1323
.pdf
Соотношение (3.5) может быть записано в матричном виде
<f=NiOi + N p j =[N]l<I>}, |
(3.6) |
где [УУ] = [NiNj]— матричная строка и {Ф }= |ф 4 — вектор-стол
бец. Как видно из формулы (3.5), функция Ni = \Xj — x)/L равна единице в узле с номером i и равна нулю в /-м узле. Аналогично функция Nj равна нулю в i-м узле и равна -единице в узле с но мером /. Эти значения характерны для функций формы. Они рав ны единице в одном определенном узле и обращаются в нуль во всех других узлах.
Пример
7. Одномерный симплекс-элемент используется для аппрокси мации распределения температуры в стержне. В результате ре шения задачи установлено, что температура в узлах i и / равна 120 и 90 °С соответственно. Требуется определить температуру в точке на расстоянии 4 см от начала координат и градиент тем пературы внутри элемента. Узлы i и / расположены на расстоя нии 1, 5 и 6 см от начала координат.
!от
I |
=90°С |
-------- о |
—о ------ |
Xi = 1,5 см |
Xj -6 см |
|
* |
|
К задаче 7. |
Температура t внутри элемента определяется соотношением
Данные элемента: |
|
|
|
Х 4= 1,5 |
с м , |
Гг = |
120°С, |
Х ,= 6,0 |
см, |
Tj= |
90 °С, |
* = 4 ,0 |
см, |
L = X j — Х ~ 4 ,5 см. |
|
Под-ставляя исходные данные в формулу для температуры, полу чаем
( = |
(_e!2 _ l |
i |
) |
i 20 + |
( ^ |
_ , . ^ |
9° s= |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
= |
_^(12<J)_ + Л |_ |2 1 = |
5 3 ,3 3 + 50 = |
103,33 °с. |
||
Для градиента температуры имеем |
|
|
|
|||||||||
dt |
__ |
1 |
г |
I |
1 |
Г |
— 1 |
(Т |
Г ч |
9 0 - 120 |
—30 |
6,67°С |
dx |
~ |
L |
1 |
|
L |
1 |
L |
V J |
2 » ~ |
4,5 |
— 4,5 |
см |
3.2. Двумерный симплекс-элемент
Двумерный симплекс-элемент показан на фиг. 3.3. Это треуголь ник с прямолинейными сторонами и тремя узлами, по одному в
каждой вершине. Необходима логическая нумерация узлов эле-
Фиг. 3.3. Двумерный симплекс-элемент.
мента. В этой книге используется последовательная нумерация узлов против часовой стрелки, начиная от некоторого /-го узла, который выбирается произвольно1. Узловые значения скалярной величины ф обозначаются через Ф*, Ф; и Фи, а координатные ла ры трех узлов — через (Хи У<), (Xjt У,-), (Xh, Yh).
Интерполяционный полином имеет вид |
|
|||
Ф = а 1 + с у ; +<*,,«/. |
(3.7) |
|||
В узлах выполняются следующие условия: |
|
|||
ф = ф , |
при |
x = X t, |
y —Yit |
|
<р=Фу |
при |
x = X jt |
y = Y j |
|
и |
|
х = Х к, |
y = Y k. |
|
Ф =Ф А при |
|
|||
Подстановка этих условий е формулу (3.7) приводит к систе |
||||
ме уравнений |
|
|
|
|
ф, = а г-)- сСоХ; -f- a3Ylt |
|
|||
Ф;= |
+ |
a-zXj + aaY]t |
(3.8) |
|
®ti= ai + |
a2^k+ |
«3^ft* |
|
|
решая которую получаем |
|
|
|
|
ai = - 2T к а д - а д ) |
+ ( а д - а д ) ф ;+ |
|||
+ ( а д - а д ) Ф * 1 , |
|
|||
« 2 = ^ 4 - l(Yj - YJ Ф, + |
(П - Г ,) ф; + (К, - |
К,) Ф*], |
||
« 8 = -£ Г |
ф г + |
(X, -X * ) Ф, + (X ; |
X,) Ф4]. |
|
Определитель системы связан с площадью треугольника А соот ношением
1 |
*1 |
у, |
|
1 |
Xj |
у t = 2 A. |
(3.9) |
1 |
x k |
y k |
|
Подставляя значения ai, аг и аз в формулу |
(3.7), можно преобра |
||
зовать .выражение для <р к виду, подобному |
(3.6). Это соотноше |
||
ние, определяющее элемент, содержит три функции формы, по одной для каждого узла:
Ф = Х {Ф, + N p j + NkФк, |
(3.10) |
где |
|
( a,= X jY k- X |
kY}, |
N i= -Z Z ‘ lai + btx + ciy] и j Ьг= У , — Yk, |
|
l с ,= Х 4- Х , ;
Nj = - £ A [aJ + b1X + Cjy]
Nа=~ 2^- \ak+ btX+ Cky]
Вычислим значение JVj в t'-м узле:
Xt = ~$д~(ai + btx + cly) =
( aj = X kYi- Y kXi,
Иb j= Y k- Y t,
l с ,= Х 4-Х * ;
( a ^ X . Y j - X j Y , ,
иbk= Y t - Y p
{ck= X j - X t.
= ^ Г (X /,-X b Y ; + YjXt - Y kXt + X*K,—XjY()
Выражение в скобках представляет собой величину определителя в формуле (3.9), поэтому в узле с номером i
Nt =-^-(2A) = l.
Предлагаем читателю показать, что Ni равно пулю во втором и третьем узлах, так же как и во всех точках прямой, проведен ной через эти узлы.
Скалярная величина ф определяется внутри элемента функ циями формы, линейными по х и у. Это означает, что градиенты
этой величины в направлениях |
х и у будут постоянны. Градиент |
|||
в направлении х определяется соотношением |
|
|||
дф |
dNj |
dNi |
dth |
|
Их |
дх Фг 4 |
дх ф , |
дх Ф*. |
(3.11) |
ко |
014а |
|
|
|
|
|
|
|
|
Поэтому |
|
|
|
|
|
■^=bi4>i + b^j + bk(fk. |
(3.12) |
||
Так как bit bh bh постоянны (они фиксированны как только зада ны узловые координаты) и <р<, ср3- и ф/, ие зависят от координат пространства, частная производная в (3.12) имеет постоянное значение. Постоянство градиента внутри каждого элемента озна чает что необходимо использовать очень малые по величине эле менты, чтобы аппроксимировать быстро меняющуюся функцию <|.
Пример
8. Требуется получить соотношение, определяющее элемент, и вычислить значение давления в точке В с координатами (2, 1,5), если заданы узловые значения Pi=40 Н/см2, Р, = 34 Н/см2 и Рь.=
= 46 Н/см2.
Давление р внутри элемента определяется по формуле
p = N lPi + NjPj + NkPk,
где
(а, + bix-\r ciy)t |
Nj |
(aj + bjx + с}у) |
И
Nk =*2 (ak+ Ь,рс+ cky).
Подстановка значений координат узлов в формулу (3.10) дает
ai= X jY k |
= 4(5) - 2 ( 4 - ) = 19, |
й;= а д , - Х |
гГЛ= 2(0) —0 (5 )= о, |
в* = X iYJ- X |
JYi= 0 (4-)— 4(0)=0, |
6 , = К , - П = 4 — 5 = - 4 ,5 ,
b)= Y k—Yi= 5 - 0 = 5 ,
46 — 42 |
5 — У |
ИЛИ у = 3,5 см. |
46 — 34 |
5 — 0,5* |
|
Поступая аналогично, получим координаты точки -на стороне ik:
2 |
5 |
X = - g - СМ |
И y = -J - CM. |
Линия уровня показана ниже:
3.3. Трехмерный симплекс-элемент
Трехмерный симплекс-элемент представляет собой тетраэдр. Четыре *его узла обозначены индексами £, /, k и I, причем обход узлов i, /, & в том порядке, как они написаны, осуществляется против часовой стрелки. Увел / расположен в вершине, находя щейся вне плоскости узлов г, /, k. Элемент изображен на фиг. 3.4.
Интерполяционный полином для тетраэдра имеет вид
ф= « i + <цх+ |
+ a4z. |
(3.13) |
Коэффициенты можно определить, используя четыре условия в узлах:
ф.= а г+ a2X t + a3Yi + a 4Zf,
ф.= а г+ а2Хj + a3Yj + a 4Zy,
ф*= a i + a2^k + cc3F k+ aAZk9
ф / = а i + |
+ а з^/ + aiz i• |
то, используя формулу (3.18), получим
ф =[1 х у z] [С]-1 {Ф}. |
(3.19) |
Определитель матрицы [С] равен шести объемам тетраэдра. Элементы матричной алгебры, необходимые при использовании правила Крамера, изложены, например, в книге Зенкевича [5].
Пример
10. Координаты вершин тетраэдра показаны ниже. Требуется определить функции формы, используя процедуру обращения
матрицы. По значениям координат узлов составим матрицу
-1 |
|
Yi |
Z f |
-1 |
1 |
2 |
r |
1 |
*,• |
К |
h |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
Хк |
Yk |
z* |
1 |
2 |
0 |
0 |
_1 |
X, |
Y, |
Z/_ |
.1 |
1 |
0 |
3. |
Ей соответствует обратная матрица
-0 |
6 |
0 |
0- |
0 |
—3 |
3 |
0 |
3 — 1 |
— 1 |
— 1 • |
|
.0 |
— 1 |
— 1 |
2_ |