1323
.pdfТочно так же, как при рассмотрении интеграла (10.16), отсюда можно заключить, что тепло от источника внутри элемента распре деляется неравномерно по узлам элемента, как это имело место в двумерном случае, представленном формулой (8.47).
Фиг. 10.2. Осесимметричный треугольный элемент.
Поверхностные интегралы в задачах переноса тепла вычисля ются относительно просто. Начнем с поверхностного интеграла, который входит в [#*>], и рассмотрим сторону элемента между уз лами / и k (фиг. 10.2):
dS |
L2 |
L3] 2~rdX = |
|
|
|
5/* |
- * 1 |
|
|
|
|
2 Ik |
ГО |
0 |
0 |
|
|
|
|
d2. (10.30) |
|||
|
= 2 г М |
Г 0 |
rL 2L 2 |
rL 2L 3 |
|
|
|
X jk |
r L 2L 3 |
r L 3L 3 |
|
Используя соотношение (10.25) для г, составляя соответствующие
произведения и интегрируя с учетом формулы |
(3.43), получаем |
||||
|
j4[W ]r [N\dS = — h%ik |
"0 |
0 |
О |
|
|
0 |
(3Rj + Rk) |
(Rj + Rk) |
(10.31) |
|
|
si„ |
0 |
(R}+ Rk) |
(R}+ 3Rk) |
|
где |
Xjh — длина стороны между |
узлами / и к. Существуют еше |
|||
две |
формы записи соотношения |
(10.31), соответствующие |
двум |
||
другим сторонам элемента. Для сторон между узлами i и / и меж ду узлами i и k соответственно имеем
|
|
h[N)T [N\dS = ~ f + - |
' ( 3Ъ + Rj) |
(Rt + Rj) |
0- |
(10.32) |
||
|
J |
( R i + R j ) |
( R t + Щ ) |
о |
||||
|
|
о |
|
o |
o |
|
|
|
|
sn |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
j/i[W ]r [^V] d S = —^ ~ |
(3R i + R k) |
0 |
(Ri + R,,)- |
|
|||
|
0 |
0 |
|
0 |
|
(10.33) |
||
|
|
|
(Ri + Rk) |
0 ( R i + S R b ) |
|
|||
|
Поверхностный интеграл в {f№} имеет вид |
|
|
|
|
|||
|
|
[rLi |
|
|
|
|
|
|
| Лфсо [Л^]г dS =2тгЛфсо J rL2 d% = |
|
|
|
|
|
|||
s4 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
'2 |
1 |
0‘ |
|
|
|
|
|
|
2nXuh<p0 |
(Ri) |
|
|||
|
|
|
|
1 |
2 |
0 |
к |
(10.34) |
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
RJ |
|
Аналогичные формулы для двух других сторон легко получаются изменением положения ненулевых коэффициентов матрицы в фор муле (10.34). Двойки при этом всегда остаются на диагонали.
Соотношение (10.34) интересно тем, что оно применимо так для вертикальной, так и для горизонтальной поверхностей соответ ствующих сторон элемента. Для вертикальной поверхности (фиг. 10.3,a) Ri=Ri=R и
(Г
и г \1лТ |
л с |
Лфоо [W |
dS : |
S
Мы видим, что конвективный приток тепла так же, как и в дву мерной задаче, распределяется равномерно по узлам вертикаль ной поверхности элемента. С другой стороны, если Ri и Rj нахо дятся на горизонтальной поверхности (фиг. 10.3,6), то Xij=Ri— —Rj и
((2Я,+ /?,)]
(Я,-/?,) (Я,+ 2/?,) •
Теперь конвективное тепло, характеризуемое произведением 2лЛф00Ж^/б, распределяется неравномерно по узлам. Большая часть этой величины приходится на узел, наиболее удаленный от оси симметрии.
13— 763
6)
Фиг. 10.3. Узловые компоненты {fW} для горизонтальных и вертикальных поверх ностей сторон элементов.
Пример
92. Составьте уравнения, определяющие элемент, для осесим метричного треугольника, показанного ниже.
К задаче 92.
Матрица теплопроводности [/+>] выражается в виде суммы двух интегралов: объемного интеграла, представленного формулой (10.22), и поверхностного интеграла из (10.31). Запишем числовые значения констант, входящих в эти формулы:
1 |
8 |
3 |
= 1,0, |
2А = 1 |
8,5 |
4 |
|
1 |
7,5 |
4 |
|
bt—Zj—Zh— о, |
|
|
|
Ci=Rk—R j = —i. |
|
|
||||||
b]=Zk—Zt= l, |
|
|
|
Cj=Ri —Rk= 0,5, |
|
|
||||||
bk= Z i |
Z j= |
1, |
|
ck —Rj —Rj —Rt = 0 ,5 , |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
"2 |
1 |
Г |
8 |
|
|
|
|
^ = 1 Г |
[8 |
8’5 |
|
7*5] |
1 |
2 |
1 |
8.5 |
=64,04, |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
2 |
7.5 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2яRK rr _ |
2л64,04-40 |
|
QfU7 K 2nRKzz |
|
|
|||||||
4A |
~ ~ |
4(1/2) |
|
|
— 0U4/,0— |
4A . |
|
|
||||
Подставив результат |
вычисления в формулу |
(10.22), |
получим |
|||||||||
|
|
'0 |
|
0 |
|
0" |
|
|
|
|
|
|
j lS j r [D] [В] dV =8047,5 |
0 |
|
1 |
|
— 1 |
+ |
|
|
|
|
||
v |
|
|
0 |
— 1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
—0,5 |
—0,5 |
' |
|
|
|
|
|
+ |
8047,5 |
—0,5 |
0,25 |
0,25 |
, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
—0,5 |
0,25 |
0,25 |
|
'8047,5 —4023,75 —4023,75"
—4023,75 10059,38 —6035,63 .
—4023,75 —6035,63 10059,38
Поверхностному интегралу в [£(в)], вычисленному по поверхности стороны jk, соответствует выражение
2nhXjk |
"0 |
0 |
|
о |
||
0 |
(3Rj + |
Rk) |
(Rj + Rk)] , |
|||
12 |
|
|||||
|
0 |
(Rj + Rk) |
(Rj + 3Rj |
|||
|
|
|||||
|
|
SZjk= |
8,5 —7,5 = |
1 C M , |
||
|
R j=8,5 и |
Rk= 7,o . |
||||
13
Подстановка этих величин дает
'0 |
0 |
0' |
'0 |
0 |
0 |
' |
0,262 0 |
33 |
16 = |
0 |
8,65 |
4,19 |
|
0 |
16 |
31 |
0 |
4,19 |
8,12' |
|
Матрица теплопроводности получается сложением двух вычислен ных матриц:
8047,5 —4023,75 —4023,75' [#*>]= [ 6 f ] + [ /# > ]= —4023,75 10068,03 —6031,44 .
—4023,75 —6031,44 10067,5
Поверхностный интеграл, входящий в {/^}, записывается сле дующим образом:
|p )j |
- |
Роо |
0 |
0 |
0' |
|
0 |
2 |
1 |
|
|||
|
|
|
к) |
|||
или |
|
|
0 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
[fU) |
2 л -1.1/2-300 |
0 |
0 |
0' |
8 ' |
|
0 |
2 |
1 |
8.5 |
|||
|
|
6 |
0 |
1 |
2 |
7.5 |
|
|
|
||||
и
0 ' {/«>) = 3848,4..
3691,4
Окончательные |
уравнения, |
определяющие |
элемент, имеют вид |
||
" 8047,5 |
—4023,75 |
—4023,75' f®.1 |
[ |
0 |
|
—4023,75 |
10068,03 |
—6031,44 |
|
. = |
3848,4 |
—4023,75 |
—6031,44 |
10067,5 |
W |
[3691,4 |
|
|
|
|
|
|
|
10.3. Машинная реализация
Решение радиальных и осесимметрических задач теории поля на ЭВМ мало отличается от машинной реализации одномерных и двумерных задач теории поля, рассмотренной в гл. 8 и 9. Про
грамма для осесимметрического случая проще соответствующей двумерной программы, потому что в первом случае отпадает необ ходимость в координатных преобразованиях. Главные оси инерции должны быть параллельны координатным осям г, z, ибо в против ном случае задача перестанет быть осесимметрической. В теле, составленном из нескольких материалов, оси инерции для всех материалов также должны быть ориентированы по оси симметрии.
Программы для ЭВМ составляются так, чтобы их можно было использовать для двумерных или осесимметрических задач теории поля. Переход от одного типа задач к другому в таких программах обычна осуществляется с помощью приближенного метода, рас смотренного в предыдущем разделе. Величины Кхх и Куу заменя
ются на гКгг и rKzz. Любая программа такого типа должна содер жать операторы, которые позволяют выбирать соответствующие формулы для поверхностных интегралов. При решении осесиммет рических задач указанные интегралы содержат радиальное рас стояние, и формулы, определяющие эти интегралы, не так просто приспособить для двумерного случая. Так, соотношение (10.34) в случае двумерной задачи будет давать правильные результаты, если оно используется для вертикальной поверхности, но будет давать ошибочные значения при рассмотрении горизонтальной поверхности.
Задачи
93.Убедитесь в эквивалентности функционала (10.7) диффе ренциальному уравнению (10.4) с граничными условиями (10.6) (см. приложение А).
94.Металлическая труба, для которой Кгг= 70 Вт/(см-К), ок ружена изоляционным материалом с /Crr= 5 Вт/(см-К). Жидкость, движущаяся в трубе, имеет температуру 573 К. Температура сна ружи изолятора равна 320 К. Размеры трубы: внутренний диа
метр 2 см, внешний диаметр 4 см. Внешний диаметр изолятора 8 см. Используя четырехэлементную модель, вычислите темпера* туру срединной поверхности трубы, внутренней поверхности тру бы-изолятора и срединной поверхности изолятора. Определите теп ловой поток для каждого элемента и выясните, почему он не по стоянен по элементам.
95. В качестве теплообменника используется ряд тонких круго вых пластин, насаженных на круглую трубу, по которой течет жидкость. Пластинки считаются тонкими, так что изменением тем пературы по их толщине можно пренебречь. Предполагая темпера турное поле радиальным, вычислите поверхностные интегралы, свя занные с передачей тепла от пластины в окружающую среду. Теп лообменом по торцевым частям пластины пренебречь.
Кзадаче 95.
96.Выведите определяющие элемент уравнения, необходимые для расчета средней массовой температуры тела. Средняя массо
вая температура определяется формулой R = ^Т(х, y)dM/J dM, где
dM — элементарная масса. Выполните расчеты для |
следующих |
|
случаев: |
|
|
а) |
радиального переноса тепла; |
|
б) |
осесимметричного переноса тепла. |
|
97. |
Вычислите объемный интеграл J rQ[N]TdV без |
применения |
V
какой-либо аппроксимации. Используя элемент из задачи 91, срав ните вычисленное значение с результатом, полученным по формуле (10.28).
98. Вычислите поверхностный интеграл |/гГоо[Л^]тс15 вдоль сто-
s' роны между узлами k и i треугольного элемента.
99.Составьте вектор-столбец {f} для изображенного ниже эле
мента.
100.Составьте матрицу теплопроводности [# е>] для элемента, используемого в задаче 99, если
K„=2KZZ=80 Вт/(см-К).
101.Обсудите способ расчета теплообменника в виде ряда тон ких круговых пластин, насаженных на сплошной круговой цилиндр. Используйте элементы обоих типов, рассмотренные в этой главе.
102.Измените программу FLDMCH так, чтобы ее можно было использовать для решения задач, включающих радиальный поток воды к скважине. Проверьте программу, решив задачу 90 из этой
главы.
103. Модифицируйте программу TDHEAT так, чтобы ее можно было использовать для решения осесимметрической задачи пере носа тепла. Используйте эту программу для определения распреде ления температуры в теле, показанном ниже.
ЛИТЕРАТУРА
1. Krieth F., Principles of Heat Transfer, 3-rd ed., Intex Educational Publishers, ’ N. Y. 1973.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
Zienkiewicz О. C., The Finite Element Method in Engineering Science, McGrawHill, London, 197Ц Ch. 15; есть русский перевод: Зенкевич О., Метод конечных элементов в технике, изд-во «Мир», М., 1975.
НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПОЛЯ
В задачах теории поля, которые рассматривались в двух пре дыдущих главах, предполагалось, что к моменту, когда предпри нимается анализ, в теле уже достигнуто установившееся состояние. Другой важный класс физических задач представляют задачи, учи тывающие изменение искомых величин во времени. В некоторых из них имеет место так называемый переходный период между на чалом физического процесса и достижением установившегося со стояния. Встречаются задачи, в которых установившееся состояние вообще не достигается и переходный период составляет весь фи зический процесс.
С нестационарными задачами очень часто сталкиваются при исследовании явления переноса тепла и течения грунтовых вод. Динамическое поведение различных конструкций также представ ляет пример переходной задачи, но оно не будет рассматриваться в этой книге. Наше обсуждение ограничивается переходными за дачами теории поля в тех областях, которые были рассмотрены в предыдущих главах.
11.1. Соотношения, определяющие элементы
Многие физические задачи описываются рассмотренным в пя той главе квазигармоническим дифференциальным уравнением, включающим член, который содержит частную производную по времени. При этом получается нестационарное уравнение
< I U |
> |
с граничными условиями, выраженными формулами (5.26) |
и |
(5.27). Величина %в уравнении (11.1) представляет собой некото рый параметр материала или комбинацию таких параметров. Все коэффициенты уравнения КХх Куу, Kzz и X также как и Q, могут изменяться со временем.
При использовании метода конечных элементов для решения уравнения (11.1) член с частной производной по времени рассмат ривается как функция пространственных координат в каждый фик
сированный момент времени. Тогда уравнение (11.1) можно рас сматривать как уравнение, идентичное (5.25), с учетом того, что величина Q в формуле (5.25) теперь заменяется на разность
Q - b - f - . |
(11.2) |
После этой замены решение физической задачи получается мини мизацией связанного с уравнением (11.1) функционала для каж дой точки временного интервала. Перед каждой такой минимиза цией коэффициенты теплопроводности и другие величины, завися щие от времени, должны быть пересчитаны заново.
Функционал, связанный с уравнением (11.1), имеет вид
x=J ir [***(■§■) +K y y { ' w ) |
+ К г г { ^ ~ ) ~ |
|
V |
|
|
- 2 ( Q - b - % ) |
<v\dV+ j |
qcpdS+ |
|
S i |
|
+ j-!"t<P2- |
2<p<Pco + (f&]dS. (11.3) |
|
|
s2 |
|
Выражение (11.3) отличается от (5.32) только величиной Q в объ емном интеграле. В результате минимизации получаются соотно шения, идентичные (5.45) и (5.46). Эти соотношения будут приве дены ниже.
Вклад модифицированной величины Q в функционал (11.3) со ставляет
jto— M Q - b - t - ) * ' . |
(11.4) |
V
Последнее соотношение должно быть переписано как
(11.5)
е=1 V
поскольку ф определяется поэлементно. Полевая функция ф(е> оп ределяется формулой
Ф(в>= [Arte)] {Ф}, |
(11.6) |
где [ЛКе>]— расширенная форма матрицы функций формы (4.8). Дифференцируя выражение (11.6) по времени, получаем
<*P(g) |
, у ы |
, а{Ф). |
(И-7) |
||
dt |
— l |
1 |
dt • |
||
|
|||||