1323

t-lCM

Е = 6 *Ю 6 Н /см 2

ас=7хЮ -6см/(см-°С)

11=0 25

К задаче 1 1 0 .

Подстановка числовых значений коэффициентов дает

Матрица упругих констант в данном случае имеет вид

Запишем матрицу жесткости элемента

[£<0]=[Bf[D ] [B\tA,

О2

Вектор нагрузки элемента {/(е)} обусловлен как тепловым воз­ действием, так и поверхностной нагрузкой. Вклад в вектор нагруз­ ки теплового воздействия определяется величиной

{f%}=lBlT[D\l4 }tA.

люстрации пример, в котором рассматривается несколько элемен­ тов, непрактично.

Существуют два способа проверки правильности составления матрицы Прежде всего [6(е)] должна бытв симметричной матрицей с положительными коэффициентами на главной диаго­ нали. Кроме того, сумма коэффициентов любой строки или столбца матрицы должна обращаться в нуль.

12.3. Трехмерные задачи теории упругости

Трехмерный симплекс-элемент в задачах теории упругости рас­ сматривается почти так же, как двумерный элемент. Три компо­ ненты перемещения и, v и w аппроксимируются внутри элемента соотношениями

t V a

Uu

Двенадцать узловых значений изображены на фиг. 3.5 и воспро­ изводятся для удобства здесь (фиг. 12.2). Функции формы опре­ делены в гл. 3. В общей форме они записываются как

где ар, 6р, ср и dp выражаются через координаты узлов. Соотношения связи между перемещениями и деформациями в

данном случае имеют вид

Матрица градиентов '[В] в формуле {е} =i[.6] {£/} легко вычис­ ляется дифференцированием (12.25) с последующим использова­ нием зависимостей (12.27). Приведем здесь окончательный резуль­ тат:

янные члены и, следовательно, могут быть вынесены за знак ин­ теграла. Для матрицы жесткости элемента имеем

[ДО]—Г[В\т[£>] [В] dV=[B]T [D\ [В] j dV=[B]T1£>] [В] V. (12.32)

Перемножение матриц выполняется ЭВМ. Вектор-столбец {/И} представляется суммой трех интегралов, после вычисления кото­ рых имеем

Из первого вектор-столбца видно, что объемные силы распределя­ ются поровну между четырьмя узлами элемента. Второй векторстолбец, соответствующий тепловому расширению материала, сохранен в виде произведения матриц, которое будет вычислять ЭВМ. Как видно из последнего вектор-столбца, поверхностные на­ грузки распределяются поровну между тремя узлами стороны элемента, к которой приложены эти нагрузки. В формуле (12.33) предполагается, что указанная сторона определяется узлами i, / и k, a Siik — ее площадь. Последние три члена в вектор-столбце рав­ ны нулю, потому что они связаны с интегралом / NtdS, a Nt равно

нулю на этой стороне. Расположение нулевых членов в столбце

зависит от того, к какой стороне элемента приложены поверхност­ ные нагрузки. Если поверхностные нагрузки действуют более чем на одной стороне элемента, в выражении для {f(e)} появятся до­ полнительные вектор-столбцы.

12.4. Осесимметрические задачи теории упругости

Важный класс задач теории упругости включает задачи, в ко­ торых рассматриваются тела вращения при осесимметричном на­ гружении. Хотя такие тела и являются трехмерными, но ни их гео­ метрия, ни условия нагружения не зависят от азимутальной коор­ динаты. Поэтому при решении может быть использован тот же подход, что и к двумерным задачам. Осесимметричный треуголь­ ный элемент, полученный вращением треугольного симплекс-эле­ мента, образует треугольный тор.

Уравнения для элемента составляются почти так же, как в предыдущих трех разделах. Необходимо записать несколько новых соотношений, потому что удобнее использовать компоненты тензо­ ров напряжения и деформаций в цилиндрической системе коорди­ нат. Здесь представлены основные величины [1]: компоненты век­ тора напряжений

Соотношения связи между деформациями и перемещениями име­ ют вид

Схематически компоненты 'тензора напряжений показаны на фиг. 12.3. Заметим, что кольцевое нормальное напряжение а00 и деформация ее0 также используются в расчетах.

Предполагая материал изотропным, запишем матрицу упругих характеристик

1—ц 1—ц

1 — 2ц

О О О

Матрица коэффициентов в (12.38) соответствует [В], так как

{е} = [ Я ] № Вычисление интегралов, определяющих матрицы элементов, не­

сколько сложнее, чем это было в одномерных, двумерных и трех­ мерных задачах. Матрица [В] содержит теперь коэффициенты, являющиеся функциями координат, и не может быть вынесена за знак интеграла.

Матрицу жесткости можно определить, вычислив [В] по зна­ чениям г и z в центре элемента. Такой способ позволяет выносить

Черта над [В] указывает на приближенное значение. Формула (12.39) приближенная, но она дает приемлемые результаты, если разбиение на элементы согласуется с ожидаемым распределением напряжений, т. е. в области с большими значениями градиентов напряжений используются малые элементы и т. д.

Вектор-столбец, связанный с тепловым расширением, опреде­ ляется точно так же, поскольку под интегралом стоит матрица [В].

Приближенное соотношение получается вычислением [В] по зна­

чениям г и г для данного элемента. Приведем окончательный ре­ зультат:

1

О

Объемный интеграл от объемных сил может быть проинтегри­ рован точно с использованием L-координат или приближенного