечных элементов к задачам механики деформируемого твердого тела очень обширны. Сюда относятся задачи теории упругости, задачи теории пластин и оболочек, зада­ чи расчета конструкций, составленных из пластин и оболочек, ана­ лиз упругопластического и вязкоупругого поведения материала, динамические задачи, расчет составных конструкций. Данная гла­ ва посвящена задачам теории упругости. Другие области меха­ ники деформируемого тела рассматриваться не будут. Мы обсу­ дим здесь общие случаи одномерных, двумерных и трехмерных задач теории упругости, а также специальный случай задач с осе­ вой симметрией. Кроме того, будет рассмотрена машинная реали­ зация задачи о плоском напряженном состоянии.

Теоретическим введением к этой главе служит материал, пред­ ставленный в гл. 5, где рассмотрена минимизация потенциальной энергии упругого тела. В процессе минимизации получаются ин­ тегралы, которые входят в уравнения для элементов. Эти интегра­ лы имеют вид

поверхностные нагрузки и {Р} — вектор-столбец узловых сил. Определение этих матриц и вычисление приведенных выше ин­

тегралов— главная цель этой главы.