1323

эти вектор-столбцы имеют вид

{е)г= [ W J

и

{°)Г= [ 0Л ^ ] - В основе курса теории упругости {5] лежат два важных соот­

ношения: закон Гука, который связывает компоненты тензоровнапряжений и деформаций, и соотношения связи между дефор­ мациями и перемещениями. Закон Гука в общей форме имеет вид

где [D] содержит упругие константы материала. Соотношения связи между деформациями и перемещениями записываются каю

где и, v и w — компоненты перемещений .в направлении коорди­ натных осей х, у и z соответственно1). Эти компоненты перемеще­ ний 'были выражены в гл. 3 через узловые значения следующим образом:

Здесь [А] — матрица функций формы (3.24). С помощью формул (5.65) можно выразить вектор деформации {е} через узловые пе­ ремещения {U}. Общая форма этих соотношений такова:

{е}=[В]{£/}. (5.67)-

Здесь [В] — матрица, получаемая дифференцированием надлежа­ щим образом матрицы [N]. Фактические значения коэффициентов матрицы [В] зависят от вида используемого элемента и от типа рассматриваемой задачи. Поэтому точное определение [В] будет отложено до рассмотрения конкретных примеров.

Энергия деформации А(е) отдельного элемента с помощью фор­ мул (5.64) и (5.67) может быть записана в следующем виде:

A W - J ~ ( { £ / } г [B W f [D‘*>][Б<‘ >] {£/) —

у(^)

— 2 [Щ т [В(г)Г [D<*>] (ej«>) + {в« l7- [Dw ] (ef> ]) dV . (5.68>

Для того чтобы компоненты деформаций (5.65) образовывали тензор, не­ обходимо правые части выражений уХу„ Ууг, уХг умножить на 7г.— Прим. ред.

Последнее слагаемое в (5.68) не зависит от узловых значений {£/}, поэтому оно не влияет на процесс минимизации и в дальней­ ших ссылках на (5.68) не будет приниматься во внимание.

Работа, совершаемая внешними силами, может быть разделе­ на на три различные части: работа Wc, совершаемая сосредото­ ченными силами, работа Wp, которая получается в результате действия компонент напряжений на внешней стороне поверхности, работа Wb, совершаемая массовыми силами.

Работу сосредоточенных сил легко определить, если в каждой точке приложения сосредоточенной силы поместить узел. Работа сосредоточенной силы равна -произведению величины этой силы на длину пути, на котором эта сила действует. Таким образом, работа отдельной силы равна P-U. Обозначая узловые силы че­

Это определение предполагает, что силы разложены на компонен­ ты, параллельные компонентам перемещений. Эта часть полной

где и, v и w — компоненты некто-pa -перемещений внутри элемента по осям xf у и 2 соответственно. Интеграл здесь необходим, так

нак Uy v и ш вместе -с ^ и £ могут изменяться внутри эле­ мента. Используя равенство (5.66), формулу (5.70) можно пере­ писать в виде

w ? = \и\т[ЛГ<*>Р бЦ{е) dV. (5.71) &е)

v (e)

Работа поверхностных сил определяется следующим образом:

где и, v и w — компоненты вектора перемещений, а рх, ру и рг—

компоненты вектора напряжений, параллельные координатным осям х, у и 2 .

ЛИТЕРАТУРА

1. Fung Y. С., Foundations of Solid Mechanics, Prentice-Hall, Englewood Cliffs,

N. J., 1965.

2.Harr M. E., Groundwater and Seepage, McGraw-Hill, N. Y., 1962.

N. Y., 1973.

5.Timoshenko S. P., Goodier J. N., Theory of Elasticity, McGraw-Hill, N. Y., 1970; есть русский перевод: Тимошенко С. П., Гудьер Дж., Теория упругости, изд-во «Наука», М., 1975.

6.Vallentine Н. R., Applied Hydrodynamics, Butterworth, London, 1959.

КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЯ НЕКРУГОВОГО СЕЧЕНИЯ

В четырех предыдущих главах рассматриваются вопросы дис­ кретизации тела, построения интерполяционного полинома для от­ дельного элемента и использование интерполяционных полиномов для дискретизованной области, а также дается вывод основных уравнений. Каждая из этих глав содержит исходную информацию, связанную с методом конечных элементов. В этой главе мы пере­ ходим от рассмотрения теории метода к его реализации. Ее цель — проиллюстрировать все этапы реализации метода. Эта цель дости­ гается путем получения численного решения задачи о кручении стержня некругового сечения.

Выбор именно этой задачи для иллюстрации реализации мето­ да конечных элементов объясняется двумя причинами. Во-первых, в этом случае относительно просто выводятся уравнения метода конечных элементов. Матрица [/С] легко вычисляется, а интегралы по границе области обращаются в нуль в силу задания нулевых граничных значений искомой функции. Во-вторых, концепции, ис­ пользуемые при рассмотрении кручения стержня некругового сече­ ния, одинаково важны как для механических задач, так и для за­ дач теории поля. Хотя теория кручения стержней представляет со­ бой самостоятельный раздел механики деформируемого тела, ис­ пользуемые -в ней дифференциальные уравнения аналогичны урав­ нениям, которые описывают перенос тепла и течение грунтовых вод.

6.1. Общая теория кручения стержня

Согласно теории1^кручения цилиндрических стержней с произ­ вольной формой сечения, сдвиговые напряжения, возникающие в теле в результате действия крутящего момента Т относительно оси z (фиг. 6.1), могут быть вычислены в произвольной точке тела по

п Существуют две теории кручения стержней некругового сечения. Одна из них была развита Сен-Венаном, другая — Прандтлем. Обе теории обсуждаются в работе [1]. Вариационная теория Прандтля, используемая в этой главе, описа­ на в книге Тимошенко и Гудьера [3].

Вариационная формулировка задачи о кручении стержня связа­ на с рассмотрением функционала

>'-=1[т-(-1-)'+4-(ж)*-209'р]‘'1'' (6-6)

Фиг. 6.2. Поверхность функции напряжений ср и со­ ответствующее сдвиговое напряжение.

который в соответствии с изложенным в гл. 5 может быть записан в виде

ду \

Вектор-столбец {g} соответствует сдвиговым напряжениям, мат­ рица [D] становится единичной, так как КХх=Куу= 1. Минимиза­ ция х по {Ф} приводит к системе линейных уравнений

где [ЫЩ определена в формуле (4.1), а [В(е)] — матрица гради­ ентов, определенная в формуле (5.39). К решению системы (6.8) приступают после того, как выбрана форма сечения и это сечение разбито на элементы.