1323

К задаче 74.

83. Рассмотрите изменения, которые должны быть внесены в программу TDHEAT с тем, чтобы можно было анализировать ани­ зотропные материалы. Внесите-конкретные изменения в програм-

Л =30 Вт /(см 2 -к ), г ^ - г о 'с

Материал 2". =2Л^= /0 Вт/(см • к)

К задаче 82.

му, связанные с включением в нее формул преобразования коорди­ нат.

ЛИТЕРАТУРА

1.Kaplan W., Operational Methods for Linear Systems, Addison-Wesley, Reading, Mass., 1962.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

Zienkiewicz О. C., Finite Element Method in Engineering Science, McGraw-Hill,

ГИДРОМЕХАНИКА, БЕЗВИХРЕВОЕ ТЕЧЕНИЕ

Безвихревое течение идеальной жидкости рассматривается до­ статочно широко потому, что при этом могут быть решены многие важные физические задачи, такие, как обтекание углов, плотин, несущих поверхностей самолета, различных конструкций. Идеаль­ ное безвихревое течение представляет собой некоторое приближе­ ние к реальному физическому процессу. При этом предполагается, что между жидкостью и обтекаемой поверхностью нет трения («идеальная жидкость) и вращательное движение частиц жидкости отсутствует (безвихревое течение).

Поток воды в грунте также может быть достаточно тщательно изучен в предположении безвихревого течения. Анализ течения грунтовых вод является важным аспектом в региональном пла­ нировании, поскольку снабжение водой многих районов внутри страны полностью или частично связано с грунтовыми водами. Те­ чение грунтовых вод через дамбы и под ними, так же как и по подпочвенным дренажным каналам может быть изучено с помощью этой теории.

Все задачи, включающие рассмотрение безвихревого течения, могут быть решены с помощью метода конечных элементов, так как эти задачи описываются квазигармоническим уравнением (5.1) страничными условиями (5.2) и (5.3).

9.1. Двумерный случай течения грунтовых вод

Дифференциальное уравнение в частных производных для ог­ раниченного водоносного слоя с течением в горизонтальной плос­

м/сут]; ф— пьезометрический напор, измеряемый в метрах от ниж-

и (или)

Слагаемое q в формуле (9.3) представляет поток воды, дви­ жущейся из области через границу. Единицей измерения этого количества просочившейся воды является м3/сут.

Приведенные выше уравнения идентичны уравнениям, которые использовались при рассмотрении кручения и переноса тепла. По­ этому в данном случае применимы матрицы, полученные в преды­ дущих главах. Из-за отсутствия члена h(ф—<рв), описывающего конвекцию в формуле (9.3), определяющие элемент соотношения в задаче о грунтовых водах менее сложные, чем подобные соотно­ шения для задач переноса тепла.

Матрицы элемента составляются с помощью формул

]D(e)][B(e)]dV

у(е)

Иопользуя результаты, полученные в гл. 8, можно сразу же за­ писать

или потери воды постоянны по элементу. При изучении водоносно­ го слоя обычно рассматриваются площади больших размеров (по­ рядка квадратных километров), что делает возможным локализо­ вать насос в узле и трактовать его как линейный источник. Резуль­ таты обсуждения линейных источников в разд. 8.6 применимы и Для рассмотрения выкачивания грунтовых вод.

Второй член в (9.5) связан с просачиванием воды в элемент или из него наружу. Просачивание может наблюдаться вдоль лю­

лом. Просачивание воды в область с левой и правой границ доста­ точно велико, чтобы поддерживать вдоль этих границ постоянное значение пьезометрического напора величиной 200 м. Вода из ре-, ки просачивается в водоносный слой со скоростью 0,24 м3/сут по

\Непроницаемая граница

Непроницаемая граница

Фиг. 9.1. Региональный водоносный слой.

длине потока. Кроме того, два насоса, расположенные в точках (2000, 830) и (1100, 600), выкачивают воду из водоносного слоя.

= 2400 м3/сут.

Требуется определить линии постоянного потенциала, считая течение установившимся.

9.2.2. Решение с помощью ЭВМ

Разбиение области на элементы было выполнено с помощью программы GRID, генерирующей исходные данные об элементе. Расположение узлов, которые были использованы при этом для задания базисных областей, показано на фиг. 9.2. Окончательная сеть элементов и номера их узлов представлены на фиг. 9.3. Река была использована как граница между базисными областями для получения элементов. Так как обычно в задачах о течении грунто­ вых вод не встречается значительных изменений величины ср, то для разбиения были использованы элементы больших размеров.

Прежде чем приступить к решению задачи, необходимо вычис­ лить два множества узловых величин: узловые значения количе­

ства просачивающейся воды из реки и узловые значения для ко­ личества воды, выкачанной насосами. Длина реки составляет

У (2000— 1000) 2+ 15002= 1802,8 м. Полное количество просачиваю­ щейся воды равно <7=1802,8*0,24=432,67 м3/сут. Вдоль реки рас-

Фиг. 9.2. Четырехугольные зоны, используемые программой GRID для разбиения области на треугольные элементы.

стояние между узлами одинаково и просачивание между соседни­ ми узлами характеризуется величиной

При этом на каждый узел приходится половина этой величины. Величина 432,67 распределяется по узлам, расположенным вдоль реки следующим образом:

Величины положительны, потому что в (9.5) стоит знак минус. Насосы представляют собой точечные источники, причем ни

один из них не располагается в узле. Выкачанная насосом вода распределяется по узлам элемента, в котором размещается насос. Это распределение может быть определено е помощью соотноше­ ний, приведенных в гл. 8.6. В эти соотношения в качестве весовых

коэффициентов входят значения функций форм данного элемента, вычисляемые по координатам точечного источника.

Первый насос расположен в точке (2000, 830) внутри элемента, ограниченного узлами 18, 13 и 12. Используя локальную систему координат, как показано на фиг. 9.4, получаем

Фиг. 9.3. Область регионального водоносного слоя, разбитого на элементы; указаны номера узлов.

Фиг. 9.4. Местная система координат; указаны размеры 19-го элемента.

В указанной системе координат точке расположения насоса соот­ ветствует пара чисел (125, 80). Подстановка этих координат в функции формы дает

N1B= 0,596, JV13=0,191 и ЛГ12=0,213.