1323
.pdfЗначениям узловых сил соответствуют значения функций формы, умноженные на скорость выкачивания воды:
узел 18: Q= 0,596 (— 1200) = —715,2 м3/сут,
узел 13: Q =0,191 (— 1200)= —229,2 м3/сут,
узел 12: Q = 0 ,213 (— 1200)= —255,6 м3/сут.
Отрицательные значения выбраны потому, что вода выкачивается из водоносного слоя.
Насосу, расположенному в 45-м элементе, соответствуют сле дующие узловые значения:
узел 34: Q = —549,6 м3/сут,
узел 29: Q = —410,4 м3/сут,
узел 28: Q = — 1440 м3/сут.
Узловые значения, связанные с количеством воды, просачиваю щейся из реки и выкачанной насосами, подставляются непосред ственно в вектор-столбец {Z7}. Эти значения и только они являются ненулевыми членами {F}. Окончательная система уравнений дол жна быть преобразована с учетом заданных граничных значений в узлах с 1 по 5 и с 41 по 45.
Фиг. 9.5. Узловые значения и линии постоянных значений ф в региональном водоносном слое.
Решение преобразованной системы уравнений приводит к узловым значениям для {Ф}, указанным на фиг. 9.5, где изображены также линии равного уровня для ср. В связи с тем, что насосы бы ли расположены не в узловых точках, для <р получились значения, которые не отражают действительного положения в точке разме-
щения насоса. Как видно из анализа результатов в окрестности точки Р2 наименьшее значение <р имеет место в узле 28, т. е. в уз ле, на который приходится наибольшая порция воды, вытекающей из Р2.
Фиг. 9.6. Узловые значения и линии постоянных значений ср, соответствующие разбиению области на элементы, при котором насосы располагаются в узлах.
На фиг. 9.6 представлено решение, которое получается при та ком разбиении области, когда насосы располагаются в узловых точках. Наименьшее значение ф в окрестности насоса оказывается при этом в точке расположения насоса.
9.3. Безвихревое течение идеальной жидкости
Безвихревое течение идеальной жидкости можно рассмотреть, используя функцию тока ф или функцию потенциала скоростей ф. Уравнение для функции тока имеет вид
д2Ф |
д2Ф _ п |
(9.7) |
дх2 |
ду2 |
|
Скорость течения выражается |
через ф(х, у) |
формулами |
V = |
дг|> |
|
|
ду ' |
|
|
|
(9.8) |
Vu = |
(Н_ |
|
дх ' |
||
|
Объемный расход жидкости определяется разностью значений функций i|)i и ф2>соответствующих двум соседним линиям тока:
<3=ф2—Фх. (9.9)
Здесь Q — расход жидкости на единицу глубины в'направлении г. Линии тока характеризуются также тем, что в перпендикулярном к ним направлении отсутствует течение жидкости.
При обтекании тела идеальной жидкостью считается, что жид кость не проникает в тело и не отходит от него, образуя пустоты.
Фиг. 9.7. Обтекание цилиндрического тела.
Это приводит к следующему условию на граничной поверхности: компонента скорости течения жидкости, нормальная к граничной поверхности, совпадает со скоростью поверхности в этом направ лении [2 ]1). Для неподвижной границы приведенное условие озна чает отсутствие течения, перпендикулярного к этой границе, по этому на неподвижной границе перпендикулярная к ней компонен та скорости течения равна нулю.
В связи с вышеизложенным можно заключить, что неподвиж ные границы являются линиями тока, поскольку в точках линий тока скорость течения направлена по касательной к ним. Линия симметрии, параллельная направлению течения, также будет ли нией тока. Определение значений xpi, фг, для различных линий тока иллюстрируется далее на примере задачи обтекания цилинд ра (фиг. 9.7). Числовые значения ф, соответствующие граничным линиям тока, должны быть при этом определены до решения за дачи.
Задача о безвихревом течении может быть сформулирована с использованием потенциала скоростей. Дифференциальное уравне
ние примет вид |
д2ср _ п |
|
|
д2у |
(9.10) |
||
дх2 |
' ду2 |
||
|
*> См. также П. Г. Лойцянский, Механика жидкости и газа, изд-во «Наука», М., 1973. — Прим. ред.
Компоненты скорости определяются следующими формулами:
у |
— J9L |
V. |
дф |
(9.11) |
|
ду ‘ |
|||||
* |
дх |
у~ |
|
Компонента скорости, нормальная к неподвижной границе,
уп=4 * - = о
пдп
или |
дф |
|
|
|
|
|
- ^ |
4 = |
0, |
(9.12) |
|
|
дх |
||||
|
ду |
У |
’ |
|
|
где |
и /у — направляющие косинусы единичной нормали. Соотно |
||||
шение |
(9.12) идентично условиям непроницаемости для водонепро |
||||
ницаемого слоя при рассмотрении грунтовых вод или для тепло изолированной границы при изучении переноса тепла. Это соотно шение уже использовалось в вариационной постановке задачи.
При решении уравнения (9.10) с граничным условием (9.12) возникает дополнительная трудность. Решение уравнения (9.10) не единственно. Матрица [/С] системы сингулярна. Эта трудность мо жет быть преодолена выбором одного узла и заданием значения ф в этом узле. Так как скорости определяются дифференцированием функции ф, то значение ф в выбранном узле всегда можно брать равным нулю.
Применение метода конечных элементов при рассмотрении без вихревого течения идеальной жидкости иллюстрируется на задаче обтекания цилиндра (фиг. 9.7). Применение вышеизложенных по нятий при решении задачи обтекания многих тел обсуждается в работах [1, 3].
9.3.1. Постановка задачи
Определить линии тока для течения вокруг цилиндрического тела диаметром 40 мм, центр которого расположен посередине между двумя параллельными стенками. Расстояние между стен ками равно 80 мм. На достаточном расстоянии от цилиндра одно родный поток жидкости имеет скорость 40 мм/с.
9.3.2. Решение на ЭВМ
На фиг. 9.8 показано разбиение области на три базисные под области, которое было использовано для получения исходной ин формации об элементах. Окончательное разбиение на элементы и
номера узлов показаны на фиг. 9.9.
Задание граничных условий на линиях тока не представляет труда. Горизонтальная ось симметрии и верхняя граница области
Фиг. 9.8. Четырехугольные зоны, используемые программой GRID для разбиения области на треугольные элементы.
Фиг 99. Область, разбитая на элементы, в задаче о безвихревом потоке; указа ны номера узлов.
являются линиями тока. Действительно, в направлении, нормаль ном к этим линиям, отсутствует течение. По тем же соображениям граничная поверхность цилиндра также является линией тока.
Числовое значение ф вдоль линий тока может быть выбрано произвольно, так как объемный расход жидкости зависит от раз ности числовых значений ф, соответствующим двум линиям тока.
Фиг. 9.10. Узловые значения ф и линии тока.
Пусть линии тока, образованной осью симметрии и поверхноностью цилиндра, соответствует значение ф=0. Эту линию назо вем нулевой линией тока. Числовое значение ф для верхней гра ницы может быть любым, отличным от нуля числом (нулевое зна чение будет означать отсутствие течения). Выберем, однако, вели чину, имеющую определенный физический смысл. Рассмотрим пол ный объемный расход жидкости:
Q = V xA=(A0 мм/с) (40 мм2) = 1600 ммэ/с.
Если задать на верхней границе ф, равное 16, то разность значе« ний ф, соответствующих двум произвольным линиям тока, умно* женная на 100, будет давать объемный расход жидкости.
Результаты расчетов, соответствующие такому выбору гранич ных условий, представлены на фиг. 9.10 в виде узловых значений Ф- Здесь изображены также линии тока, соответствующие ф=0, 2,
12—763
4, 8, 12 и 16. На левой вертикальной границе области не получена однородная картина течения, что объясняется недостаточным уда лением этой границы от цилиндра вверх по течению. Пытаясь применить конечную модель для решения неограниченной задачи, нужно выбирать достаточно большую область для анализа.
9.4. Заключение
Метод конечных элементов широко применяется при рассмот рении задач течения жидкости и те две задачи, которые приведе ны в этой главе, служат всего лишь иллюстрацией того, как этот метод может использоваться. Более полный обзор исследований в этом направлении представлен в трудах международной конферен ции по использованию метода конечных элементов при решении задач течения жидкости [4].
Метод конечных элементов применяется также при рассмотре нии течения газа, течения по поверхности и для .решения уравне ний Навье—Стокса. Другой важный класс задач, которые могут быть решены этим методом, включает задачи со свободной поверх ностью, такие, как обтекание плотины или грунтовой поверхности в случае грунтовых вод. Для решения таких задач требуется ите рационный процесс, который включает модификацию сети разбие ния области на элементы после выполнения каждой итерации.
Задачи
Используйте программу FLDMCH, представленную в гл. 18, для анализа следующих задач.
К задаче 84. / = 300 м на достаточном расстоянии от насоса.
84—85. Определите понижение уровня воды в точках располо жения насосов и постройте графики эквипотенциальных линий для изображенных ниже областей.
|
(800. 800) |
|
о Н асос 1 |
Непроницаемая |
ф=юом— |
граница |
|
У |
|
1 |
о Н асос 2 |
|
—(/300, 200)
не " .............. .......2000м
Кзадаче 85. К х*=К уу= 45 м/сут.
Мощность насосов: 600 м3/сут (насос 1), 400 м3/сут (насос 2).
8 6 — 8 8 . Постройте графики линий постоянных значений ф и ( и л и ) ф для изображенных ниже областей.
0,5м
J L
------- 2м—
К задаче 87.
12*
ЛИТЕРАТУРА
1.deVries G., Nome D. H., The Application of the Finite-Element Technique to Potential Flow Problems, Trans. ASME, Series E, J. Appl. Mechanics, 38, 798— 802 (1971).
2.Duncan W. J., Thom A. S., Young A. D., Mechanics of Fluids, 2-nd ed., Am. Else vier Publ. Co., N. Y., 1970.
3.Oden J. T., Zienkiewicz О. C., Gallagher R. H., Taylor C., Finite Element Methods in Flow Problems, The Univ. of Alabama, Huntsville Press, 1974.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
Ikegawa M., Washizu K., Finite Element Method Applied to Analysis of Flow over a Spillway Crest, Intern. J. for Numerical Methods in Engineering, 6 , 179— 189 (1973).
Martin H. C., Finite Element Analysis of Fluid Flows, Proc. of Second Conf. on Matrix Methods in Structural Mechanics, Wright Patterson Air Force Base, Dayton, Ohio, 1968.
Newman S. P., Witherspoon P. A., Finite Element Method of Analyzing Steady State Seepage with a Free Surface, Water Resources Research, 6 , 3, 889—896 (1970).
РАДИАЛЬНЫЕ И ОСЕСИММЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПОЛЯ
Ряд важных физических двумерных и трехмерных задач мо жет быть решен с использованием одномерных и двумерных эле ментов. Эти задачи обладают осевой или центральной симметрией. Задача о радиальном потоке тепла через концентрические цилинд ры с различными коэффициентами теплопроводности является од ним из примеров таких задач. В достаточно длинном цилиндре по ток тепла распространяется как в радиальном, так и в осевом на правлениях. Поток тепла не зависит от азимутального угла 0, если граничные условия не зависят от 0. Другим примером задачи с осевой симметрией является задача о плоском течении воды к скважине. В этом случае характеристики течения не должны за висеть от угла 0. Многие трехмерные задачи теории поля облада ют осевой симметрией. Большинство из рассмотренных здесь задач связано с переносом тепла, впрочем течение воды к скважине в пористой среде— пример важной задачи гидродинамики.
Методика решения двумерных и трехмерных задач, которая об суждалась ранее, изменяется в случае наличия симметрии. Глав ное изменение связано с порядком используемого элемента. Дву мерные симметрические задачи становятся одномерными, а трех мерные осесимметрические задачи решаются с использованием двумерного элемента.
Вариационная формулировка задач и вычисление соответствую щих интегралов по площади элемента настолько отличаются от того, что было описано в предыдущих главах, что требуют специ ального рассмотрения, которое будет дано в этой главе.
10.1. Симметрические двумерные задачи теории поля
Рассмотрим дифференциальное уравнение для квазистатических задач теории поля в цилиндрических координатах [1]
К д2Ф |
, |
1 ^ |
скр , к00 |
д2(р |
к 7 |
д2(р |
(Ю.1> |
|
ГГ дг2 |
^ |
Г |
Г2 |
002 |
дг2 + Q= 0 |
|||
|