1323

угол закручивания сечения стержня. Напряжения сдвига, вызван­ ные внешним крутящим усилием, получаются дифференцирова­ нием ф ПО X и у.

Другой важной двумерной задачей является задача о безвих­

безвихревом течении жидкости. С другой стороны, если полевая функция определена на тех частях границы, по нормали к кото­ рым течет жидкость, то уравнение (5.30) описывает эквипотенци­ альные линии, которые ортогональны линиям тока.

+ K yy(dq>/dy)ly-\-q = Q. Коэффициенты Кхх и Куу определяют про­

просачиванию воды через водоносный слой вдоль части его гра­ ницы.

Другие важные физические задачи, которые описываются урав­ нением (5.25), связаны с рассмотрением электростатического и магнитостатического полей, а также жидких смазочных пленок. Последняя задача подробно изучена в работе [3].

С вариационной точки зрения решение уравнения (5.25) с гра­ ничными условиями (5.26) и (5.27) эквивалентно отысканию ми­ нимума функционала

Минимизация функционала (5.32) должна быть осуществлена на множестве узловых значений {Ф}. Для этой цели воспользу­ емся процедурой, рассмотренной в предыдущем разделе, а именно будем минимизировать функционал (5.32) перед вычислением ин*

тегралов. Этот .подход позволяет выбрать характеристики элемен­ тов, 'наиболее приемлемые для каждой конкретной задачи.

Начнем процесс .минимизации с преобразования функционала (5.32). Этот шаг несколько упрощает последующие операции. Введем две матрицы:

Соотношение (5.32) .может быть теперь записано в виде

X= fT [{g }r [D] \g)-2<fQ]dV + ^ фqdS +

Вспоминая, что функции от <р .не являются непрерывными во всей области, вместо них введем в рассмотрение функции <p^, опреде­ ленные на отдельных элементах. Интегралы .в (5.35) должны быть разбиты на интегралы по отдельным элементам, что дает

где у(е) — вклад отдельного элемента в %. Минимизация %требует выполнения соотношения

Поскольку далее мы будем пользоваться формулировкой ме­ тода конечных элементов, связанной с минимизацией потенциаль­ ной энергии, приведем здесь теорему о потенциальной энер­ гии [1].

Из всех перемещений, удовлетворяющих кинематическим гра­ ничным условиям, стационарное (экстремальное) значение потен­ циальной энергии сообщают те перемещения, которые удовлетво­ ряют уравнениям равновесия.

Важное требование этой теоремы состоит в том, что искомые пе­ ремещения должны удовлетворять заданным значениям на гра­ нице.

Полная потенциальная энергия упругой .системы может быть разделена на две части, одна из которых соответствует энергии деформаций в теле, а другая определяется потенциальной энер­ гией массовых сил и приложенных поверхностных сил. В соответ­ ствии с этим запишем полную потенциальную энергию в виде

где Л — энергия деформаций, a Wp — потенциальная энергия при­ ложенных сил. Работа внешних сил противоположна по знаку их потенциалыной энергии:

Прежде чем обсуждать минимизацию П в общем случае, рас­ смотрим один простой пример.

5.4.1. Осевое нагружение элемента конструкции

Применение теоремы о минимуме потенциальной энергии бу­ дет проиллюстрировано на примере осевого нагружения элемен­ та конструкции, показанного на фиг. 5.2. Осевое перемещение из­

L_— длина, А — площадь поперечного сечения детали конструкции, Е — модуль упругости материала.

С помощью метода конечных элементов определим перемеще­ ние на нагруженном конце стержня. Решение задачи при этом начинается с выбора модели для перемещения. Эта модель зави-

Фиг. 5.2. Осевое нагружение детали конструкции.

сит от типа выбранного элемента. Мы будем использовать один линейный одномерный элемент, поэтому

и<1)=Щ')иг + Щ1>и2

Так как U\ должно равняться нулю на закрепленном конце, вы­ шеприведенное уравнение сводится к следующему:

Потенциальная анергия определяется формулой

dV—PU2. (5.56)

Интегральное слагаемое представляет анергию деформаций, тогда как член вида PU2 выражает работу приложенной силы. Компо­

нента тензора напряжений ахх связана с компонентой тензора деформаций ехх законом Гука охх=Е<гхх, поэтому выражение (5.56) может быть записано в виде