1323
.pdfК задаче 63.
/ 5<см
2, с м
Кзадаче 54.
К задаче 56. |
К задаче 58. |
ЛИТЕРАТУРА
1.Conte S. D., Elementary Numerical Analysis An Algorithmic Approach, McGrawHill, 1965.
2.Oden J. T., Reddy J. N., Note on an Approximate Method for Computing Con sistent Conjugate Stresses in Elastic Finite Elements, Intern. J. for Numerical Methods in Engineering, 6, 55—61 (1973).
3.Pilkey W., Saczalski K., Schaeffer H., Structural Mechanics Computer Programs, Univ. Press of Virginia, Charlottesville, Va., 1974, pp. 651—667 (written by McCormick J. M.).
4.Rubinstein M. F., Matrix Computer Analysis of Structures, Prentice-Hall, Engle wood Cliffs, N. J., 1967, pp. 114—119.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА ПО ЛИНЕЙНЫМ УРАВНЕНИЯМ
Forsythe G. Е., Moler С. В., Computer Solution of Linear Algebraic Systems, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N. J., 1967, pp. 114—119. Есть русский перевод: Форсайт Дж., Молер К., Численное решение систем линейных алгебраических уравнений, изд-во «Мир», М., 1969.
Jenkins W. М., Matrix and Digital Computer Methods in Structural Analysis, McGraw-Hill, London, 1969, Ch. 7.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА ПО МЕТОДУ ПРЯМОЙ ЖЕСТКОСТИ
Desai С. S., Abel J. F., Introduction to the Finite Element Method, Van Nostrand Reinhold, N. Y., 1972, pp. 181—190.
ПЕРЕНОС ТЕПЛА ЗА СЧЕТ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И КОНВЕКЦИИ
Во многих инженерных задачах важным аспектом является знание распределения температуры в теле. Количество тепла, под водимого к телу или теряемого им, может быть вычислено, если известно распределение температуры. Температурное поле, кроме того, влияет на распределение напряжений. Температурные напря жения имеют место в каждом теле, в котором существуют градиен ты температуры и которое не может свободно расширяться во всех направлениях. Эти напряжения необходимо учитывать при проек тировании вращающихся механизмов, таких, как реактивные дви гатели или паровые генераторы. Для расчета температурных на пряжений следует прежде всего определить распределение темпе ратуры в теле.
В этой главе будет рассмотрено применение метода конечных элементов для определения распределения температуры в теле. Использование этого распределения для расчета напряжений об суждается в гл. 1 2 .
8.1. Уравнения переноса тепла
Уравнение теплопроводности в сплошной среде имеет вид
1(8. 1)
где Т — температура; Кхх, Куу, KZz— коэффициенты теплопровод ности в направлениях х, у и z размерности кВт/м*К; Q — источник тепла внутри тела, который считается положительным, если тепло подводится к телу, его размерность кВт/м3.
С уравнением (8.1) связывают два различных типа граничных условий. Если температура известна на некоторой части границы, то пишут
Т — TB(s), |
(8.2) |
где Тв — температура на границе, которая может быть функцией координат точек поверхности s. Если на границе происходит кон вективный теплообмен, который характеризуется величиной h (f —
—Г»), или задан поток тепла qt то граничное условие имеет вид
Kxx^ r lx+ Kvy- ^ l y+ KZ2-^ -lz + h ( T - T oo)+ q = 0 , |
(8.3) |
|
где h — коэффициент теплообмена, кВт/м2 -К; |
Т — температура на |
|
границе (неизвестная), К; Тм— температура |
окружающей |
среды |
(известная), К; 1Х 1у и lz— направляющие косинусы; q — поток тепла, кВт/м2, который считается положительным, если, тепло те ряется телом. Поток тепла q и конвективная потеря тепла h(T—
—Too) не имеют места на одном и том же участке поверхности гра ницы. Если существуют потери тепла за счет конвекции, то отсут ствует отвод или приток тепла за счет теплового потока и обратно.
Уравнения (8.1) и (8.3) могут быть применены к одномерным и двумерным задачам после простого вычеркивания членов, свя занных с ненужными координатами. Уравнение для одномерной
задачи записывается в виде |
|
Kxx^ r + Q = 0 |
(8.4) |
•с граничным условием |
|
^ 1 Л Н Т -Т о,) + q = 0. |
(8.5) |
Если конвективный теплообмен отсутствует и, кроме того, поток тепла равен нулю, то уравнение (8.3) сводится к соотношению
которое выражает условие существования теплоизолированной гра ницы (п — внешняя нормаль).
Минимизация функционала, связанного с (8.1 ), была рассмот
рена в гл. 5. Уместно подытожить здесь результаты этого обсуж дения, прежде чем начать рассмотрение одномерного случая пере носа тепла. Запишем матрицу теплопроводности элемента:
[#<>] = j [B^Y [DM)[BM]dV +^h[N MY l№e)]dS. |
(8.6) |
|
y ( e) |
c(^) |
|
Матрица [Me>] содержит функции формы, причем |
|
|
|
Tie)= [N u)\ (Г). |
(8.7) |
^ Т без верхнего индекса или скобок обозначает обычную функцию.
Матрица [D&] содержит значения коэффициентов теплопроводно сти:
[ Щ |
0 |
0 " |
|
|
[D(e)] = |
0 |
K.W |
0 |
|
. |
|
УУ |
|
|
0 |
0 |
|
|
|
а матрица [5<е>] получается дифференцированием [ЛДе>] |
по х, у и |
|||
z. Соотношение для определения [ВЩ имеет вид |
|
|||
|
дТ_ |
|
|
|
|
дх |
|
|
|
I g } = |
дТ_ |
=[В<‘>,][Т}. |
(8.9) |
|
|
ду |
|
|
|
дТ
дг
Вектор-столбец правых частей уравнений для элемента опреде ляется формулой (5.46):
| f ‘>) = —j |
[Л ^]г QdV + |
qdS—^ [NM]T Ta_hdS, (8.10) |
y(e) |
~(e) |
~(e) |
|
1 |
2 |
где величины Q q, 7» и h имеют заданные числовые значения. Вышеприведенные формулы содержат все данные, необходимые
для составления матриц элементов в задаче о переносе тепла за счет теплопроводности. В следующих нескольких разделах наше внимание будет сосредоточено на уравнениях для отдельного эле мента, поэтому мы будем опускать верхний индекс (е) во всех обо значениях матриц элементов, исключая случай, когда необходимо будет различать два разных элемента.
8.2. Одномерный случай переноса тепла
Интерполяционный полином для одномерного линейного эле мента имеет вид
T = N iTl + NJT], |
(8.11) |
где
г ) и я 1 - Т -
Эти функции формы определены относительно системы координат, показанной на фиг. 8.1 . Элемент имеет длину L. Матрицы в (8.7) и
(8.9) принимают теперь вид
М=№ wd“ [ ( 1—г) -г].
( 8. 12)
f , |
dT |
1г 1 = - Е - =
поэтому
и - 1 - 4 |
Ц |
(8.13) |
|
3 '
Фиг. 8.1. Линейный одномерный элемент.
Матрица свойств материала сводится к одному коэффициенту:
№]={КХХ]. (8.14)
Вычислим интегралы в (8.6 ):
j [ВГ [D] [В]
V
L |
|
|
_АКхх ■ |
1 |
— г |
~ L2 |
1 |
1, |
— |
О
3- |
II |
* |
*1 |
|
|
|
н\ |
L
' |
1 |
— г |
(8.15) |
|
|
|
|
— |
l |
l . |
|
Площадь поперечного сечения при этом предполагается постоян ной.
|
L |
|
|
j / W [W] dS=hP |
J |
[( |
(8.16) |
|
|
так как dS=Pdx, где Р — периметр. Периметр тоже предполагает
ся неизменным вдоль оси х. Производя |
перемножение в |
(8.16) и |
|
вычисляя интеграл, имеем |
|
|
|
h[N\T [W]dS = |
hPL |
Г |
(8.17) |
J |
6 |
2 ‘ |
|
|
|
||
Матрица теплопроводности элемента получается сложением мат риц (8.15) и (8.17):
Член в (8.18), описывающий конвекцию, исчезает, если h равно нулю на границе элемента.
Вычисление интегралов в векторе сил элемента (8.10) дает
dx |
QAL |
(I |
(8.19) |
|
2 |
1 |
|||
|
|
|||
и |
|
|
|
|
Г d x = qPL (1 |
|
(8.20) |
||
г
Так как третий интеграл идентичен по форме второму, можно сра зу же записать
j[^|^/I7’cod S = — |
|J |. |
(8.21) |
s2
Полное выражение для {/<е>} теперь имеет вид
iP 4 = - T L { ] } + T L { l } - — 2 - { ! } - |
<8-22> |
Имея в виду последующее включение этого члена в сумму {/7} =
=2 {/(*)}, это выражение можно переписать как
е= \
Q A L -q P L + hT00P L \ (1
(8.23)
1
Примером одномерной задачи переноса тепла является задача об охлаждении стержня. Рассмотрим стержень, один конец кото рого соединен с источником тепла; через боковую поверхность стержня и другой его конец тепло отводится в окружающую среду. Формулы (8.19) и (8.23) предполагают, что потери тепла за счет конвекции происходят только от боковой поверхности. Теперь рас смотрим соотношения, которые связаны с отводом тепла от конца одномерного элемента.
Предположим, что тепло отводится через поверхность правого конца стержня (узел /). Потеря (приток) тепла происходит либо в результате конвективного теплообмена, либо из-за наличия за данного теплового потока q. Поэтому должны быть рассмотрены только поверхностные интегралы. Рассмотрим поверхностный ин теграл в матрице теплопроводности:
I h[N]T [N]dS= \ |
|
|
Nj] dS. |
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
Так как мы интересуемся поверхностью в /-м узле, |
JV*=0, Nj= 1, |
|||||
и в результате подстановки этих величин имеем |
|
|
|
|||
I hlN]T [N]dS= h |
[О l] d S = |
h |
О |
O' |
dS, |
|
О |
1 |
|||||
или |
|
|
|
|
|
|
I h[N]T [N]dS=hA |
'0 |
0 ‘ |
|
|
(8.24) |
|
0 |
1 |
|
|
|||
Эта матрица должна добавляться к сумме матриц (8.18), если на свободном конце происходит потеря тепла. Совершенно ясно, что коэффициент теплообмена в (8.24) может отличаться от коэффи циента, который задан на боковой поверхности.
Поверхностные интегралы в матрице {/(е)} принимают вид
Г IN]T hTmdS =hT^A PJ |
(8.25) |
j[A^F<7dS=^j°j. (8.26)
s
Использование формул (8.24) — (8.26) вместе с (8.18) и (8.23) ил люстрируется на следующем примере.
Пример
59. Требуется вычислить распределение температуры в одно мерном стержне с приведенными ниже физическими характеристи ками.
Разделим конструкцию на 5 элементов длиной 1,5 -см каждый.
Матрицы элементов для первых четырех элементов идентичны и могут быть составлены с помощью формул (8.18) и (8.23). За-
(,) <j>2 (2) <|>з(3' <j* м |
<j>5 (s r~j,e |
Т-150°С
К задаче 59.
пишем величины различных параметров, входящих в эти соотно шения:
АКх :48т ,
L
hPL = 5 * ,
hT „PL = 12 0 0 *,
Л Л = 10 *,
НТооА=400т.
Матрица теплопроводности для первого элемента имеет вид
[£<!)] |
■ |
1 |
— Г |
, hPL |
’2 |
Г |
|
|
- 1 |
1 . |
+ - g “ . 1 |
2 . |
|
||||
|
|
|||||||
или |
—48* |
|
10 * |
5* |
' |
58 |
—43' |
|
[ № \ = ' 48* |
+ |
|||||||
5* |
10 *_ |
—43 |
58 |
|||||
—48* |
48* |
|
||||||
Матрицы теплопроводности для второго, тР®Ть®,Г0 и четвертого
элементов идентичны [#*)]. Вектор нагрузки (8.23) элемента пре образуется к виду
так как Q и а равны нулю.
Матрицы для пятого элемента получаются из соответствующих матриц первого элемента добавлением членов, описывающих по тери тепла на правом конце стержня. Чтобы построить матрйцу теплопроводности, нужно добавить к \_kf- >] результаты вычисле-
ний в (8.24). Так как ЛЛ=10я, нужно добавить следующую мат рицу:
hA |
О |
J1 4 |
° |_0 °1lOrcJ |
|
|
и |
О |
|
|||
|
|
|
58 |
|
|
[£<6>] =[£<!>] + |
О |
° 1 |
— г |
—43' |
|
|
О |
0-J |
|
L— |
/ |
|
1(к |
|
43 |
68 |
|
Вектор нагрузки для пятого элемента
или
I/ (б,) =
После применения метода прямой жесткости совокупность рас смотренных матриц элементов приводит к следующей системе уравнений:
’58 —43
—43 116 —43
—43 116 —43 —43 116 —43
—43 116 —43
1 |
со |
00 СО |
|
|
1 |
[7 / |
600 |
Тг |
12 0 0 |
Ts |
120 0 |
|
12 0 0 |
тъ |
12 0 0 |
Ч1000
Здесь проведено сокращение на множитель я, так как он входит в обе части системы уравнений. Пустые места в [/(] означают ну левые коэффициенты.
Значение Т \ известно (150°С), так что .система уравнений дол
жна быть модифицирована перед решением. Эта модификация преобразует столбец правых частей к виду
{ / у =[8700 7650 1200 1200 1200 1000].
После решения системы имеем
(7У =[150 82,6 59 48,6 44,2 42,6].
Теоретические значения температуры [2] следующие:
17’теорет)7’ = П50 89,9 62,8 50,6 45,2 43,3].
Результаты, полученные по методу конечных элементов, доста точно хорошо согласуются с истинными значениями, если учесть, что было проведено разбиение области на одинаковые элементы.