1323

6.2. Построение матриц элементов

Чтобы показать, как определяются матрицы элементов и ка­ ким образом с их помощью формируется система линейных урав­ нений, рассмотрим стержень с поперечным сечением в форме квад­ рата (фиг. 6.3,а). В связи с наличием четырех осей симметрии можно рассматривать только Vs квадрата. Разобьем эту часть се­ чения на четыре элемента, как показано на фиг. 6.3,6. Четырех

Оси симметрии.

G= 0.8 * Ю7 Н /см 2 в = Г на 100см

Фиг. 6.3. Разбиение области на элементы в задаче о кручении стержня квадрат­ ного сечения.

элементов мало для получения приемлемой точности решения, но вполне достаточно для иллюстрации техники получения необходи­ мой системы уравнений, что является нашей целью.

Согласно методам, изложенным в гл. 4, представим интерполя­ ционные полиномы для элементов в виде

Ф(1) = N p Фх + Щ» Ф2+ 0Ф3+ Щ» Ф4+ 0Ф6+ 0Фв,

Ф(2)= 0 Ф Х+ Щ *Ф 2+ Щ » Ф 3+ 0Ф4+ NM ф6+ 0Фв,

(6.9>

ф(з)= 0 ф 1 + N p ф 2 + 0ф 3+ Л/(3)ф4 + ^(3) ф 5 + 0Фв,

Ф(4)= 0фг+ 0Ф24- 0Ф3+ N£4)Ф4+ Щ*>Фб+ W* Фв.

Общая формула для матрицы жесткости элемента записывает­ ся как

[ # • > 1 = J [5 (f)F [ B ^ ] d V .

Здесь учтено, что [D] = [/] в рассматриваемом случае. Для опре­ деления [В(1)] необходимо дифференцировать {ф(1)] по х н у . Рас­ смотрим подробно первый элемент:

Матрица жесткости элемента представляет собой интеграл от (6.13). Так как произведение матриц [5(1)]т [5(1>] является посто­ янной величиной, оно может быть вынесено из-под интеграла, что дает

[#1>]=[5<1>]г [5(D] j dV = \B (1)\T [Ви >]Л<».

„(О

Толщина элемента предполагается при этом единичной. Восполь­ зовавшись формулой (6.13) и тем, что Л(1>=1/32, получаем

Объемный интеграл

-ДГ(1)-

N p

0

2(?(1,0 N ? dV

„и> 0

0

вычисляется просто, если воспользоваться системой L-координат, рассмотренной в гл. 3:

Объемный интеграл запишется как

Предполагая толщину элемента единичной и применяя интеграль­ ную формулу (3.43), находим

Таким образом, система уравнений для первого элемента имеет вид

[^(1)]{Ф }= (/(1)}

или

В качестве единиц размерности выбраны Н/см2 для G, см2 для Л(1) и рад/см для 0. 0 = л /180Х 1/100 при закручивании стержня на 1° на длине 100 см.

[#*>] {ф} = {/<*)],

Окончательная полная система уравнений получается алгебраяческпм суммированием уравнений для отдельных элементов. Она имеет вид

Величины Ф$, Ф5 и Фв равны нулю, так как соответствующие

им узлы расположены на внешней границе. Преобразуя систему

6.3.Стандартные результанты элемента

Взадаче о кручении стержня важными величинами являются производные функции ф, поскольку они просто связаны с напря­ жениями сдвига:

Значения -сдвиговых напряжений легко вычислить, так как матри­ ца градиентов для каждого элемента уже определена. Матрица градиентов для первого элемента представлена в формуле (6.11):

ду

4 ’ = - - g - = 232,6 Н/см2.

Компоненты тензора напряжений для других элементов вычисля­ ются аналогично:

элемент 2: т2Х= 0 Н/см2, т2„= 639,4 Н/см2, элемент 3: т2х= — 145,4 Н/см2, т2И=494,0 Н/см2, элемент 4: т2Х= 0 Н/см2, т2„ = 494,0 Н/см2.

Эти значения схематически показаны на фиг. 6.5.

Сдвиговые напряжения получаются постоянными в каждом из элементов потому, что интерполяционные полиномы для элементов

взяты линейными по х и у. Невозможность получения переменных по площади элемента производных является недостатком исполь­ зования симплекс-элементов.

Компоненты положительных сдвиговых напряжений

Фиг. 6.5. Сдвиговые напряжения в задаче о кручении стержня, вычисленные для четырехэлементной модели. Все значения выражены в ньютонах на квадратный сан­ тиметр.

Уточнить значения напряжений внутри стержня, полученные в данном примере, можно тремя способами. Во-первых, можно уве­ личить число элементов, используемых при разбиении области по­ перечного сечения. Так как при этом размеры элементов уменьша­ ются, вычисленные значения, напряжений оказываются более близ­ кими к действительным. Во-вторых, можно использовать треуголь­ ный элемент с большим числом узлов, а в интерполяционные полиномы включить квадратные и кубичные члены. Тогда в резуль­ тате дифференцирования будут получаться градиенты, являющие­ ся функциями координат. Третий подход заключается в примене­ нии теории сопряженной аппроксимации. Эта теория позволяет определять напряжения в узловых точках, а также напряжения внутри элемента как функции координат х, у. Применение этой теории обсуждается в следующем разделе.

Другим заслуживающим внимания результантом является кру­ тящий момент Т, который представлен формулой (6.4):

Т = 2 j* cpdA,

i

где 2 — площадь поперечного сечения стержня.

7*

Этот интеграл эквивалентен следующему:

Последнее выражение идентично интегралу в (6.16). Можно сра­ зу сделать вывод, что

Подстановка узловых значений дает

2а<1>

2 у ф(1^ Л = - ^ — (218,16+ 160+ 123,63)= -^ |— (501,79)

( 4 )