1323

ках элемента. В случае разбиения области на четыре элемента,, когда на каждый элемент приходится по два узла, функция эле­ мента будет линейна по х (две точки однозначно определяют пря­ мую линию). Окончательная .аппроксимация Т(х) будет состоять из четырех кусочно-линейных функций, каждая из которых опре­ делена на отдельном элементе (фиг. 1.4,а).

Другой способ разбиения области на два элемента с тремя узловыми точками приводит к представлению функции элемента' в виде полинома второй степени. В этом случае окончательной

аппроксимацией Т(х) будет совокупность двух кусочно-непрерыв­ ных квадратичных функций. Отметим, что это приближение будет именно кусочно-непрерывным, так как углы наклона графиковобеих этих функций -могут иметь разные значения в третьем узле.

•В общем случае распределение температуры неизвестно и мы хотим определить значения этой величины в некоторых точках. Методика построения дискретной модели остается точно такой же, как описано выше, но с добавлением одного дополнительногоша­ га. Снова определяются множество узлов и значения температуры в этих узлах Ти Т2, Т3, ..., которые теперь являются переменными,

так как они заранее неизвестны. Область разбивается на элемен­

ты, на каждом из которых определяется соответствующая функция элемента. Узловые значения Т(х) должны быть теперь «отрегули­ рованы» таким образом, чтобы обеспечивалось «-наилучшее» при-

Фиг. 1.5. Моделирование двумерной скалярной функции с помощью треугольных и четырехугольных элементов.

Фиг. 1.6. Моделирование двумерной скалярной функции с помощью квадратичного треугольного элемента.

ближение к истинному распределению температуры. Это «регу­ лирование» осуществляется путем минимизации некоторой вели­ чины, 'связанной с физической сущностью задачи. Если рассматри­ вается задача распространения тепла, то минимизируется функ­ ционал, связанный с соответствующим дифференциальным урав­ нением. Процесс минимизации сводится к решению систем линей-

определенной в двухили трехмерной области, основная концеп­ ция метода конечных элементов используется аналогично. В дву­ мерном случае элементы описываются функциями от х, у, при этом чаще всего рассматриваются элементы в форме треугольника или четырехугольника. Функции элементов изображаются теперь плоскими (фиг. 1.5) или криволинейными (фиг. 1.6) поверхностя­ ми. Функция элемента будет представляться плоскостью, если для данного элемента взято минимальное число узловых точек, которое для треугольного элемента равняется трем, .а для четырехугольно­ го — четырем.

Бели используемое число узлов больше минимального, то функции элемента будет соответствовать криволинейная поверх­ ность. Кроме того, избыточное число узлов позволяет рассматри­ вать элементы с криволинейными границами. Окончательной ап­ проксимацией двумерной непрерывной величины <р(я, у) будет служить совокупность кусочно-непрерывных поверхностей, каждая из которых определяется на отдельном элементе с помощью значе­ ний ф(х, у) в соответствующих узловых точках.

Важным аспектом метода конечных элементов является воз­ можность выделить из набора элементов типичный элемент при определении функции элемента. Это позволяет определять функ­ цию элемента независимо от относительного положения элемента в общей связной модели и от других функций элементов. Задание функции элемента через произвольное множество узловых значе­ ний и координат позволяет использовать функции элемента для аппроксимации геометрии области.

1.2.Преимущества и недостатки

Внастоящее время область применения метода конечных эле­ ментов очень обширна и охватывает все физические задачи, кото­ рые могут быть описаны дифференциальными уравнениями. Наи­ более важными преимуществами метода конечных элементов, бла­ годаря которым он широко используется, являются следующие:

1.Свойства материалов смежных элементов не должны быть обязательно одинаковыми. Это позволяет применять метод к те­ лам, составленным из нескольких материалов.

2.Криволинейная область .может быть аппроксимирована с по­ мощью прямолинейных элементов или описана точно с помощью криволинейных элементов. Таким образом, методом можно поль­ зоваться не только для областей с «хорошей» формой границы.

3.Размеры элементов могут быть переменными. Это позволяет укрупнить или измельчить сеть разбиения области на элементы, если в этом есть необходимость.

4.С помощью метода конечных элементов не представляет труда рассмотрение граничных условий с разрывной поверхност­ ной нагрузкой, а также смешанных граничных условий.

5.Указанные выше преимущества метода конечных элементов

могут быть использованы при составлении достаточно общей про­ граммы для решения частных задач определенного класса. Напри­ мер, с помощью программы для оеесимметричеекой задачи О' распространении тепла можно решать любую частную задачу этого типа. Факторами, препятствующими расширению круга задач, ре­ шаемых методом конечных элементов, являются ограниченность машинной памяти и высокая стоимость вычислительных работ.

Главный недостаток метода конечных элементов заключается в необходимости составления вычислительных программ и приме­ нения вычислительной техники. Вычисления, которые требуется проводить при использовании метода конечных элементов, слиш­ ком громоздки для ручного счета даже в случае решения очень простых задач. Для решения сложных задач необходимо исполь­ зовать быстродействующую ЭВМ, обладающую большой памятью.

В настоящее время имеются технологические возможности для создания достаточно мощных ЭВМ. Некоторые коммерческие и управляющие организации располагают обширными комплектами вычислительных программ. Смягчить основной недостаток метода конечных элементов могут совершенствование вычислительных про­ грамм и создание мощных ЭВМ.

1.3.Структура книги

Целью этой книги является обсуждение тех аспектов метода ко­ нечных элементов, которые связаны е решением задач механики сплошных сред, в частности задач переноса тепла, гидромехани­ ки, двумерных и трехмерных задач теории упругости. Наряду с основами теории рассматривается реализация метода на ЭВМ, так как конечной целью является получение численного решения фи­ зических задач.

В следующих шести главах рассматриваются основные аспекты метода конечных элементов:

1.Дискретизация области; определение узловых точек и эле­ ментов.

2.Определение функции элемента для отдельного элемента.

3.Получение из функций элементов кусочно-непрерывной функ­ ции, определенной на всей области.

4.Составление системы уравнений путем минимизации функ­ ционала, связанного с физической задачей.

5.Решение указанной системы уравнений относительно узло­ вых значений.

6.Вычисление искомых величин в элементе.

Главы 8— 12 посвящены приложениям в различных конкрет­ ных областях механики сплошных сред: к задачам распростране­ ния тепла и гидродинамики, осесимметрическим задачам теории поля, нестационарным задачам теории поля и задачам теории уп­ ругости. Для иллюстрации основ теории в гл. 6 приводится задача о кручении цилиндра некругового сечения. В гл. 13— 16 рассма­ триваются элементы высокого порядка. В гл. 17 обсуждается ме­ тод Галёркина. Гл. 18 содержит некоторые вычислительные про­ граммы, которые могут быть использованы для решения задач, рассмотренных в книге. Эта глава должна использоваться совмест­ но с гл. 2 и гл. 6— 12. Вычислительные программы в гл. 18 со­ ставлены специально для учебных целей. Они не относятся к об­ щим программам, с помощью которых решаются сложные задачи.

ЛИТЕРАТУРА

1.Lynn Р. Р., Агуа S. К., Use of the Least Squares Criterion in the Finite Element Formulation, Intern. J. for Numerical Methods in Engineering, 6, 75—83 (1973).

2. Melosh R. J., Basis for Derivation of Matrices for the Direct Stiffness Method,

/. Am. Inst, for Aeronautics and Astronautics, 1, 1631—1637 (1965).

3.Szabo B. A., Lee G. C., Derivation of Stiffness Matrices for Problems in Plane Elasticity by Galerkin’s Method, Intern. J. of Numerical Methods in Engineering,

1, 301—310 (1969).

4.Turner M. J., Clough R. W., Martin H. C., Topp L. J., Stiffness and Deflection Analysis of Complex Structures, J. Aeronaut. Sci., 23, 805—824 (1956).

5.Visser W., A Finite Element Method for the Determination of Non-Stationary Temperature Distribution and Thermal Deformations, Proc. Conf. on Matrix Methods in Structural Mechanics, Air Force Inst, of Technology, Wright Patter­ son Air Force Base, Dayton, Ohio, 1965.

6.Wilson E. L., Nickell R. E., Application of the Finite Element Method to Heat

Conduction Analysis, Nuclear Engineering and Design, 4, 276—286 (1966).

7.Zienkiewicz О. C., Cheung Y. K., Finite Elements in the Solution of Field Prob­ lems, The Engineer, 507—510 (1965).

8.Zienkiewicz О. C., The Finite Element Method in Engineering Science, McGrawHill, London, 1971; есть русский перевод: Зенкевич О., Метод конечных элемен­ тов в технике, изд-во «Мир», М., 1975.

зуетея 'В одномерных задачах распространения тепла и в задачах строительной механики при расчете стержневых элементов кон­

струкций (типа ферм).

Простейший одномерный элемент имеет два узла, по одному на каждом конце. Элементы более высокого порядка, трехузловые

\

1

/I

(квадратичные) и четырехузловые (кубические), изображены на фиг. 2.1,6 и в. Одномерный элемент может быть криволинейным (фиг. 2.1, в) при условии, что длина дуги входит в уравнения, оп­ ределяющие элементы.

2.1.2. Двумерные элементы

Для построения дискретной модели двумерной области исполь­ зуются два основных семейства элементов: треугольники и четы­ рехугольники. Стороны линейных элементов каждого семейства представляют собой прямые линии (фиг. 2.2, а). Квадратичные и кубические элементы могут иметь как прямолинейные, так и кри­ волинейные стороны или те и другие (фиг. 2.2,6). Возможность модел ирования криволинейных границ достигается добавлением узлов в'середину сторон элементов. Оба семейства элементов мо­ гут быть использованы одновременно внутри области, если только они имеют одинаковое число узлов на стороне (фиг. 2.2, в). Тол­ щина элемента может быть или постоянной, или являться функ­ цией координат.

2.1.3. Трехмерные элементы

Наиболее часто .встречающимися трехмерными элементами яв­ ляются тетраэдр и параллелепипед (фиг. 2.3, а и б). В обоих слу­ чаях линейные элементы ограничены прямолинейными сторонами (плоскостями), тогда как элементы более высокого порядка могут иметь в качестве границ криволинейные поверхности. При разбие­ нии трехмерного тела трудно наглядно представить расположение

Фиг. 2.2. Некоторые двумерные конечные элементы.

элементов в дискретной модели, поэтому, вероятно, более жела­ тельным из этих двух типов элементов является параллелепипед.

На фиг. 2.3, в показан другой вид элементов, которые исполь­ зуются при рассмотрении тел цилиндрической формы. Эти элемен­ ты .подобны двумерному треугольнику и позволяют еще учесть из­ менение неизвестной величины вдоль третьей координаты.

2.2. Разбиение области на элементы

Процесс дискретизации может быть разделен на два этапа: раз­ биение тела на элементы и нумерация элементов и узлов. Послед­ ний этап логически совершенно прост, но усложняется в связи с нашим желанием повысить эффективность вычислений.

В этом разделе рассматривается разбиение двумерной области на линейные треугольные элементы. Двумерная область выбрана для удобства иллюстрации; кроме того, идеи, представленные* здесь, могут быть обобщены на случай трехмерного тела. Дискре-

Фиг. 2.5. Деление области треугольного вида на линейные треугольные элементы..

тизация одномерного тела почти тривиальна, так как она сводится; только к делению отрезка на более короткие участки.

Разбиение двумерного тела на треугольники выделено потому,, что этот элемент — простейший из двумерных элементов в смыслеаналитической формулировки. Требование простоты элемента свя­ зано с тем, что при моделировании области должно быть исполь­ зовано большое число элементов, поэтому деление области на тре­ угольники, вероятно, наилучший способ разбиения.

При разбиении любой двумерной области на элементы снача­ ла тело' делится на четырехугольные и треугольные подобласти,, или зоны, которые затем подразделяются на треугольники. Гра­ ницы между подобластями должны проходить там, где изменяют­ ся геометрия, приложенная нагрузка или свойства материала.

Наиболее просто можно разбить треугольную подобласть на элементы, если выбрать определенное число узлов вдоль каждой' стороны, соединить соответствующие узлы прямыми линиями и точки пересечения этих линий считать узлами. Треугольная зона, показанная на фиг. 2.5, а, разбита на девять элементов после раз­ мещения четырех узлов на каждой стороне. Узлы на сторонах зоныне обязательно располагать на равных расстояниях. Варьированиерасстояния между ними позволяет изменять размеры элементов.