1323
.pdfвычислительной машине момент использования этого преобразо вания. Эти приемы связаны с вводом дополнительного параметра для каждого элемента.
Запишем формулы преобразования для двумерного случая:
cos 0 |
sin 0 |
X |
—sin 0 |
cos 0 |
(8.58) |
У |
Здесь х', у' соответствуют локальной системе координат, а х, у— координаты глобальной системы. Эти формулы предполагают сов падение начала координат обеих систем.
8.6. Точечные источники
До сих пор мы не рассматривали важные для многих физиче ских задач понятия точечного и линейного источников. Говорят, что точечный (или линейный) источник тепла существует, когда генерирование тепла Q происходит внутри очень малого объема или очень малой площади. Физическими примерами линейных источников являют ся проложенные в земле трубы для пода чи горячей воды и (или) водяного пара
|
и проводящий электрический ток провод |
|
|
в электропроводящей среде. В каждом из |
|
|
этих случаев площадь поперечного сече |
|
|
ния трубы или провода .мила по сравне |
|
|
нию с размерами окружающей среды. В |
|
Фиг. 8.4. Точечный источник |
задачах о течении грунтовых вод насосы, |
|
выкачивающие воду из водоносного слоя, |
||
внутри треугольного эле |
||
мента. |
также рассматриваются как точечные ис |
|
|
точники. |
Точечные и линейные источники достаточно часто встречаются в окружающей действительности, что оправдывает наше внимание к ним. Мы ограничимся обсуждением источника внутри двумер ного элемента, но процедура, которая будет рассмотрена, очень быстро распространяется и на трехмерный элемент.
Рассмотрим треугольный элемент на фиг. 8.4 с линейным ис
точником Q* [кВт/м] |
(тепло притекает и считается положитель |
|
ным), расположённым |
в точке Х0 Уо. Так как тепловой источник |
|
находится в точке, Q теперь не постоянно внутри объема элемента, |
||
а является функцией координат |
х и у. Используя единичные им |
|
пульсные функции 6 (х—Хо) и 8(у |
—уо) [ 1 ], можно записать |
|
Интеграл
[ЛПГ QdV
|
v |
|
может быть теперь записан как |
|
|
|
(ЛМ |
|
Г[ЛГ]Г QdV=Q* j \N , U ( x - x 0) b ( y - y 0)dxdy. |
(8.60) |
|
V |
A Ю |
|
Толщина элемента предполагается равной единице. Используя из вестные свойства импульсных функций, имеем
[ЛПГ Q d ,V = Q * Nj |
(8.61) |
v
Соотношение (8.61) устанавливает, что, если точечный (линей ный) источник находится внутри элемента, Q распределяется по узлам пропорционально соответствующим величинам Ni, Nj и Nh,
которые вычисляются с помощью координат точечного источника. Так как ЕЛГр= 1 в любой точке внутри элемента, мы не получим величины, большей чем Q*.
Пример
61. Интенсивность источника Q* = 52 Вт/см. Источник находит
ся в точке с координатами (5.2) внутри элемента, показанного ни же (этот элемент использовался в задаче 60). Требуется опреде лить распределение Q* по узлам элемента.
К задаче 61.
Значения Ь и с были вычислены в задаче 60:
bi = - 4 ,
1 ,
bk= з,
Вычислим константы а:
ci = — 1 .
ОТ II 1 со II
7) (4) - ( 6) (0)= 28,
aJ= X kYi- X iYk=(b) (3)— (3) (4 )= 6 ,
ак= Х гУ, - X jYi=(3) (0) - ( 7 ) |
( 3 )= - 2 1 . |
||
Вспоминая, что 2Л=13, |
соотношения для |
Nр |
можно переписать |
в виде |
|
|
|
N« = |
^ - [ 2 8 —Ах—у], |
|
|
|
[6 + JC— 3у \, |
|
|
Nk= ± - [ - 2 \ + 3 x + 4y\. |
|
||
Подставляя сюда Х0= 5 и Уа=2, получаем |
|
|
|
7Vi = 1 L [ 2 8 - 4 ( 5 ) - 2 ] = 4 - - |
|
||
N] = - j j - [6 + 5 — 3 (2 )]= -^ -, |
|
||
N*=13" [~ 21 + 3 (5) + 4 (2)1 = |
4 “- |
||
Величина Q* разделяется по узлам i, j и k на части 6/i3. 5/i3 и 2Дз
соответственно. Поэтому интеграл |
J [N]TQdV для этого элемента |
||
равен |
|
v |
|
|
|
f6] |
|
Г ^ 1 |
|
— 52 |
|
N } |
х=Хо |
Вт/см. |
|
N k |
13 |
5 |
|
У=У0 |
|
w |
|
При разбиении на элементы сплошной среды точечный (линей ный) источник можно разместить в одном из узлов. Это упрощает интегрирование выражения (8.63). Предположим, что источник
находится в /-м узле (фиг. 8.5), тогда Ni=Nk= 0 и
б (х—х0) б (у— г/0) dA=
Р Ч |
Г ° ) |
(8.62) |
= Q* |
= Q * 1 |
N k x=Yi |
о |
y=Y) |
1 J |
Далее Q* в (8.62) должно быть преобразовано с учетом того, что источник относится теперь к более чем одному элементу. Вели чина интенсивности источника должна быть распределена по эле-
Фиг. 8.5. Точечный источник в узле.
ментам, окружающим узел. Это распределение проводится в соот ветствии с тем, какую часть от 360° составляет угол при вершине данного элемента, расположенной в узле /. Правильное соотно шение для элемента (е) на фиг. 8.5 имеет вид
| [ЛПГ QdV |
[0 |
(8.63) |
1 |
||
v |
[° |
|
Однако нет необходимости вычислять угол а для различных элементов, окружающих узловой источник. После того как с по* мощью метода прямой жесткости уравнения для отдельных эле ментов будут объединены, совместный вклад всех элементов, от носящихся к этому узлу, составит полную величину Q*. Простей
8.7.2. Решение на ЭВМ
Последовательное размещение кабелей и тот факт, что каждый из них излучает одинаковое количество тепла, позволяют сокра тить размеры области анализа. Легко заметить два семейства плос костей симметрии в задаче: вертикальные плоскости, содержащие
~5°С |
h=5 Вт/(см2-К) |
Фиг. 8.6. Кабели в теплопроводящей среде.
кабели, и вертикальные плоскости, проходящие на равном расстоя нии между ними, причем последние из указанных плоскостей мо гут рассматриваться как теплонепроницаемые границы. Оконча тельная область анализа показана на фиг. 8.6 .
Исходная информация может быть получена с использованием программы GRID. Квадратные области, использованные для полу чения элементов, показаны на фиг. 8.7 вместе с локальными си стемами координат !»). Области выбраны так, чтобы кабель рас полагался в узле. Такое узловое размещение желательно потому, что кабель может рассматриваться как линейный источник. Узлы 12 и 14 помещены не в средних точках соответствующих сторон, а смещены ближе к узлу 13, так чтобы меньшие по размерам эле менты встречались вблизи этого узла. Меньшие элементы здесь не обходимы потому, что именно в области, окружающей этот узел, градиенты температуры максимальны по величине. Окончательное разбиение, которое содержит 65 узлов и 96 элементов, показано на фиг. 8.8. Кабелю при этом соответствует узел 2 1 .
Второй, четвертый, шестой и восьмой элементы подвержены конвективному теплообмену, причем каждый вдоль второй стороны. В связи с этим в 75-м столбце перфокарт с исходными данными для указанных четырех элементов должно быть пробито число 2 .
Числовое значение интенсивности линейного источника ставит
ся непосредственно в вектор-столбец {F }. Число |
100 будет постав |
лено в 2 1 -ю строку, поскольку рассматривается |
только половина |
области, окружающей кабель. Это значение приписывается состав ляющей F21, так как источник расположен в 2 1 -м узле окончатель
ного разбиения.
Фиг. 8.7. Четырехугольные |
зоны, |
Фиг. 8.8. Окончательное разбиение |
Фиг. 8.9. Линии равных значений |
используемые в программе |
GRID |
области на элементы и номера |
температуры в рассматриваемой |
для разбиения области на эле |
узлов. |
области. |
|
менты. |
|
|
|
Окончательные узловые значения и линии равных значений тем пературы приведены на фиг. 8.9. Эта задача будет рассмотрена вновь в гл. 16.
Задачи
62.Вычислите распределение температуры для стержня в зада че 59, если его диаметр изменяется линейно от 1,5 см на конце, заделанном в стену, до 0,5 см на свободном конце.
63.Проверьте правильность вычисления поверхностного инте грала (8.466).
64.Убедитесь в правильности формулы (8.49в).
65. Вычислите объемный интеграл J [ £ ] т [£>] [B]d.V, если коэф- v
фициент теплопроводности КХх меняется линейно между i-м и /-м узлами одномерного элемента.
66—69. Составьте матрицы элемента для изображенных ниже элементов. Коэффициенты теплопроводности в каждом случае
К задаче 66.
г _ , я .с
О • |
0=50 Bm/см |
(5.5; 5) |
Оо(7. U) |
Т =/5°С
У
считать равными К Хх = К у У= 15 Вт/(см-К), а коэффициент теплооб мена Л= 2 0 Вт/(см2 -К). Другие необходимые величины приведе
ны на графиках.
70. Некоторые элементы конструкций имеют двумерное распре деление температуры Т(х, у). Эти элементы достаточно тонкие, так что можно пренебречь изменением их температуры по толщине (в направлении z). Для конструкций такого типа явление теплооб мена наблюдается в значительно большей степени вдоль лицевых поверхностей элементов, чем по ограничивающим их кромкам. Вы числите поверхностные интегралы, которые входят в [&(е)] и {/(е)} для двумерного симплекс-элемента, если потери тепла происходят путем конвекции, как показано на рисунке.
71. Источник тепла имеет форму тонкого диска, расположенно го на расстоянии 0,5 см от /-го узла одномерного элемента, изо браженного ниже. Определите распределение по узлам элемента тепла от источника, если его мощность равна 50 Вт.
72. |
Вычислите |
поверхностные |
интегралы, которые |
входят в |
[№>] и {/(е)}, если коэффициент теплообмена меняется |
линейно |
|||
между |
узлами i и |
/ одномерного |
симплекс-элемента. |
Коэффи- |
|
|
0,5 см |
|
|
^--------------------------------1,5 см
Кзадаче 71.
циенты теплообмена в узлах i и / обозначьте через hi и hj; hi предполагается отличным от нуля.
73.Рассмотрите задачу 72 для стороны между узлами i и k двумерного симплекс-элемента.
74.Коэффициент теплопроводности линейного одномерного эле мента представлен кусочно-постоянной функцией равной значению К) слева от точки Х0 и значению К2 справа от Х0. С помощью сту
пенчатой функции h(x—a) коэффициент теплопроводности КХх может быть записан аналитически в виде
Kxx= K i [ 1 —h ( * - Х 0)] + К2 [h( х - Х 0)).
Вычислите матрицу элемента [fc(e)], если элемент имеет длину L. Предполагается, что узел i расположен в точке х=0. t
75—79. Используя программу TDHEAT, рассчитайте распреде ление температуры в двумерных телах, изображенных ниже. Для получения исходных данных об элементе испо'льзуйте программу GRID.
80. Главные оси инерции элемента, показанного ниже, повер нуты на 30° относительно системы координат ху. Коэффициенты теплопроводности, соответствующие этим направлениям, равны 2Kss=K (f=30 Вт/см-К. Составьте матрицу [£<в>].
81. Модифицируйте программу TDHEAT так, чтобы ее можно было использовать для вычисления распределения температуры в одномерном стержне. Проверьте программу, решив задачи 59 и
82. Модифицируйте программу TDHEAT, представленную в гл. 18, так, чтобы она могла обрабатывать более одного набора характеристик материала. Используйте модифицированную про грамму для определения распределения температуры в теле, изо браженном ниже.
11-763