1323

фокарт. Удобнее проверять исходные данные, если ввести их в программу, которая затем представляет диаграмму всей анализи­ руемой области в целом. Такой метод позволит очень быстро об­ наружить элементы с неверными номерами узлов или ошибочны­ ми координатами, так как их графическое изображение будет на­ кладываться на изображение других элементов. Наиболее совер­ шенный метод обработки исходных данных — использовать гене­ ратор данных элемента. Это программа, которая размещает и ну­ мерует узлы, вычисляет координаты узлов и затем разбивает об­ ласть на элементы. Программы этого типа обычно приспосабли­ вают к определенным областям применения, потому что исходные данные могут существенно различаться при переходе от одной об­ ласти применения к другой. Если говорить более подробно, дан­ ные, которые вводятся в программу, составленную для решения задачи о кручении бруса, будут сильно отличаться от исходных данных, которые вводятся в программу, связанную с задачей пе­ реноса тепла, если даже обе программы основаны на одной и той же системе уравнений. Мой собственный опыт показывает, что трудно написать набор программ, способных генерировать вес исходные данные для задач переноса тепла, в которых конвекция происходит только на некоторых граничных элементах. В гл. 18 представлена программа, генерирующая исходные данные эле­ мента.

7.4.Решение задачи о кручении бруса с помощью вычислительной машины

Блок-схема вычислений, представленная на фиг. 7.3, составле­ на не для какой-либо определенной задачи, а дает общую схему реализации метода конечных элементов. При рассмотрении кон­ кретных областей применения должны быть введены незначитель­ ные изменения. Мы будем комментировать эти модификации в конце каждой главы прикладного характера. Начнем с нескольких замечаний о машинной реализации задачи о кручении, рассмотрен­ ной в гл. 6 . Реализация этой задачи на ЭВМ отличается от общей

блок-схемы на фиг. 7.3, потому что внешняя нагрузка — крутящий момент — не входит в расчетные формулы до тех пор, пока не оп­ ределены узловые значения. С другой стороны, приложенный кру­ тящий момент обычно при расчете конструкции известен и требу­ ется определить максимальное сдвиговое напряжение, вызываемое этим моментом.

Одна из процедур получения правильных значений сдвиговых напряжений состоит в следующем. Задача решается в предполо­ жении, что торцевые сечения повернутся относительно друг другп на единичный угол закручивания. Это эквивалентно следующей ве­

отодвинут на более поздний этап работы программ, ибо эти зна­ чения тоже должны быть умножены на отношение ГИСт/7расч.

В гл. 18 представлена и рассмотрена программа, которая мо­ жет быть использована при решении задачи о кручении, сформули­ рованной в гл. 6 . Эта программа была использована для расчета

напряжений сдвига в стержне с квадратной формой сечения (фиг. 6.3), причем разбиение на элементы соответствовало фиг. 7.6. На

Фиг. 7.7. Согласованные значения ту2 для'стержня квадратного сечения.

фиг. 7.6 также показаны значения xzy по элементам. Максималь­ ное значение xzv, равное 892 Н/см2, было получено в элементе, бли­ жайшем к узлу, расположенному в середине стороны квадрата. Это значение отличается от теоретического на 5,6%. Расчетные значения соответствуют крутящему моменту, равному 196,3 Н-см.

Расчетные значения могут быть уточнены путем использования теории согласованных результантов элементов, рассмотренной в

Фиг. 7.9. Согласованные значения туг, полученные с помощью восьми элементов.

гл. 6. Узловые значения ху1, вычисленные с использованием этой

теории, представлены на фиг. 7.7. Значение 905 Н/см2, которое встречается в угловом узле, на 4,2% меньше теоретического значе­ ния, равного 945 Н/см2. Наибольшее сдвиговое напряжение xyz= = 915 Н/см2 получено в узле, первом из тех, которые расположены

выше узла в середине стороны квадрата. Это значение на 3,2%

Фиг. 7.10. Область влияния, соответствующая е = 0,7.

отличается от теоретического максимума. Однако положения рас­ четного и теоретического максимумов не совпадают.

Теория согласованных результантов элементов приводит к си­ стеме уравнений, порядок которой совпадает с порядком системы, используемой для определения {Ф}. Это представляет определен­ ное неудобство, когда в рассмотрение включается большое число узлов. Приближенный метод составления согласованных резуль­ тантов ограничивается анализом элементов, расположенных в рай­ оне с наибольшим результантом элемента. Это приближение назы­ вается «областью влияния» [2 ].

48. Постройте матрицу [/С] для четырехэлементного тела по данным сокращенным матрицам элементов. В каждом узле одна неизвестная, а узел i помечен звездочкой.

49. Выполните следующие преобразования приведенной ниже системы уравнений с симметричной матрицей:

а) Приведите матрицу [/С] к треугольному виду и одновремен­ но разложите {F}.

б) Используя только матрицу [/С] треугольного вида, разложи­

50. Преобразуйте и решите систему уравнений (6.2 0 ), исполь­

зуя метод, изложенный в этой главе.

51. Преобразуйте и решите одну из представленных ниже си­ стем уравнений, когда задано одно из следующих условий:

(I) U1==3; (II) U2= 4, С/4= — 1; (III) !/,= 0 ;

(IV) [ / , = 0 , Ut = l ,