1323

Второй этап состоит в исключении столбцов матрицы, коэффи­ циенты которых умножаются на Ф1 и Ф5. Это осуществляется пе­ реносом членов, содержащих Ф1 и Ф5,. в правую, часть системы. Например, величина F2 становится равной 2000+46Фь или 8900.

Завершая второй шаг, получим

—46Ф2+1Ю Ф 3— 46Ф4= 240,

—46Ф3+142Ф 4=3840, 65Ф5= 2600 .

Описанная выше процедура совершенно проста и легко подда­ ется программированию. Та же методика преобразования может быть использована также в случае, когда /С] хранится в виде прямоугольного массива. Логика программурования, однако, при этом более сложная.

Другой метод, применяемый некоторыми исследователями, со­ стоит в том, что диагональный коэффициент, соответствующий за­ данному узловому значению Фр, умножается на очень большое число, скажем на 1015, a Fр заменяется на (1015) Фр. Это равно­ сильно приближенной замене коэффициентов вне главной диаго­ нали нулями. Такой способ очень легко реализовать на ЭВМ, но он неприменим, если заданное значение Фр очень мало. Именно с таким случаем сталкиваются при решении задач механики твер­ дого деформируемого тела, когда заданные перемещения малы по величине. Первый метод, рассмотренный выше, всегда будет да­ вать правильные результаты там, где мы сталкиваемся с малыми заданными величинами Фр.

7.2.2. Решение системы уравнений

Одним из наиболее эффективных методов решения системы уравнений, которые получаются при использовании метода конеч­ ных элементов, является известный вариант метода исключения Гаусса [1]. Матрица системы преобразуется к треугольному виду, после чего решение получается обратной прогонкой. Проиллюстри­ руем сначала метод на примере решения простой системы уравне­ ний, а затем проведем обобщение, обсуждая вопросы, которые име­ ют отношение к методу конечных элементов.

Рассмотрим систему уравнений

Редукции с номером п соответствует общее соотношение вида ь^(Л—1)

I'/in

Из соотношения (7.14) можно извлечь важную информацию. Прежде всего очевидно, что симметрия в коэффициентах после опе­ рации исключения сохраняется. Это легко увидеть, сравнивая, на­ пример, коэффициенты и /СЦ* в матрице (7.13). Так как в ис­ ходной матрице К п =К \2 и К\г=Къ\, из вышеприведенных формул

следует, что Ki'J = К ^ . Поскольку симметрия сохраняется после каждой редукции, то K%rX) = Kfn~]) к матрица (7.11) может быть

переписана в виде

1Упп

Разложение матрицы таким образом может быть проведено с ис­ пользованием только коэффициентов, находящихся на главной ди­ агонали и выше ее, так что нет необходимости запоминать полную матрицу.

Еще одну важную особенность можно обнаружить при рассмот­

операции исключения, потому что /Ci4== /С41 = 0 и iCi5= ^Csi = 0 - На

каждом шаге исключения следует рассматривать только те коэф­ фициенты в пределах ширины полосы, которые изменяются в про­ цессе исключения. Если система из 100 уравнений имеет матрицу с шириной полосы 15, только 15 уравнений этой системы видоиз­ меняются после каждого отдельного исключения. Это приводит к экономии машинного времени при рассмотрении систем уравнений

большого порядка.

Элементы матрицы, -находящиеся вне полосы, не влияют на процесс исключения (ибо они равны нулю). Следовательно, их пом­ нить не нужно. Это обстоятельство позволяет хранить глобальную матрицу жесткости в виде прямоугольного массива шириной, рав­ ной ширине полосы матрицы.

Фиг. 7.3. Общая блок-схема программы, реализующей метод конечных элементов.

и включение их в глобальные матрицы. Конкретная информация об элементе включает в себя номер элемента и номера узлов. Сюда могут быть отнесены значения координат узлов элемента. Послед­ ние могут быть введены независимо и вызываться из машинной памяти с помощью номеров узлов элемента. Если используется последняя процедура, все узловые координаты должны быть введе­ ны перед началом работы цикла.

Вся важная информация об элементе должна быть выведена на печать где-либо внутри указанного цикла. Вывод исходных дан­ ных на печать позволяет убедиться, что эти данные правильно отперфорированы и введены в нужном порядке. Неверная исходная информация об элементе — главный источник ошибки в програм­ мах, реализующих метод конечных элементов.

Задание номеров узлов предпочтительнее задания узловых сте­ пеней свободы. Узловые степени свободы могут быть рассчитаны, если известны номера узлов. В задачах, связанных с рассмотрени­ ем векторных величин, ввод номеров узлов может сократить на половину или на две трети требуемую информацию об узловых данных.

Составление матриц элементов требует знания свойств мате­ риала. Существуют три способа обработки данных об этих свой­ ствах. Если данные о свойствах материала не зависят от номера элемента, они могут быть введены одновременно с предваритель­ ной информацией. Именно так делается в программах, представ­ ленных в гл. 18, потому что эти программы носят учебный, а не исследовательский характер. Их используют в основном не для решения сложных задач, а для иллюстрации применения метода конечных элементов. При другом способе обработки данных о свойствах материала эти данные вводятся и запоминаются как массив перед началом работы цикла. Тогда номер соответствующе­ го материала должен быть представлен в исходных данных эле­ мента. При использовании третьего способа вводится группа свойств материала, которой пользуются для всех элементов до .тех пор, пока некоторое контрольное целое число в исходных данных элемента не укажет, что пора вводить другую группу свойств.

Количество исходных данных элемента (таких, как номера уз­ лов, узловые координаты и свойства материала), которые хранят­ ся в ЭВМ, зависит от используемой программы и от размеров па­ мяти ЭВМ. Стоит придерживаться правила — не хранить исходную информацию об элементе, когда размеры памяти ЭВМ ограничен­ ны. Эта память в большей степени необходима для хранения гло­ бальных матриц. Одним из средств хранения информации являет­ ся внешнее запоминающее устройство, такое, как магнитная лента. Если же внешним устройством воспользоваться нельзя, данные об элементе стираются и вводятся вновь, когда подсчитываются ре­ зультанты элемента.

Ввод узловых сил, если вообще это требуется, и составление глобального вектора нагрузки {Z7} осуществляются после завер­ шения указанного выше цикла по элементам. Вектор узловых сил содержит величины, которые связаны с определенным узлом, а не с определенным элементом. Вообще большинство из этих величин связано с граничными узлами, как, например, сосредоточенные си­ лы в задачах механики деформируемых сред, или псевдосилы, такие, как количество просочившейся воды в задаче о течении грунтовых вод или количество потерь тепла в задаче о переносе тепла. Силы будут определены для различных типов задач в при­ кладных областях. Величины и расположение этих сил будут за­ даны при решении конкретной задачи.

Число узловых сил различно в разных задачах, поэтому необ­ ходимо обеспечить своевременное прекращение ввода. Обычно это достигается использованием нулевого или отрицательного номера узла для размещения узловой силы.

После ввода узловых сил производится ввод заданных узло­ вых значений искомой величины. Поскольку число их может быть произвольным, завершение ввода снова осуществляется с помощью нулевого или отрицательного номера узла. Необходимая модифи­ кация системы уравнений выполняется так, как описано в пре­ дыдущей главе.

После преобразования системы уравнений проводится реше­ ние этих уравнений относительно неизвестных узловых значений. Существует несколько процедур построения решения. Одна из них уже обсуждалась в середине этой главы. Система уравнений имеет специальный вид: ее матрица ленточная, причем диагональные элементы обычно положительны и доминируют над элементами соответствующих столбцов и строк вне главной диагонали. Это позволяет многие достаточно общие процедуры решения видоизме­ нить так, чтобы повысить их эффективность.

После решения системы уравнений осуществляется вывод уз­ ловых значений. Если результанты элементов не вычисляются, то этот этап завершающий.

Для вычисления результантов элементов требуется еще один цикл по элементам. В этом цикле снова вводятся исходные дан­ ные элемента, вычисляются результанты элемента и все другие важные величины, связанные с элементом. Если информация об элементе не хранится во внешнем периферийном устройстве, то ис­ пользование операторов считывания, идентичных тем, которые применяются при первоначальном вводе данных, обладает опре­ деленным достоинством. Это позволяет применять тот же самый набор исходных данных для расчета результантов элемента. Мож­ но также включить в программу операторы сравнения, которые бу­ дут сравнивать вычисленные значения с максимальными или ми­ нимальными значениями для предыдущих элементов и оставлять наименьшее или наибольшее значение вместе с номером элемента.

Вывод на печать информации этого типа производится после рас­ смотрения всех элементов.

Эффективная программа не рассматривает глобальную матри­ цу жесткости, глобальный вектор нагрузки и вектор решения как отдельные массивы, размеры которых заданы заранее, а хранит

все эти величины в общем одномерном массиве в виде столбца

[3].

Концепция одномерного массива может быть проиллюстриро­ вана при рассмотрении системы уравнений, которая используется для получения согласованных результантов элемента четырехэле­ ментной модели в задаче о кручении из гл. 6 . Запишем эту систему

уравнений (6.34):

Обычно запоминание этой системы уравнений требует 48 ячеек машинной памяти — 36 для [К] и по 6 для {Ф} и {F}. В соответ­

ствии с нумерацией узлов, показанной на фиг. 6.3, система урав­ нений будет иметь ширину полосы, равную четырем. Матрица жесткости может быть представлена четырьмя столбцами:

Через х обозначены несуществующие числа, которые обычно за­ меняются в ЭВМ нулями (в результате предварительной чистки). Заметим, что первый столбец соответствует членам главной диаго­ нали, второй столбец заполнен коэффициентами диагонали, следу­ ющей за главной, и т. д.

При использовании одномерного массива вначале помещаются узловые значения т . затем следует глобальный вектор нагрузки {К} и далее располагается матрица жесткости столбец за столб­ цом. Такое хранение матрицы (7.18) вместе с (Ф) и {F} показано на фиг. 7.4. Порядковые номера расположения первых коэффици­ ентов {Ф1}, {F} и {К} в этом столбце называются указателями.

Значение указателя для первого столбца матрицы жесткости на