1323

Г

Однако, так как сумма 2 Np = 1 , частная производная по х от

р=/ этой суммы равна нулю. Таким образом, критерий относительно*

градиента удовлетворяется автоматически, если только удовле­ творяется критерий (3.47).

3.6.2. Непрерывность

Дискретная модель для непрерывной функции строится на: множестве кусочно-непрерывных функций, каждая из которых: определена на отдельном элементе. Для интегрирования в даль­ нейшем кусочно-непрерывной функции необходимо1 сформулиро­

вать условие ее непрерывности в межэлементной зоне. Интегралот ступенчатой функции f(x) определен постольку, поскольку* f(x) остается ограниченной [2]. Чтобы интеграл

был определен, функция ср должна быть непрерывна вместе со* своими производными допорядка (п— 1 ) включительно, что обес­

печивает наличие у производной порядка п только конечного чис­ ла точек разрыва ступенчатого' типа. Соблюдение этого условия означает, что первые частные производные от аппроксимирующей; функции должны быть непрерывны на границах между элемен­ тами, если дифференциальное уравнение содержит частные произ­ водные второго порядка, т. е. п = 2. Все дифференциальные урав­ нения, рассматриваемые в этой книге, могут быть представлены! в форме соотношений, содержащих самое большее первые част­ ные производные, поэтому от интерполяционных функций следует* требовать непрерывности в межэлементной зоне, но их частные* производные не должны подчиняться этому условию.

Непрерывность для одномерного элемента гарантирована, так как любые два смежных элемента имеют общий узел. Однако треугольный элемент сложнее. Рассмотрим два смежных элемен­ та (фиг. 3.11). Начало системы координат поместим в i-м узле.

Обозначим узловые значения через Фг-, Ф;-, Ф^ и Ф*. Аппроксими­ рующие функции для <р имеют вид

(Р<1>=^,)ф ,+ М 1)ф * + М 1) ф „

где верхний индекс обозначает элемент.

Доказать непрерывность <р вдоль общей границы элементов просто, если воспользоваться ^координатами. L-координаты LJ1' и LP измеряются от сторон, противоположных i-му узлу. Перепи­ шем формулы (3.50), используя L-координаты:

Ф‘1>=11»Ф| + Ц')ФА+ Ц 1)Ф/,

ф«) = Ц2)Ф<+ 1|2)Ф/ + 1^Ф А.

13. Узловые значения температуры для треугольного симплексэлемента равны 71/= 130°С , 7^=100°С и 7л=120°С. Выясните, где изотерма 125 °С пересекает границы элемента.

14. Покажите, что N% для симплексного треугольника равна шулю в узлах / и k.

15.Покажите, что Ni для симплексного треугольника равна шулю в произвольной точке отрезка, соединяющего узлы / и k.

16.Покажите, что функции формы для симплексного треуголь-

k

зика удовлетворяют критерию ЕЛ/р= 1 в каждой точке элемента.

р—1

17. Матрица [С] - 1 для тетраэдрального элемента с узлами i, У, k и I в точках (0 , 0, 0 ), (2 , 1 , 0 ), ( 1 , 0 , 1 ) и ( 1 , 1 , 2 ) соответ­

ственно имеет вид

Убедитесь, что эта матрица является обратной к [С] и затем •определите функции формы для этого элемента.

18. Что вы можете сказать 6 строках матрицы [С] - 1 в задаче

17, если критерий сходимости Ni-\-Nj+Nh-{-Ni= 1 удовлетворяется, когда рассматривается тетраэдральный элемент?

19. Определите градиент dy/dx для тетраэдрального элемента

.двумя способами: 1 ) выбирая в качестве исходных соотношения

ЛИТЕРАТУРА

1. Eisenberg М. A., Malvern L. Е., On Finite Element Integration in Natural Coor­ dinates, Intern. J. for Numerical Methods in Engineering, 7, 574—575 (1973).

2.Kaplan W., Advanced Calculus, Addison-Wesley, Reading, Mass., 1952.

3.Kreyszig E., Advanced Engineering Mathematics, 3-rd ed., Wiley, N. Y., 1972.

4.Oden J. T., Finite Elements of Nonlinear Continua, McGraw-Hill, N. Y., 125— 137 (1972); есть русский перевод: Оден Дж., Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред, изд-во «Мир», М., 1977.

5.Zienkiewicz О. С., The Finite Element Method in Engineering Science, McGrawHill, London, 1971, p. 93; есть русский перевод: Зенкевич О., Метод конечных элементов в технике, изд-во «Мир», М., 1975.

ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ПОЛИНОМЫ ДЛЯ ДИСКРЕТИЗОВАННОЙ ОБЛАСТИ

В гл. 3 обсуждались интерполяционные соотношения для симплекс-элементов. Числовые значения узловых координат при этом не фиксировались, так что размеры элемента и его ориен­ тация могут быть выбраны так, как это необходимо. Это одно из важных достоинств метода конечных элементов. Свобода в вы­ боре размеров и ориентации элементов позволяет составить весь­ ма общие вычислительные подпрограммы, включающие различ­ ные элементы. Такие подпрограммы могут быть использованы без изменения при рассмотрении областей с самыми разнообразными границами.

Теперь сосредоточим внимание на отдельном элементе, с тем чтобы вывести систему уравнений для области в целом. Точнее говоря, мы хотим включить каждый элемент в рассматриваемую область и выразить через глобальные координаты и глобальные узловые значения интерполяционные уравнения для каждого ис­ пользуемого элемента. Начнем с рассмотрения скалярных вели­ чин и затем обобщим полученные результаты на случай вектор­ ных величин.

4.1. Скалярные величины

извольный элемент.

Техника включения элемента в область может быть проиллю­ стрирована на примере простой пятиэлементной конфигурации, показанной на ф:-:г. 4.1. Узлы пронумерованы от единицы до шее-

Значения индексов i, / и k могут быть подставлены в формулу (4.1), что приводит к следующей совокушюети уравнений для эле­ ментов:

ф(И = ДГ(1) ф 2 + щ \ ) ф ъ + щ \ ) ф ±9